- Definición de
vectores - Magnitudes
Escalares - Magnitudes
vectoriales - Descomponiendo en un sistema de
ejes cartesianos - Vectores unitarios y
componentes de un vector - Suma y resta de
vectores - Método Algebraico para la
Suma de vectores - Producto de un vector por un
escalar - Producto escalar de dos
vectores - Módulo de un
vector - Ecuación de la
Recta. - Historia del
Cálculo - Definición del
cálculo vectorial - Bibliografía
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el
espacio. Cada vector posee unas características que
son:
Origen
O también denominado Punto de
aplicación. Es el punto exacto sobre el que
actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla
es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para
saber cuál es el módulo del vector, debemos medir
desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la
recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el
extremo del vector, indicando hacia qué lado de la
línea de acción
se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de
referencia de los vectores, que
estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares.
Este sistema de referencia permite fijar la posición de un
punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma
general, es el Sistema de Coordenadas
Cartesianas.
Para poder
representar cada vector en este sistema de coordenadas
cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos
vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen
módulo 1, son perpendiculares entre sí y
corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de
referencia.
Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en
las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de
un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son
las siguientes magnitudes, entre otras:
Masa
Temperatura
Presión
Densidad
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar
determinadas precisan de un valor
numérico, una dirección, un sentido y un punto de
aplicación.
Vector
Un vector es la expresión que proporciona la
medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como
un segmento orientado, en el que cabe distinguir:
- Un origen o punto de aplicación:
A. - Un extremo: B.
- Una dirección: la de la recta que lo
contiene. - Un sentido: indicado por la punta de flecha en
B. - Un módulo, indicativo de la longitud del
segmento AB.
Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo
módulo y la misma dirección.
Vector libre
Un vector libre queda caracterizado por su
módulo, dirección y sentido. El vector libre es
independiente del lugar en el que se encuentra.
Descomponiendo
en un sistema de ejes cartesianos
a+b=(axi+ayj+
azk)+(bxi+byj+
bzk)=(ax+bx)i+(ay
+by)j+(az+bz)k
Propiedades
Conmutativa:
a+b=b+a
Asociativa:
(a+b)+c=a+(b+c)
Elemento Neutro: a+0=a
Elemento Simétrico:
a+(-a)=a–a=0
Vectores
unitarios y componentes de un vector
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de
la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la
dirección de uno de los ejes coordenados.
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que
se determina de la siguiente forma:
Se sitúa el punto de aplicación de uno de
ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que
tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el
extremo del segundo.
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con
una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede
formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal
representa la resta de dichos vectores.
Para efectuar sumas o restas de tres o más
vectores, el proceso es
idéntico. Basta con aplicar la propiedad
asociativa.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios
vectores se le denomina resultante.
Suma de Vectores
La suma de los vectores podemos realizarla de dos
maneras diferentes, analítica y
gráficamente.
Procedimiento Gráfico
Para sumar dos vectores de manera gráfica
utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo,
consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos
por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que
obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar
la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el
siguiente dibujo:
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica
es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el
origen de éste, coincida con el extremo del primer vector,
y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el
origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la
siguiente manera:
Hay que tener muy
presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se
suman (tal y como ya hemos visto en la sección de
la
suma de vectores), pero vectores con
sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el
apartado correspondiente a la resta de vectores). A
continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de
vectores.
Método
Algebraico para la Suma de vectores
Dados tres vectores
La expresión correspondiente al vector suma
es:
o bien
siendo, por tanto,
La suma de vectores goza de las siguientes
propiedades:
Conmutativa
a + b = b + a
Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro o vector 0
a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico u opuesto a'
a + a' = a' + a = 0
a' = -a
Producto de
un vector por un escalar
El resultado de multiplicar un escalar k
por un vector v, expresado analíticamente por
kv, es otro vector con las siguientes
características :
1.- Tiene la misma dirección que v.
2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un
número positivo, y es el opuesto, si k es un
número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que representa
el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es
el vector nulo).
Analíticamente, tenemos que multiplicar el
escalar por cada una de las coordenadas del vector.
Ejemplo : Dado el vector v de componentes :
vxi + vyj + vzk, el
producto 3
· v = 3 · vxi + 3
· vyj + 3 ·
vzk.
La representación gráfica del producto es
igual a sumar el vector tantas veces como indica el
escalar.
