Sistemas de Control. Ganancias de Realimentación y Observadores de Estado

RESUMEN

Problemas Resueltos

Los sistemas de
control se fundamentan básicamente en el análisis de las plantas y su
debido compensación para lograr un resultado deseado de
operación.

En este breve informe, se
presentan ciertas metodologías para estudiar la
estabilidad de las plantas, así como el diseño
de controladores y observadores de estado.

Además, se presentan resultados gráficos hechos en Matlab para visualizar
los efectos relevantes en cada caso.

Diciembre 2004

Sistemas de Control

Ganancias de Realimentación y
Observadores de Estado

Dado el siguiente sistema de
control;

Para ello determinamos la función de transferencia a lazo abierto
donde
al obtener la anti-transformada de laplace ,
se obtiene la relación de y y r en el
tiempo
para así determinar las variables de estado.
Más fácil aún, es introducir la f.t. y
usando el comando [A,B]=tf2ss(sistema) en Matlab
llegamos a los siguientes resultados
Representación en Variables de
Estados de la planta sin compensar;
Matriz ganancia de realimentación y tercer
polo que satisface requisito a baja frecuencia

Para satisfacer el requisito de error en régimen
permanente

ess=0

se requiere primero determinar la función de
transferencia a lazo cerrado y luego calcular las constantes a
través de;

donde Wcl(s) representa la f.t.l.c, y se
calcula por etapas

y finalmente la f.t.l.c es

como se puede notar, para lograr requisito de salida
solo se requiere determinar la k1

donde

. Ahora para cumplir con el requisito de polos
deseados

S1,2= -1 ± j

Para ello, empleamos el método de
ubicación de polos para obtener la matriz de
ganancias de realimentación de estado K. Una vez
que se determina el vector K se obtiene el tercer polo
S3 mediante una simple igualación

Primero construimos la matriz de controlabilidad
Wc

esto es;

luego, verificamos la controlabiliad del
sistema

rank(Wc) = 3 = dim(A)

Para obtener el polinomio característico de la
matriz A

PcA(s)=poly(A)=

PcA(s)=

Con los coeficientes a1, a2.
a3 construimos la matriz M

Hallamos la matriz de transformación
T;

y la inversa de T es

Luego se construye la matriz Pd(s) cuyo diagonal
será conformada por los pols deseados;

donde la ecuación característica deseada
es

Xd(s) = poly(Pd) =

De aquí

donde los coeficientes son

Finalmente, la matriz de ganancia de
realimentación K es;

Por lo tanto, para conocer el tercer polo
S3 igualamos la última ecuación
resultante de la multiplicación de ambas matrices; es
decir,

Este es el tercer polo que satisface la condición
en régimen permanente

Sustituyendo S3 en la Ec. I, se obtiene las
demás ganancias de realimentación

Como se puede notar, al fijar un requisito a baja
frecuencia los polos se limitan en el plano complejo S ya que
solo en una región determinada se podrán ubicar los
polos a L.C. que cumplan dicho requisito a baja
frecuencia.

La reubicación arbitraria de los polos se da en
el caso en que no hay restricciones de salida o que los polos
deseados de la ecuación característica se
encuentren bien definidos, de lo contrario se tendrá que
proceder a calcular el respectivo polo que cumpla el requisito
luego hallar las demás ganancias.

.- Se tiene el siguiente modelo
linealizado de una planta;

y por razones económicas se tiene que estudiar la
salida más apropiada a dicha planta, entre las cuales
figuran;

Simplemente determinamos el polinomio
característico de la matriz A ya que
y sus respectivos polos son,
p=roots(Xcl)
S1 = 0
S2 = 0
S3 = -5.0912
S4 = 5.0912
Polinomio característico de la
Planta
La matriz de controlabilidad es;
Wc = ctrb(A,B),
;
rank(Wc) = 4 y coincide con la dimensión de
A, dim(A)=4
por la tanto la planta es controlable;
Controlabilidad de la Planta
Esto se logra examinando la matriz de observabilidad
para cada salida;
Wob = obsv(A,C)
Por lo tanto, la única la salida que cumple
con la condición de observabilidad
es Wob3;
Salida adecuada para que la planta sea
observable
Verificamos si con esta salida la planta es
fuertemente estabilizable

Para ello determinamos la función de
transferencia de la planta

o simplemente usando el comando ss2tf nos da la
función de transferencia de la planta

Ceros:

z1=1.535

z2=-1.535

z3,4= infinito

Polos:

p1,2 = 0

p3,4 = ±5.0912

Aplicando el teorema,

Se puede observar que el número de impares entre
inf y 1.53 es

lo cual indica que la planta no es fuertemente
estabilizable.

e) Se diseña una ley de control
u(t)=r(t)-k.x(t) = r(t)-[k1,k2,k3,k4]*x(t)

e.1) Valores del
vector k que satisfacen la condición de polos deseados a
L.C.

