Como es una continuación del Capítulo 1,
conserva la numeración correlativa de éste. El
numeral Fundamentos Matemáticos estuvo a cargo del Ing.
Jorge L. Aching Samatelo.
Este complemento es imprescindible para aquellas
personas que requieran conocer la base matemática
de las finanzas y las
funciones financieras de Excel aplicadas en la obra. Las
funciones financieras de Excel están ilustradas con las
notaciones matemáticas y los ejemplos
correspondientes.
22.1.3. Reglas en el uso de los
exponentes
22.2.1. Reglas en el uso de los
exponentes para la radicación
22.3.1. Reglas en el uso de
logaritmos
22.4. Progresiones
aritméticas
23. Funciones Financieras de
Excel
23.3. Estructura de una
función
27. Funciones para transformar entre
sumas de dinero VA, VF y C
29. Funciones para conversión
de tasas de interés
30. Funciones para el manejo de series
uniformes
30.4. Tasa, calcula la tasa del
período
31. Funciones de Evaluación
de proyectos
33.1.
Calcular el número de días entre dos
fechas
33.2.
Calcular el número de meses entre dos
fechas
33.3.
Calcular el número de años entre dos
fechas
A continuación pasamos a
desarrollar las operaciones
matemáticas más utilizadas en el texto, como
son los exponentes, la radicación y los
logaritmos.
Operación matemática
en el que se basa el interés
compuesto y todas las fórmulas derivadas de
ella.
La aplicación de los exponentes
es la potenciación, que consiste en repetir un
número base tantas veces como indica otro número
llamado exponente, el resultado se conoce como potencia. Si
denotamos a la base con la literal «x» y al exponente
o potencia con la literal «n» la operación de
potenciación se representara como:
La expresión xn se lee como
«x elevado a n». Si n es un número entero
positivo:
xn = x * x * x * x…* …x, n
veces.
Ejemplo:
1. Si x = 2 y n = 4, entonces 24 = 2 * 2
* 2 * 2 = 16
2. Si x = (1 + i) y n = 4, entonces x4 =
(1 + i)4
y si asignamos a i un
valor, por
ejemplo 7% (siete por ciento, 7/100, indica que el entero se ha
dividido en cien partes y hemos tomado siete, esto equivale en
una expresión de tanto por uno a 0.07), la
expresión sería:
(1 + i)4 = (1+0.07)4 = 1.3108
En Excel para elevar un número a
una potencia, debemos utilizar el operador « ^ » o la
función
potencia para realizar esta operación. Para obtener el
operador «^» en Excel, pulsar simultáneamente
ALT seguido del número 94.
Ejemplo:
Ejemplo de
aplicación:
(11) VF = VA (1 + i)n
- Toda cantidad positiva o negativa
elevado a una potencia par es positiva, - Toda cantidad elevada a una potencia
impar conserva su propio signo
22.1.3. Reglas en el
uso de los exponentes
22.1.3.1. Exponente cero, negativo
- Exponente
cero.- Por definición
matemática, todo número real distinto de cero,
elevado al exponente cero es igual a 1. - Exponente negativo.- Por
definición matemática, todo número real
distinto de cero elevado a un exponente negativo, es igual a la
fracción de 1 dividido por dicho número elevado a
su exponente con signo positivo:
A la inversa, toda fracción, cuyo denominador es un
número real distinto de cero, elevado a una potencia con
signo negativo, es igual a dicho número elevado a la
misma potencia con exponente positivo:
Ejemplo de
aplicación:
22.1.3.2. Producto de
potencias de bases iguales
Veamos el siguiente producto de
potencias:
22 * 24 = 4 * 16
si descomponemos 4 y 16 como productos
consecutivos de 2 obtendríamos:
22 * 24 = (2 * 2) (2 * 2* 2* 2) = 2 * 2
* 2 * 2* 2* 2
al reagruparlos podemos expresarlo
como:
22 * 24 = 2 * 2 * 2 * 2* 2* 2 =
26
Así, generalizando podemos decir
que
xm * xn = xm + n
El producto o multiplicación de
dos potencias de igual base, es igual a la base común
elevada a la suma de los exponentes.
22.1.3.3. División de dos potencias de igual
base
Veamos la siguiente división de
potencias:
22 /24 = 4/16
Si descomponemos 4 y 16 como productos
consecutivos y cancelamos términos semejantes
obtendríamos:
22 / 24 = (
*
) /( 
* 
*
* 
) = 1 / (
*
)
Al reagruparlos y tomando en cuenta la
definición del exponente negativo tendremos
que:
22 /24 = 1 / (*) =1/22 =
2-2=22-4
Así, generalizando podemos decir
que
.
La división o cociente de dos
potencias de igual base, es igual a la base común elevada
a la diferencia o resta de los exponentes (restamos del exponente
del numerador el exponente del denominador).
22.1.3.4. Potencia de una Potencia
Veamos la siguiente potencia de
potencias:
(22)3 = (4)2=4*4*4=64
si descomponemos 4 como productos
consecutivos de 2 obtendríamos:
(22 )2 =
(2*2)*(2*2)*(2*2)=2*2*2*2*2*2
al reagruparlos podemos expresarlo
como:
(22)2 = 2*2*2*2*2*2=26=22*3
así entonces generalizando,
tenemos que:
( xm )n = xm * n
La potencia de una potencia, es igual a
la base elevada al producto de los exponentes.