Ejemplo :
Propiedades
El producto de un vector por un escalar cumple las
siguientes propiedades:
Producto escalar de dos
vectores
El producto escalar de dos vectores, expresado
analíticamente como r · v, se obtiene de la
suma de los productos
formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir,
dados dos vectores r y v, expresados en un mismo
sistema de coordenadas:
r = rxi + ryj +
rzk
v
= vxi + vyj +
vzk
teniendo en cuenta que el producto escalar de los
vectores :
i · i = j · j
= k · k = 1
i · j = i · k =
j · k = 0
el resultado de multiplicar escalarmente r por
v es:
r · v = rx·
vx + ry · vy+
rz · vz
Esta operación no solo nos permite el cálculo de
la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus
módulos ), sino también calcular el ángulo
que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar
también se puede hallar en función de
sus módulos y del coseno del ángulo que forman
mediante la fórmula :
r · v = |r| · |v|
· cos (r, v)
Propiedades
Conmutativa : r · v = v ·
r
Distributiva : r
· ( v + u ) = r · v + r ·
u
Asociativa : ( k · r ) · v =
k · ( r · v ) = r · (
k · v ) siendo k escalar.
Además :
1.- r · r = 0 si, y sólo sí
r = 0.
2.- Si r y v <> 0 y r · v = 0,
esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º
= 0).
3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a
multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector
proyección del otro sobre él.
Ejemplo :
Proyección ortogonal
(rv) de r sobre v
rv= |r| cos (r, v) -> r · v =
|v| · rv
Producto vectorial
El producto vectorial de los vectores a y
b, se define como un vector, donde su dirección es
perpendicular al plano de a y b, en el sentido del
movimiento de
un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más
corto de a a b,
donde n es un vector unitario perpendicular al
plano de a y b en el sentido del movimiento de un
tornillo que gira hacia la derecha de a a
b.
Propiedades:
Un vector no solo nos da una dirección y un
sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le
denomina módulo.
Gráficamente: es la distancia que
existe entre su origen y su extremo, y se representa
por:
Coordenadas cartesianas: En
muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres
direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un
sistema cartesiano tridimensional.
Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX,
j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar
puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales
que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos
encontramos con que el módulo de a es:
Ecuación de la Recta
Que Pasa Por El Origen
Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma
un ángulo de inclinación 
con el eje x
Tómese sobre la recta los puntos
P1(x1, y1),P2
(x2, y2) y P3 (x3,
y3). Al proyectar los puntos P1,
P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los
puntos P’1, P’2,
P’3.
Como los triángulos
OP1P’1,
OP2P’2 y
OP3P’3 son semejantes; se tiene
que:
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,
ó y =
mx (1)
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa
por el origen y tiene pendiente conocida m.
Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente
m Y Su Intercepto b Con El Eje y
Considere una recta l de la que se conocen m
(m = tan ) y b
Trácese por el origen la recta l’
paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al
llamar P’ la proyección de P sobre el eje x;
PP’ corta a la recta l’ en un punto
P’’ de coordenadas
La ecuación y = mx + b es la ecuación de
la recta en términos de su pendiente m y su
intercepto b con el eje y.
Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto
Y De Pendiente Conocida
Considere la recta l que pasa por un punto
dado P1(x1, y1) y cuya pendiente
m también es conocida
..
Al llamar b al intercepto de la recta l con el
eje y, entonces la ecuación de l, viene dada
por:
y = mx +
b
(1)
Como P1(x1,
y1) 
,
entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:
y1 = mx1 +
b
(2)
Al restar de la ecuación (2) la ecuación
(1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se
obtiene:
y – y1 = m(x – x1)
(3)
La ecuación (3) es conocida como la forma:
PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.
Nótese que la ecuación (3) también
puede escribirse en la forma:
y = mx + (y1 –
mx1).
Lo que indica que él intercepto b con el eje y
viene dado por:
b = y1 –
mx1
Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos dados P1(x1, y1) y
P2(x2, y2)
.. Sea l la recta
que pasa por los puntos P1(x1,
y1) y P2(x2, y2) y
llámese m1 su pendiente
Como l pasa por el punto
P1(x1, y1) y tiene pendiente
m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que
y – y1 = m1 (x –
x1) (1)
representa la ecuación de dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2,
y2) ,
entonces satisface su ecuación
La ecuación (3) se conoce como la forma:
DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.
Ecuación segmentaría de la línea
recta
Considere la recta l de la cual conocemos los
interceptó a y b con los ejes x e y
respectivamente
Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b),
entonces de acuerdo a la sección la ecuación de
l viene dada por:
Dividiendo esta última ecuación por b, se
obtiene:
La ecuación (1) se conoce como la ecuación
SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la
línea recta. Los números a y b son las medidas de
los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo
correspondiente, pues haciendo en (1)
y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje
x)
x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)
Ecuación general de la línea
recta
…. La ecuación
Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no
son simultáneamente nulos, se conoce como la
ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e
y.
..La ecuación
explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye
las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son
de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin
excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By
+ C = 0 que se conoce como: la ecuación general de
la línea recta, como lo afirma el siguiente
teorema
TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C =
0 (1) , 
R; A y B no son
simultáneamente nulos, representan una línea
recta.
Demostración
i. Se puede Considerar varios
casos:
A = 0, B diferente de 0.