Para ello, se emplea el mismo procedimiento de
ubicación de polos empleado en la parte 1, solo
varía la matriz de controlabilidad Wc y por ende la matriz
de transformación T;

Luego

Matriz construida por los polinomios
deseados;

p= poly(Pd) = [1 22 142 240 200]

x= poly(A) = [1 0 -25.92 0 0]

Finalmente la matriz de ganancia de
realimentación viene dada por;

k = [-2407 -436 -84 -101] ; matriz de ganancia de
realimentación

e.2) Gráfico de las trayectorias de estados
para r(t)= 0 y x(0)=[0.1 0 0.1 0]

Esto se logra mediante el siguiente
procedimiento;

La nueva representación en variables de estados
queda expresado como

y la nueva B viene siendo

luego reescribiendo las ecuación obtenemos
que

de estas igualdades se puede decir que

CC=AA y DD=BB

Por lo tanto la respuesta del sistema ante dichas
condiciones iniciales se dan mediante

[x,y,t]=step(AA,BB,CC,DD,1,t)

plot(t,x)

e.3) Para cumplir con la siguiente condición
de polos deseados a lazo cerrado

Realizamos el mismo procedimiento y determinamos que la
matriz de ganancias de realimentación viene expresada
por;

k = [-9923 -1687 -1357 -814]

Nótese que al introducir el polo deseado que es
el dos veces mayor que el del e.1 el sistema se hace mucho
más rápido y tiende a cero en tan solo 2seg. A
diferencia de los polos iniciales el sistema es más lento
y converge a cero en aprox. 5 seg. Esto implica que manejando
adecuadamente los polos deseados podemos cumplir con el requisito
que corresponde a la rapidez del sistema para fines
deseados.

f) Observador de Orden Completo

El problema se reduce en determinar simplemente
Le para cumplir con la ecuación
característica deseada descrita en el punto
e.1.

Este se transforma a un problema dual ya que, con la
debida manipulación matemática
se puede demostrar que Le .

Primero verificamos que el sistema sea observable,
condición mínima para diseño de un
observador;

En el sistema dual la matriz de Observabilidad
viene siendo

Wob=[Ctr Atr.C Atr2.C
Atr3C]

Rank(Wob)= 4, por lo tanto la planta es
observable,

Esto nos permite emplear el algoritmo de
ubicación de polo y determinar la matriz de ganancia K del
sistema dual, luego como los sistemas duales
tienen la misma ecuación característica se
simplifica el problem a K= Le

Por lo tanto empleamos el mismo algoritmo para
determinar K solo que esta vez la matriza de controlabilidad
será

con estas modificaciones determinamos la nueva K del
sistema dual,

K=[ -57.6949 251.0942 22.0000 167.9200]

Como Le = K, luego la matriz de ganancia del observador
es;

g) Observador con polos 10 veces más
rápidos que el sistema a L.C. original

Implementamos el diseño de un observador de
estado completo cuyos polos deseados serán aproximadamente
10 veces más los polos del sistema a lazo
cerrado

i.e.

Determinados un observador de orden completo ya que si
es de orden mínimo tendríamos una ganancia del
observador infinita.

Primero, introducimos la matriz de Observabilidad que es
la misma que la vez pasada

Por lo tanto al ver que el rango es igual a la
dimensión de la matriz A es posible el diseño del
observador;

Se introduce el polinomio característico
deseado

JJ=poly(J)=[ 1 440 56800 1920000 32000000]

Construimos el polinomio característico
Phi

Phi=polyvalm(J,A)=

Finalmente la matriz de ganancia del observador
Le se obtiene

Le=Phi*Wob-1*[
jj(5)-a(5);jj(4)-a(4);jj(3)-a(3);jj(2)-a(2)]

Le debe ser relativamente grande debido a
que funciona como una señal de corrección para el
modelo de planta que incorpora los factores desconocidos de la
planta

.- Se tiene el siguiente
sistema;

y se quiere que los polos deseados del observador de
orden completo sea;

a) Diseño del observador de orden completo
para este sistema;

Como se trata de un sistema de orden mínimo
(menor igual que 3 grados) podemos implementar la fórmula
de Ackermann para la obtención de la matriz de
ganancia Le del observador de orden completo.

Inicialmente, verificamos que la planta sea
observable;

Matriz de Observabilidad

Nótese que la planta está expresada en la
forma canónica de controlabilidad y el rango de matriz de
Observabilidad Wob es 3, por lo tanto la planta es controlable
y observable

Por ende, es posible el diseño de un
observador;

Matriz del Polinomio característico
deseado;

Luego se determina el polinomio característico
Phi

Phi = polyvalm(poly(Jd),A)=

Sea

a=poly(A)=[ 1.0000 3.1460 -0.3656 -1.2440]

Por lo tanto la matriz de ganancia del observador
Le se determina como;

Por lo tanto el observador de orden completo para este
sistema es;

b) Simulación
en Matlab

Matriz de ganancia del sistema

K = [0.0020 -0.0001 -0.0049]

A continuación se presenta los gráficos
del observador de estado con distintos vectores
iniciales xob(0) = random, en la cual se verifica la
convergencia de cada uno de los componentes del observador con
sus respectivos componentes del vector de estado x(t).

– Xob(0)=[1; 0; 0.1]

– Xob(0)=[0.1; 0.1; 0.1]

– Xob(0)=[2; 0; 1]

Esto es un indicador de que los polos que se seleccionan
para el observador son tales que representen una respuesta
más rápida que la respuesta del sistema. Esto hace
que el estado
observado converja rápidamente hacia el estado
actual.

Bibliografía:

– OGATA, Katsuhiko, Ingeniería de Control
Moderna, Pearson Education, 1998

– Dorsey, Análisis de Sistemas de
Control, 2002

– Prof. José Ferrer, Manuel Andrade, Pedro Teppa
y Leonardo Contreras,

Introducción a la teoría
de Señales
y Sistemas. 2004

Autor:

Nabil El Halabi

Caracas, Venezuela.