- Objetivos
- Rosa de cuatro
hojas/pétalos - Rosa de tres
hojas/pétalos - Rosa de ocho
hojas/pétalos - Una rosa dentro de
otra - Cardioides
- Limacones o
caracoles - Circunferencia
- Lemniscata
- La Nefroide de
Freeth - Concoides de
Nicómenes - Cisoide de
Diocles - Parábola
- Espiral
- Conclusión
- Bibliografía
- Estudiar y analizar las diferentes figuras que se
forman mediante la graficación de funciones
trabajando con coordenadas polares.
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
- Apreciar las figuras que se forman con funciones en
el plano polar. - Visualizar la importancia de las coordenadas
polares. - Diferenciar las figuras de funciones formadas en
coordenadas polares. - Familiarizarse de manera global con los gráficos que resultan de determinadas
funciones.
Al comenzar los estudios del Cálculo se
suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o
coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares.
Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio
del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar
coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y
procedimientos
que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas
cartesianas. No se trata de que un sistema de
coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes
pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en
otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del
trabajo que
estemos realizando.
En este trabajo investigativo se presenta una buena
cantidad de gráficos que nos permitirán conocer
muchas de las figuras o gráficos que se forman usualmente
a través de funciones en coordenadas polares. Cada uno de
ellos tiene una breve explicación que consiste en
describir el gráfico que resulta de la función y
también se dan algunos breves detalles históricos o
características que nos permiten reconocer determinado
gráfico.
Para hacernos una idea general de los gráficos
que se presentarán durante las páginas que veremos
seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de
funciones que son graficados en este reporte o las figuras que
resultarán:
1. Rosa
2. Cardioide
3. Limaçon o caracol
4. Circunferencia
5. Lemniscata
6. Nefroide de Freeth
7. Concoide de Nicómenes
8. Cisoide de Diocles
9. Parábola
10. Espiral
Por supuesto que existen muchísimas otras figuras
que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares,
pero para este estudio se ha tratado de presentar las más
importantes o comunes, a la vez que se muestra
más de un ejemplo para casi todos los tipos de
gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma
que cada función tendrá al ser graficada en las
coordenadas polares.
Se espera que al finalizar la lectura
completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada
figura y se tenga una idea global de los tipos de gráfico
que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas
polares.
Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de
cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se
forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos.
La función para este gráfico es:
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de
tres pétalos. Analógicamente al gráfico
de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es
parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su
forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
El siguiente gráfico es como los dos anteriores,
pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en
la siguiente función graficada:
Un caso interesante y especial que se puede dar es el
que se muestra en la gráfica que vemos a
continuación, donde se aprecia una rosa de tres
pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres
pétalos u hojas. Veamos:
A continuación se presenta el tipo de
gráfico que se denomina cardioide. Para este
ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto
al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que
se distingue una figura como de un corazón,
razón por la cual se llama este gráfico cardioide.
La función que lo ha generado es:
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode,
se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta
hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la
siguiente función:
Limaçon viene del latín limax que
significa caracol. El caracol de Pascal, lo
descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la
primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval
en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su
método
para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan
limaçones son las funciones en coordenadas polares con la
forma:
r = 1 + b cos 
Ahora veamos un ejemplo concreto de un
gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol
que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior.