En este caso, la
ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde
La ecuación (2) representa una línea recta
paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y
es 
ii. 
En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C
= 0, de donde
La ecuación (3) representa una línea recta
paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x
es 
iii. 
En este caso, la ecuación (1) puede escribirse
en la siguiente forma:
La ecuación (4) representa una línea
recta, cuya pendiente es 
y cuyo intercepto con el eje y viene dado
por 
observaciones
i. Es posible
escribir la ecuación general de la línea recta en
varias formas, de tal
manera que solo
involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos
distintos
de cero, podemos
escribir la ecuación (1), en las siguientes formas
equivalentes:
En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe
esencialmente solo dos
constantes
independientes, por ejemplo 
en (1A)
Esto indica que para determinar la ecuación de
una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones,
como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en
concordancia con lo establecido en los numerales
anteriores.
iii. Cuando la ecuación de una recta
esta expresada en la forma general
Ax + By +
C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto
al eje x, m
viene dado
por 
y su
coeficiente angular n, con respecto al eje
y
viene dado por
.
Los coeficientes A y B se denominan
coeficientes directores de la recta.
IV. Historia del
Cálculo
DE CÓMO SE GESTÓ Y VINO AL MUNDO
EL CÁLCULO INFINITESIMAL
N e w t o n
L
e i b n i z
( 1 642 – 1 727 )
( 1
646 – 1 716)
Del legado de las matemáticas, el cálculo
infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y
eficaz para el estudio de la naturaleza. El
cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e
integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los
infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del
cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego;
concretamente a los cálculos de áreas y
volúmenes que Arquímedes realizó en
el siglo III a.C. Aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta
el siglo XVII, ¡2000 años!, para que apareciera -o
mejor, como Platón
afirmaría, para que se descubriera- el cálculo.
Varias son las causas de semejante retraso.
Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un
sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal-
así como del desarrollo del
álgebra
simbólica y la geometría
analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y
no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los
cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y
mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió
principalmente en el siglo XVII.
Ya los griegos se habían preocupado de como
tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el
infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras
distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente
grande. Ya se vislumbra de algún modo en la
inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado; también,
claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de
Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de
extrañar que alguien intentara regularlos.
Ese alguien fue Aristóteles. Lo que hizo
fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito
exista como ser en acto o como una substancia y un principio",
escribió, pero añadió "es claro que la
negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias
imposibles" de manera que el infinito "existe potencialmente
[…] es por adición o división". Así, la
regulación aristotélica del infinito no permite
considerar un segmento como una colección de puntos
alineados pero sí permite dividir este segmento por la
mitad tantas veces como queramos. Fue
Eudoxio, discípulo de Platón y
contemporáneo de Aristóteles quien
hizo el primer uso "racional" del infinito en las
matemáticas. Eudoxio postuló que "toda
magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción
de una cantidad determinada". Es el famoso principio de
Arquímedes que éste toma prestado a
Eudoxio y que sirvió a aquél para superar la
primera crisis de las
Matemáticas -debida al descubrimiento de los
irracionales-.
No obstante, fue
Arquímedes el precursor del
cálculo integral aunque desgraciadamente su método se
perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en
el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original
método "mecánico" donde además se saltaba la
prohibición aristotélica de usar el infinito in
acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 … La genial
idea del siracusano fue considerar las áreas como una
colección -necesariamente infinita- de segmentos.
Habrá que esperar 2000 años hasta que otro
matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar
de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz
descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de
Pascal donde éste usaba un método semejante.
La necesidad de entender
obras griegas difíciles como las de
Arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento
del cálculo. -ya en el siglo XVII se habían
recuperado y se dominaban la mayoría de las obras
griegas.
También ayudó al surgimiento del
cálculo el cambio de
actitud en la
matemática
del siglo XVII quizá influenciada por los grandes
descubrimientos de todo tipo -geográficos,
científicos, médicos y tecnológicos- que fue
el interés
de los matemáticos por descubrir más que por dar
pruebas
rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin
las limitaciones aristotélicas. Y finalmente, el
descubrimiento de la Geometría analítica de
Descartes y Fermat.
La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la
geometría analítica de Fermat
y Descartes. La importancia de este descubrimiento
consiste en que la geometría analítica permite el
tratamiento algebraico de problemas
geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc.
fórmulas algebraicas que las describen y permiten su
manipulación analítica. De esta forma encontrar
tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo
-basta saber calcular las derivadas como
ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para
cada curva, procedimientos
geométricos.
Como ya mencionamos, en
el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a
los infinitos que los griegos les habían tenido:
Kepler y Cavalieri fueron
los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que
llevaría en medio siglo al descubrimiento del
cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a
Cavalieri -discípulo de Galileo-.
Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y
volúmenes formados por trozos de áreas planas
redescubriendo las bases metodológicas del método
mecánico -y desconocido en aquella época- de
Arquímedes. Cavalieri incluso fue más
allá intentando construir una teoría
de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos,
demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no
consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa
apareciendo en alguna parte-. Las desventajas de su
método de indivisibles -poca generalidad, debilidad
lógica,
excesivos razonamientos y procedimientos geométricos-
fueron rápidamente superados por Torricelli, Fermat,
Pascal, Wallis
y Roberval.
Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin
duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita
discípulo de Clavius. Sus principales aportaciones
las publicó en su Opus geometricum.
En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las
series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las
mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de
Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además
resolvía magistralmente argumentando que Zenón no
consideró en la persecución de Aquiles que el
tiempo formaba una progresión geométrica de
razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar
a la tortuga. Una de las aportaciones más valiosas de
Saint-Vicent consistió en su hallazgo de que el
área encerrada bajo una hipérbola se expresaba
mediante los logaritmos.
Nuestro próximo personaje es John
Wallis, miembro
fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de
Arquímedes que además escribió una
Gramática inglesa. Wallis
aritmetizó los indivisibles de Cavalieri
asignándoles valores
numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de
áreas -hasta el momento algo meramente geométrico-
en cálculos aritméticos más un primitivo
proceso de límite haciendo además un uso
"descarado" del infinito -a él debemos también el
símbolo que usamos actualmente, ese 8
acostado-.
Es curiosa la opinión que él mismo
profesaba de sus métodos:
"Este procedimiento es
altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien
conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo
que es superfluo, porque la frecuente iteración produce
náuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede
realizar la prueba", escribió en su Arithmetica
infinitorum. Usando su método aritmético, la
inducción incompleta, y su
intuición llegó a calcular el área de todas
las parábolas generalizadas x ^ r con
r racional excluyendo al 1, además de una
bellísima fórmula para calcular Pi.
El trabajo de Wallis influyó enormemente
en Newton quien aseguró que el desarrollo del
binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo se
originaron en su estudio del libro de
Wallis en la época de estudiante en
Cambridge.
El mismo Wallis propone una genealogía del
cálculo:
Método de exhausión (Arquímedes)
Método de los indivisibles
(Cavalieri)
Aritmética de los infinitos
(Wallis)
Métodos de las series infinitas
(Newton)
Dediquemos algún tiempo
a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el
cálculo de tangentes, que junto al de áreas
constituyeron la base del cálculo. En la parte central del
siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de
cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el
siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver
problemas de cálculos de tangentes, áreas,
volúmenes, etc.; los primeros darían origen al
cálculo
diferencial, los otros al integral. Como hemos
mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, …
siguieron los pasos de Kepler y
Cavalieri; además de los
infinitésimos cada vez se usaban más
fórmulas y menos dibujos: la
geometría analítica cumplía su
función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el
maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien,
podría haber arrebatado a su discípulo el
descubrimiento del cálculo. En efecto, la geometría
analítica amplió considerablemente el horizonte de
las curvas geométricas. Este incremento de nuevas curvas
hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para
calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de
adigualdades de Pierre Fermat que servía
además para calcular máximos y mínimos. Esto
unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor a un
puesto de honor como precursor del cálculo. Newton,
en una carta descubierta
en 1934, escribió en relación con sus ideas para el
desarrollo del cálculo: "La indicación me la dio el
método de Fermat para las tangentes.
Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directa e
inversamente, yo lo hice general".
Relacionado con los problemas de tangentes surgió
a mediados del S.XVII el llamado problema inverso de tangentes,
es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus
tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue
Florimond de Beaune,
discípulo de Descartes, quien planteó,
entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente
constante. El propio Descartes lo intentó sin
éxito
siendo Leibniz el primero en resolverlo en la primera
publicación de la "historia sobre el cálculo
infinitesimal". De hecho un elemento esencial para el
descubrimiento del cálculo fue el reconocimiento de que el
problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas
inversos; es por eso que la relación inversa entre la
derivación y la integración es lo que hoy llamamos
Teorema fundamental del cálculo.
Newton en su
célebre frase "Si he llegado a ver más lejos que
otros es por que me subí en hombros de gigantes" se
refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow.
Barrow fue probablemente el científico que estuvo
más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a
las matemáticas en su afán de comprender la
teología -de hecho se marchó de su cátedra
en Cambridge, cediéndosela a
Newton para continuar sus estudios
teológicos-. En la lección X de su obra Letiones
opticae & geometricae Barrow demuestra su
versión geométrica del Teorema fundamental del
cálculo.
En el último
cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de
manera independiente, sintetizaron de la maraña de
métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos
conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral,
desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de
derivación- y mostraron que ambos conceptos eran inversos-
Teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el
cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas
de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes,
centros de gravedad, etc. que habían ocupado a sus
predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante
sus correspondientes reglas de cálculo.
