La Transformada de Laplace

Enviado por Blue J

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La transformada de Laplace se
define como:

Siendo f(t) una función
continua para ; s>0; s>so ; siendo "s"
un parámetro real; y so un valor fijo de
"s".

La integral impropia se define como:

y se dice que si el límite existe también
existe la transformada de Laplace; y decimos que la integral
converge.

Se puede representar la actividad de la transformada de
Laplace mediante el siguiente esquema:

Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de

;para s>a.
Resultado.

Ejemplo 2: Obtener la transformada de
Laplace de f (t)= t.

aplicando la integración por partes:

L{t} =

Resultado

Y en general : L{ } =

Condición
suficiente para la existencia de la transformada de
Laplace.

Como la transformada de Laplace se define en
términos de una integral impropia que puede ser
divergente, existen funciones para
las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones
discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener
transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una
funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una
respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas
definiciones.

FUNCIONES
CONTINUAS A TROZOS:

Decimos
que una función es continua a trozos
si:

está definida y es continua en
todo , salvo en un número finito de
puntos , para
Para cada los límites
:

existen. Note que, solamente uno de estos
límites es pertinente si es uno de los extremos de
.

En general, el requisito de que estos límites
sean finitos en todos los puntos implica que las únicas
discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo
que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones
continuas a trozos son casi contínuas o que no son
demasiado discontínuas.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la
existencia de la transformada de Laplace es que entendemos
porqué una función no crezca demasiado
rápido.

FUNCIONES DE
ORDEN EXPONENCIAL

Decimos
que la función es de orden exponencial si existen
números , y tales que :

para .

Intuitivamente esto significa que la función
esta por debajo de una función
exponencial, como se muestra en la
figura.

Observación: algunas veces,
para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular
el siguiente límite:

para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor
que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que es de orden exponencial.

Solución

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de
L'Hôpital :

para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande , y así es de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier
valor de .

Solución

Calculando el límite

siempre y cuando . De donde, para grande.

Observación: no es difícil
comprobar que cualquier polinomio de grado o función trigonométrica
como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial,
así como, las sumas y productos de
un número finito de estas funciones. En general, si
y son de orden exponencial la suma y el producto
son de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que la función no es de orden exponencial.

Solución

Calculando el límite tenemos que

para cualquier valor de , con lo cual la función no es de orden exponencial.

El siguiente resultado enuncia un resultado que parece
obvio.

FUNCIONES
ACOTADAS

Sea una función acotada, entonces es de
orden exponencial.

Demostración

Como es acotada para todo . Entonces :

para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.

Observación: como y son acotadas, son de orden
exponencial.

Una vez definidos los conceptos de función
continua a trozos y función de orden exponencial ya
estamos listos para enunciar una condición necesaria para
la existencia de la transformada de Laplace.

EXISTENCIA DE LA
TRANSFORMADA

Sea una función continua a trozos y de
orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de
existe. Es decir, existe un número
tal que existe para .

Demostración

Por ser de orden exponencial existen
números no negativos , y tales que , para . Así que:

La primera integral

es una integral definida, por tanto existe. Para la
segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando , tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

Observación: el teorema anterior enuncia
una condición suficiente y no necesaria para la existencia
de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de
una función que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún
así tenga transformada, como lo muestra el siguiente
ejemplo.

Ejemplo

Compruebe que la transformada

existe, aún cuando no cumple las hipótesis del
teorema de existencia anterior.

Solución

Claramente tiene una discontinuidad infinita en
, con lo cual no es continua a trozos en
el intervalo ; pero ;

Para calcular esta última integral sea

con lo cual

Ahora note que

Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura. Observe que
si y son las regiones que se muestran en la
figura entonces:

Con lo cual, tomando el límite

Y así, . Por lo tanto

El siguiente ejemplo muestra una función para la
cual no existe la transformada de Laplace.

Ejemplo

Compruebe que no existe.

Solución

Usando la definición

Y puesto que la integral impropia

diverge, la transformada no existe.

Observación: la otra integral

es convergente para , pues

La integral

diverge, pues, por el criterio de
comparación

para toda , con lo cual ambas integrales
convergen o divergen; pero

diverge.

Así como hay tablas de integrales para facilitar
la solución de problemas de
integración, utilizaremos las tablas de transformadas de
Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones
diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema
anterior resolvimos por el método de
coeficientes indeterminados. A continuación se presentan
las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos,
en la solución de problemas algebraicos y en los problemas
de aplicación.

TRANSFORMADAS DE
LAPLACE

= L {f (t)}=F(s)

FORMULAS

_____________________|____________________________

; s>a

; s>0

; s>a

Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la
transformada.

A ) Linealidad de la transformada

Si y existen entonces:

para cualquier constante real.

Demostración

Es una consecuencia directa de la convergencia de la
suma en integrales impropias.

Ejemplo

Calcule .

Solución

Como por la propiedad de
linealidad

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la
solución de ecuaciones
diferenciales necesitamos calcular la transformada de una
derivada.

B ) Transformada de una derivada

Si es contínua a trozos y de orden
exponencial en el intervalo , entonces:

Demostración

Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

Ejemplo
Use el resultado anterior para calcular

Solución
Haciendo
, tenemos que

y de aquí concluimos que :

El siguiente resultado generaliza la transformada de una
derivada.

Transformada de una derivada
generalizada

Si son continuas a trozos y de orden
exponencial en el intervalo , entonces :

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en
una transformada la escalación de una función
.

C ) Propiedad de cambio de
escala

Sea una función continua a trozos y de
orden exponencial en , si entonces:

Demostración

Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de
variable,

Ejemplo
Si :

calcule .

Solución

Usando la propiedad de escalamiento

Teoremas de
traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez
que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la
integración por partes involucrada al calcular , es bastante tediosa. Por esta
razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran
trabajo en el
cálculo
de este tipo de transformadas.

Si conocemos que , podemos calcular la transformada de
como una traslación, de a , como lo enuncia el siguiente
teorema

Primer teorema de traslación

Si es un número real y existe, entonces

Donde

Ejemplo

Calcule

Solución

Usando el primer teorema de traslación

Segundo teorema de traslación

Si y , entonces

Demostración
Usando la definición

Ejemplo
Calcule

Solución
Para poder usar el
segundo teorema de traslación debemos completar a

Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces
es necesario sumar y restar algunos términos con la idea
de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero
existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer
esto.

Forma alternativa al segundo teorema de
traslación

Sea una función continua a trozos y de
orden exponencial en , entonces