La función para este gráfico es la
siguiente:
Veamos otro gráfico de una función que
tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero
que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia
abajo. Veamos:
Continuando con la gráfica de caracoles o
limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o
caracol con concavidad. Como podremos observar, este no
tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a
continuación el gráfico que resulta, el cual apunta
hacia la izquierda:
Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con
la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de
modo que tenemos un limaçon o caracol con
hendidura o concavidad que está dirigido hacia la
derecha:
Antes de terminar el tema de los
limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a
los otros, que es conocido como caracol convexo o
caracol ovalado, el cual está apuntando hacia
arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:
Esta nueva función nos presenta una forma
conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la
cual será formada en el gráfico polar mediante la
siguiente función:
Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una
circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece
arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a
diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia
aparecía abajo del radio inicial. La
función con su gráfico es esta:
En matemáticas, una leminscata es un
tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en
coordenadas polares:
La representación gráfica de esta
ecuación genera una curva similar a 
. La curva se ha
convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente
utilizada en matemáticas. El símbolo en sí
mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta
función con su respectivo gráfico lo apreciamos a
continuación:
Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero
ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido
horizontal:
Finalmente se muestra un gráfico
como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con
la única diferencia que ahora se muestra en sentido
vertical. Veamos:
Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente
a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos
de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es
bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático
inglés
T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un
ejemplo se aprecia en este gráfico:
Nicómenes nació sobre el año 280
antes de Cristo en Grecia y
murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su
vida pero es famoso por su "Las
líneas de la Concoide". Veamos un
gráfico en coordenadas polares de la concoide de
Nicómenes:
Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de
Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la
derecha, mientras que la que se presenta a continuación
tiene una dirección hacia arriba. Veamos:
Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo
tenemos en el gráfico que se muestra a
continuación, donde su forma se ve diferente a los dos
gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le
está restando un número uno a la función. El
mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando
uno a la función. El gráfico quedará
así:
Esta es una curva muy famosa y útil en el
cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para
resolver el problema de la duplicación del cubo. El
gráfico aparece de esta forma:
Esta figura es muy conocida en el mundo del
Cálculo. Tal como podemos generar funciones de
parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer
también en coordenadas polares. Veamos el
ejemplo:
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal
como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos
encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La
forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por
ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación
es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor
Arquímedes, quien fue un notable físico y
matemático griego que al ser fascinado por la belleza de
esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus
propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre
las espirales, escrito en el siglo III antes de
Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos
la siguiente función en coordenadas polares que
formará la espiral polar siguiente:
Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como
espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936.
Su ecuación es r² = a² +
. En el siguiente ejemplo se
muestra una función y su respectiva gráfica que nos
permiten conocer la espiral de Fertat:
Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la
función que veremos ahora, que podríamos
encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo
gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos
apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral
son: espiral recíproca o espiral
hiperbolica. Tendremos entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral
logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente
función y su respectivo gráfico:
Luego de haber visto todas las curvas polares
presentadas a lo largo de esta investigación, podemos darnos cuenta que
hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares que
pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que
las hace particulares.
El conocer las tendencias que una función
determinada tiene en las coordenadas polares es una gran ayuda
previa que nos facilitará la graficación de las
mismas.
Aunque en la actualidad se cuenta con importantes
programas de
computación que hacen las gráficas
con la simple acción
de introducir la función que necesitamos, es totalmente
necesario que como estudiantes de Ingeniería conozcamos cómo se forman
y de dónde nacen matemáticamente cada una de estas
figuras.
Al graficar sobre papel sin la herramienta de una
calculadora graficadora y sin ningún programa que
grafique funciones polares, resultará obviamente
más difícil y nos llevará más
tiempo el
crear estas figuras gráficamente, pero si tenemos los
conocimientos necesarios en cuanto a las forma de encontrar los
puntos y tenemos una idea previa de las tendencias que
presentará el gráfico y si es simétrico o
no, seremos capaces de graficar sin complicaciones las funciones
que se nos presenten y los problemas que
se nos pida desarrollar.
En este trabajo se ha tratado también de
presentar más de un ejemplo de cada gráfico, de
manera que no estemos limitados a un solo caso, sino que veamos
las diferentes formas que pueden apreciarse en cada tipo de curva
polar.
Las explicaciones proporcionadas al inicio de cada
gráfico sirven para describir y dar una explicación
general del nombre y forma que encontraremos en cada
gráfico, y en algunos casos también se da una
reseña histórica del porqué del nombre del
gráfico así como también de la persona que lo
descubrió.
Es de esta manera que se concluye este trabajo,
esperando que sea provechoso y de valor y
utilidad.
Leithold, Louis. El Cálculo. Séptima
Edición. Oxford University Press.
©1994
Thomas, George. Cálculo Varias Variables.
Undécima Edición. Pearson Addison Wesley Educación. ©2005
Wikipedia, la enciclopedia libre.
http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata
Ministerio de Educación y Ciencia.
Formación del profesorado. España.
http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/ arquimedes.htm
Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648- 02/esp_fermat.html
Jaime Oswaldo Montoya Guzmán
Fecha de finalización del documento: 20 de
febrero de 2006.
Nivel de estudios: segundo año en la carrera
Ingeniería en Sistemas
Informáticos.
Centro de estudios: Universidad
Católica de Occidente.
Ciudad y país: Santa Ana, El Salvador.