El primero en descubrirlo fue
Newton, pero su fobia por publicar le
hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton
gestó el cálculo en sus anni mirabilis
(1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia
de peste que asolaba Inglaterra. De
hecho su primera obra sobre el cálculo, De
analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le
valió la cátedra lucasiana que dejó su
maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo
la publicó en 1711. La segunda obra de
Newton sobre el cálculo fue escrita
dos años más tarde en 1671 pero esperaría
hasta 1737 para ver la luz !diez
años después de su muerte y 66
después de escrita!. Se trata de De methodis serierum
et fluxionum.
En ella Newton describe sus conceptos de fluente
-es una variable en función del tiempo- y fluxión
de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como
entidades propias, con unas reglas algorítmicas de
fácil uso que luego usará para resolver distintos
problemas de máximos y mínimos, tangentes,
cuadraturas -en relación a este último,
estableció el ya mencionado Teorema fundamental del
cálculo-. Para demostrar la potencia de su
cálculo Newton se dedica en unas "pocas"
páginas a resolver todos los problemas de cálculo
de tangentes, áreas, etc. que habían ocupado a sus
predecesores.
Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente
es ¿por qué Newton tardó
tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar personalidad y
las distintas disputas que tuvo con muchos de sus
contemporáneos, Newton era consciente de la
débil fundamentación lógica de su
método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre
hubo copias de sus trabajos circulando entre sus
amigos-.
Este temor también está patente en su obra
cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje
geométrico más riguroso -y oscuro- eliminando todo
indicio de su cálculo que probablemente usó -se
puede encontrar una única mención del mismo en el
lema II de la sección II del libro II: la regla para
derivar productos-.
Leibniz, más
conocido como filósofo, fue el otro inventor del
cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de
Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar
el invento. Lo hizo además usando una vía
ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la
difusión de sus resultados los publicó en una de
las recién creadas revistas científico
filosóficas, el Acta Eroditorum, que el mismo había
ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para
la ciencia
donde empezaron a aparecer las revistas científicas que
permitirían luego y hasta nuestro días la
difusión del conocimiento y
los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en
París -ya que era un afamado diplomático-
Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar
matemáticas.
En 1673, luego de estudiar los tratados de
Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de
tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes.
Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y
diferencias de sucesiones
comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y
diferencias infinitesimales que acabarían en la
gestación de su cálculo por el año 1680 y a
diferencia de Newton si lo
publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo
método para los máximos y los mínimos,
así como para las tangentes, que no se detiene ante
cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular
género
de cálculo para estos problemas". En este artículo
de 6 páginas -e incomprensible como él mismo luego
reconoce- Leibniz recoge de manera esquemática sin
demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial -"un
enigma más que una explicación" dijeron de
él los hermanos Bernoulli.
También Leibniz resuelve el ya mencionado
problema de De Beaune encontrando que la solución era el
logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se
llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el
análisis de los indivisibles e infinitos", también
publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece
por primera vez la notación para la integral que
todavía hoy usamos -en el primero introduce la
notación "dx" para la diferencial-.
Como colofón a estas
páginas dedicaremos unas líneas a tratar la mayor
de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la
prioridad de la invención del cálculo. Las
suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores,
primero sobre quién había descubierto antes el
cálculo y, después, sobre si uno lo había
copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de
prioridad que amargó los últimos años de
ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable
pues los métodos de ambos genios tienen importantes
diferencias conceptuales que indican claramente la génesis
independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas
generadas por el movimiento continuo de un punto basándose
su cálculo diferencial en la medida de la variación
de la misma -de su fluir- mientras que Leibniz consideraba una
curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya
prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya
geometría se obtiene la correspondiente relación
entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de
ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue
resuelto totalmente mediante el concepto de
límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la
década 1960-70 hasta la aparición del
Análisis no-estándard de Abrahan
Robinson.
La polémica en cuestión se fraguó a
finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho
ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton
-que el mismo Newton le había indicado que existía
en sus Epistolae : Expistola prior y posterior, sendas
cartas
dirigidas a Leibniz. En ambas Newton explica muy someramente
-básicamente se centra en el teorema del binomio- su
método de cálculo.- Además en Holanda -como
le aseguró Wallis a Newton- se atribuía el
cálculo a Leibniz, eso sin contar que los
discípulos de Leibniz habían publicado el primer
libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits
que redactó el Marquéz de L'Hospital a partir de
las clases particulares que le dio Juan Bernoulli.
La respuesta de los seguidores de Newton no se hace
esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer
volumen de las
obras matemáticas de Wallis la correspondencia cursada con
Leibniz, las Epistolas prior y posterior donde éste
pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego
Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber
plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura
curvarum, Newton alega "En una carta escrita al Sr. Leibniz en
1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el
cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de
la cuadratura de figuras curvilíneas […] Hace
años presté un manuscrito conteniendo tales
teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con
varias cosas copiadas de él, lo hago público en
esta ocasión". La respuesta de Leibniz no se hizo
esperar.
En una reseña del De quadratura curvarum,
publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer
a su autor: Leibniz – en 1705 en las Actas se dice "Para entender
mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos.
Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo,
una línea varía por el fluir de un punto que la
describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados
diferencias […] Y por tanto ha aparecido el cálculo
diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los
elementos de este cálculo han sido publicados por su
inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus
varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y
hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En
vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó,
y ha empleado siempre, fluxiones". Esta reseña fue el
detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical
Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a
Leibniz de plagio. Tras la protesta de Leibniz la Royal Society
nombra una comisión -que resultó estar plagada de
amigos de Newton – que luego de varias deliberaciones
dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a
Leibniz – aunque tampoco rectificó las duras palabras de
Keill-. Esta absurda guerra
duró hasta principios del
siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses
deciden adoptar la notación leibniziana, que hasta el
momento habían ignorado.
Como apéndice a nuestra
exposición vamos a relatar, a modo de
realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas
que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta
por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona. El
problema consistía en determinar la curva por la que un
cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que
no estén en posición vertical u horizontal. Este
problema ya interesó en su día a Galileo aunque
éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues
para ello se precisaba del cálculo-. La historia es como
sigue.
En el número de junio de 1696 de las Actas
Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores
matemáticos del mundo. En realidad era un reto encubierto
a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis
meses pero a petición de Leibniz se amplió para que
tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que
se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones:
una de Leibniz, una del mismo Juan Bernoulli, otra de su
hermano Jacobo Bernoulli, una del Marquéz de L'Hospital y
una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital daban con la
solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor
anónimo que escogió las Philosophical Transactions
para publicar su genial solución que sólo
contenía 67 palabras?. Un vistazo a la solución fue
suficiente para que Juan Bernoulli exclamara "tanquam ex ungue
leonen", algo así como "¡reconozco al león
por sus garras!" pues claro está que era Newton.
Años más tarde se aclaró toda la historia.
Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos
ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que
comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el
cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para
resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan
Bernoulli éste conjetura que sólo quien conozca el
cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro
está-. Como no podía ser de otra forma el reto
llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no
"hacía ciencia" sino que trabajaba en la Casa de la Moneda
inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este
recibió el problema a las 4 de la tarde cuando
regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía
lista su solución 12 horas después -aunque lo que
probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya
había pensado en ese problema unos años antes y que
casi seguro lo
había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar
la memoria ese
día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya
había resuelto el problema ¿por qué no lo
publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la
que dió Augusto de Morgan "Cada descubrimiento de Newton
tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los
demás teníamos que descubrir que él lo
había hecho"
V. Definición del calculo
vectorial
El cálculo vectorial es un campo de las
matemáticas referidas al análisis real
multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste
en una serie de fórmulas y técnicas
para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.
Consideramos los campos vectoriales, que asocian un
vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que
asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la
temperatura de
una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor
escalar de temperatura. El flujo del agua en la
misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un
vector de velocidad.
Cuatro operaciones son
importantes en el cálculo vectorial:
- Gradiente: mide la tasa y la dirección del
cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es
un campo vectorial.
- Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo
vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo
vectorial es otro campo (seudo)vectorial.
- Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial
a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la
divergencia de un campo vectorial es un campo
escalar.
- Laplaciano
La mayoría de los resultados analíticos se
entienden más fácilmente usando la maquinaria de la
geometría diferencial, de la cual el cálculo
vectorial forma un subconjunto.
SIR ISAAC NEWTON
Isaac Newton nació el día de Navidad del
antiguo calendario en 1642 (correspondiente al 4 de Enero de 1643
del nuevo calendario), año en que moría Galileo, en
el pueblecito de Woolsthorpe, unos 13 Km. al sur de Grantham, en
el Lincolnshire. Fue un niño prematuro y su padre
murió antes de su nacimiento, a los treinta y siete
años. Isaac fue educado por su abuela, preocupada por la
delicada salud de su
nieto. Su madre, mujer ahorrativa
y diligente, se casó de nuevo cuando su hijo no
tenía más que tres años. Newton
frecuentó la escuela del lugar
y, siendo muy niño, manifestó un comportamiento
completamente normal, con un interés marcado por los
juguetes
mecánicos.
El reverendo William Ayscough, tío de Newton y
diplomado por el Trinity College de Cambridge, convenció a
su madre de que lo enviara a Cambridge en lugar de dejarlo en la
granja familiar para ayudarla. En junio de 1661, a los dieciocho
años, era pues alumno del Trinity College, y nada en sus
estudios anteriores permitía entrever o incluso esperar la
deslumbrante carrera científica del fundador de la
mecánica y la óptica.
Por otra parte, el Trinity College tenía fama de ser una
institución sumamente recomendable para aquellos que se
destinaban a las órdenes. Afortunadamente, esta
institución le brindó hospitalidad, libertad y una
atmósfera
amistosa que le permitieron tomar contacto verdadero con el campo
de la ciencia.
Al comienzo de su estancia en Cambridge, se
interesó en primer lugar por la química, y este
interés, según se dice, se manifestó a lo
largo de toda su vida. Durante su primer año de estudios,
y probablemente por primera vez, leyó una
obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides,
lo que despertó en él el deseo de leer otras obras.
Parece también que su primer tutor fue Benjamin Pulleyn,
posteriormente profesor de
griego en la Universidad. En
1663, Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la
Geometria a Renato Des Cartes de Van Schooten, la Optica de
Kepler, la Opera mathematica de Vieta, editadas por Van Schooten
y, en 1644, la Aritmética de Wallis que le serviría
como introducción a sus investigaciones
sobre las series infinitas, el teorema del binomio, ciertas
cuadraturas. También a partir de 1663 Newton
conoció a Barrow, quien le dio clase como
primer profesor lucasiano de matemáticas. En la misma
época, Newton entró en contacto con los trabajos de
Galileo, Fermat, Huygens y otros, a partir probablemente de la
edición
de 1659 de la Geometria de Descartes por
Van Schooten.
Desde finales de 1664, Newton parece dispuesto a
contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas.
Aborda entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos
de Wallis, y el cálculo de fluxiones. Después, al
acabar sus estudios de bachiller, debe volver a la granja
familiar a causa de una epidemia de peste bubónica.
Retirado con su familia durante
los años 1665-1666, conoce un período muy intenso
de descubrimientos: descubre la ley del inverso del cuadrado, de
la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones,
generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la
naturaleza física de los colores. Sin
embargo, Newton guarda silencio sobre sus descubrimientos y
reanuda sus estudios en Cambridge en 1667.
De 1667 a 1669, emprende activamente investigaciones
sobre óptica y es elegido fellow del Trinity College. En
1669, Barrow renuncia a su cátedra lucasiana de
matemáticas y Newton le sucede y ocupa este puesto hasta
1696. El mismo año envía a Collins, por medio de
Barrow, su Analysis per aequationes numero terminorum infinitos.
Para Newton, este manuscrito representa la introducción a
un potente método general, que desarrollará
más tarde: su cálculo diferencial e integral. En
1672 publicó una obra sobre la luz con una
exposición de su filosofía de las ciencias,
libro que fue severamente criticado por la mayor parte de sus
contemporáneos, entre ellos Robert Hooke (1638-1703) y
Huygens, quienes sostenían ideas diferentes sobre la
naturaleza de la luz. Como Newton no quería publicar sus
descubrimientos, no le faltaba más que eso para
reafirmarle en sus convicciones, y mantuvo su palabra hasta 1687,
año de la publicación de sus Principia, salvo
quizá otra obra sobre la luz que apareció en
1675.
Desde 1673 hasta 1683, Newton enseñó
álgebra y teoría de ecuaciones, pero parece que
asistían pocos estudiantes a sus cursos. Mientras tanto,
Barrow y el astrónomo Edmond Halley (1656-1742)
reconocían sus méritos y le estimulaban en sus
trabajos. Hacia 1679, verificó su ley de la
gravitación universal y estableció la
compatibilidad entre su ley y las tres de Kepler sobre los
movimientos planetarios.
Newton descubrió los principios de su
cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante
el decenio siguiente elaboró al menos tres enfoques
diferentes de su nuevo análisis. Desde 1684, su amigo
Halley le incita a publicar sus trabajos de mecánica, y finalmente, gracias al
sostén moral y
económico de este último y de la Royal Society,
publica en 1687 sus célebres Philosophiae naturalis
principia mathematíca. Los tres libros de esta
obra contienen los fundamentos de la física y la astronomía escritos en el lenguaje de
la geometría pura. El libro I contiene el método de
las "primeras y últimas razones" y, bajo la forma de notas
o de escolios, se encuentra como anexo del libro III la
teoría de las fluxiones. Aunque esta obra monumental le
aportó un gran renombre, resulta un estudio difícil
de comprender, y parece que Newton quiso que fuera así con
el fin «de evitar ser rebajado por pequeños
semisabios en matemáticas». Quiso escapar así
a las críticas suscitadas por sus textos sobre la
luz.
En 1687, Newton defendió los derechos de la Universidad
de Cambridge contra el impopular rey Jacobo II y, como resultado
tangible de la eficacia que
demostró en esa ocasión, fue elegido miembro del
Parlamento en 1689, en el momento en que el rey era destronado y
obligado a exiliarse. Mantuvo su escaño en el Parlamento
durante varios años sin mostrarse, no obstante, muy activo
durante los debates. Durante este tiempo prosiguió sus
trabajos de química, en los que se reveló muy
competente, aunque no publicara grandes descubrimientos sobre el
tema. Se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica además de construir
telescopios.
Después de haber sido profesor durante cerca de
treinta años, Newton abandonó su puesto para
aceptar la responsabilidad de Director de la Moneda en 1696.
Durante los últimos treinta años de su vida,
abandonó prácticamente sus investigaciones y se
consagró progresivamente a los estudios religiosos. Fue
elegido presidente de la Royal Society en 1703 y reelegido cada
año hasta su muerte. En 1705 fue hecho caballero por la
reina Ana, como recompensa a los servicios
prestados a Inglaterra.
Los últimos años de su vida se vieron
ensombrecidos por la desgraciada controversia, de envergadura
internacional, con Leibniz a propósito de la prioridad de
la invención del nuevo análisis, Acusaciones mutuas
de plagio, secretos disimulados en criptogramas, cartas
anónimas, tratados inéditos, afirmaciones a menudo
subjetivas de amigos y partidarios de los dos gigantes
enfrentados, celos manifiestos y esfuerzos desplegados por los
conciliadores para aproximar a los clanes adversos, he
aquí en pocas palabras los detalles de esta célebre
controversia, que se terminó con la muerte de
Leibniz en 1716, pero cuyas malhadadas secuelas se harán
sentir hasta fines del siglo XVIII.
Después de una larga y atroz enfermedad, Newton
murió durante la noche del 20 de marzo de 1727, y fue
enterrado en la abadía de Westminster en medio de los
grandes hombres de Inglaterra.
"No sé cómo puedo ser visto por el mundo,
pero en mi opinión, me he comportado como un niño
que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en
cuando una piedra más pulida y una concha más
bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la
verdad se exponía ante mí completamente
desconocido."
Esta era la opinión que Newton tenía de
sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y
ningún hombre ha
recibido tantos honores y respeto, salvo
quizá Einstein. Heredó de sus predecesores, como
él bien dice "si he visto más lejos que los otros
hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los
ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de
la dinámica y la mecánica celeste, al
tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso
vital que le faltaba.
Leibniz, Gottfried Wilhelm
Nacionalidad:
Alemania
Leipzig 1-7-1646 – Hannover
14-11-1716
Nacido en Leipzig en 1646, hijo de un profesor de
universidad, se formó en su localidad natal en
Filosofía y en Derecho en Jena y Altdorf,
doctorándose a los veinte años. Erudito, sus
contribuciones tocan los campos de la historia, las leyes, la
lengua, la
teología, la física y la filosofía. Al mismo
tiempo que Newton descubre el cálculo infinitesimal.
Continuador de la filosofía de Descartes, para quien
existían dos clases de sustancias -corporal y espiritual-,
para Leibniz sólo existe la segunda, que además
será simple, indivisible y actuante, es decir, motor de la
acción. Establece que el mundo está compuesto de
"mónadas", unidades mínimas cargadas de atributos,
con capacidad para percibir y actuar. Cada una de ellas es
única y refleja en sí el universo,
configurando a su vez un universo en
pequeño. Las mónadas no se influyen o
interactúan entre sí, sino que actúan de
manera independiente y sin comunicación.
Por otro lado, Leibniz postula la teoría de la
armonía preestablecida, según la cual Dios es el
creador de las cosas que hay en el universo, pero son las cosas
las que, dotadas de movimiento, se mueven por sí mismas.
Defensor de Dios en su "Teodicea", critica los argumentos de
Bayle según los cuales un mundo imperfecto, en el que
existe el mal, no puede haber sido realizado por un Dios perfecto
y bien supremo. Leibniz argumenta que, si bien el mundo no es
absolutamente perfecto, sí es el más perfecto de
los posibles, como expresa un famoso personaje del
"Cándido" de Voltaire. El
"optimismo metafísico leibniziano" se formula
también preguntas acerca del origen del mal y de la
relación entre predestinación y libre
albedrío, concluyendo que Dios permite la existencia del
mal, si bien no la quiere, y que el destino y la libertad del
individuo
funcionan conjuntamente. En el campo de la matemática,
realizó contribuciones a la teoría de los
números, al cálculo mecánico,
álgebra, etc. Es el iniciador de la lógica
matemática y de la topología. Enuncia el principio
según el cual la masa por el cuadrado de la velocidad se
mantiene constante. Falleció en Hannover el 14 de
noviembre de 1716, siendo el primer filósofo alemán
de repercusión universal.
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- www.rincondelvago.com
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- Enciclopedia Encarta 2005
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OMAR RACERO