22.1.3.5. Potencia del producto de dos
factores
Veamos la siguiente potencia de
productos: (2*3)2 = 62 = 36
si descomponemos el 6 en dos factores
tendríamos por ejemplo:
(2 * 3)2 = (2 * 3) (2 * 3) = 2 * 3 * 2 *
3
los cuales al reagruparlos podemos
expresarlo como:
(2 * 2) (3 * 3), o bien 22 * 32 = 4 * 9
= 36
Así, generalizando podemos decir
que:
(x * y)n = xn * yn
El producto de dos factores elevados
a una potencia, es igual al producto de los factores elevados a
dicha potencia.
22.1.3.6. Potencia del cociente de dos
factores
Veamos la siguiente potencia del
cociente de dos factores:
Y utilizando las propiedades antes
mencionadas tenemos que:
Generalizando decimos que:
El cociente de dos factores elevados
a una potencia, es igual al cociente de los factores elevados a
dicha potencia.
Operación matemática
utilizada en las matemáticas
financieras para determinar la tasa de
interés del monto compuesto, cuando operamos con
cantidades únicas.
La
raíz, enésima de un número
real, x, es otro número, y, cuya potencia
enésima es x. Denotamos la operación de
radicación mediante la expresión:
Donde, es llamado radical, x es
el radicando y n el índice de la raíz. El
índice es un número entero mayor que 
.
La raíz de índice dos
es la raíz cuadrada y se escribe obviando el
índice: 
.
La raíz de índice tres es la
raíz cúbica.
Si el índice es par,
x es positivo, existiendo dos raíces
enésimas reales de x, una positiva y otra negativa.
Pero la expresión 
sólo esta referida a la positiva. Es decir,
las dos raíces n-ésimas de x son
y 
. Sin embargo, los
números reales negativos carecen de raíz real de
índice par.
Por ejemplo, 25 tiene dos
raíces cuadradas, 5 y –5, pues 52 = 25 y
(-5)2 = 25; y el número 10 tiene dos
raíces cuartas 
y 
. Sin
embargo, –25 no tiene raíz cuadrada porque
ningún número real elevado al cuadrado da
–25. Por lo mismo, –10 no tiene raíz
cuarta.
Si el
índice es impar, cualquiera sea el número
real, x, tiene una única raíz
n-ésima. Por ejemplo, la raíz cúbica
de 8 es 2, la raíz cúbica de –8 es –2,
y 20 tiene una única raíz cúbica denominada
.
22.2.1. Reglas en el
uso de los exponentes para la radicación
22.2.1.1. Forma exponencial de una
raíz
La raíz n-ésima de un
número puede ponerse en forma de potencia:
Por tanto:
22.2.1.2. Potencia de una raíz
Veamos la siguiente potencia de una
raíz:
Si utilizamos la regla del producto de
potencias de bases iguales obtendremos:
Así, generalizando podemos decir
que
La potencia de una raíz es
igual a la raíz de la potencia de potencia.
22.2.1.3. Raíz de un producto
Veamos la siguiente raíz de un
producto:
Si utilizamos la regla de la potencia
del producto de dos factores llegamos a la
expresión:
Así, generalizando podemos decir
que:
La raíz del producto de dos
factores es igual al producto de las raíces de los
factores.
22.2.1.4. Raíz de un cociente
Veamos la siguiente raíz de un
cociente
Si aplicamos las reglas de la
raíz de un producto y del exponente negativo
obtendremos:
Así entonces generalizando,
tenemos que:
El cociente de la raíz de dos
factores, es igual al cociente de las raíces de los
factores.
Utilizado para derivar las
fórmulas del período (n) de composición del capital a
partir de la fórmula general del interés
compuesto para pagos únicos o de anualidades.
Los logaritmos son de mucha utilidad en la
elaboración de cálculos, debido al tiempo que se
ahorra. Actualmente, la mayoría de calculadoras de
bolsillo y la plantilla Excel, permiten operar con mucha rapidez
los logaritmos, obviando el uso de las tablas y los procedimientos de
cálculo
manual.
Si «N» y «b» son
números positivos distintos de 1, entonces el logaritmo en
base b del número N, es el exponente «L» de la
base b, tal que: bL = N L = logb N
Ejemplos
a) log2 32 = 5, ya que, 25 = 32 y log5
125 = 3, ya que, 53 = 125
b) 3 = log2 8, implica que 23 =
8
Son comunes los llamados logaritmos
neperianos cuya base es el número e = 2.718281829 y los
logaritmos comunes cuya base es 10. Para los propósitos
del presente libro,
utilizaremos los logaritmos comunes escribiendo log N en vez de
log10 N. Por definición tenemos:
log 1.000 = 3 ya que 103 =
1.000
log 10 = 1 ya que 101 =
10
log 1 = 0 ya que 100 =
1
log 0.10 = -1 ya que 10-1 =
0.10
22.3.1. Reglas en el
uso de logaritmos
22.3.1.1. Logaritmo de un producto
Veamos el logaritmo del siguiente
producto:
L=log ( 100*
1000)=log(100000)=5
Expresemos al logaritmo a través
de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la
potencia del producto de dos factores para llegar a la
expresión:
10L = 100* 1000=102
*103=102+3
Igualando exponentes es obvio que:
L=2+3
Reemplazando a L a través del
logaritmo que lo define y a 2 y 3 por sus logaritmos equivalentes
obtendremos:
log ( 100* 1000)=log (100)+log
(1000)
Así, generalizando podemos decir
que:
log ( A * B ) = log A + log B
El logaritmo del producto de dos o
más números positivos es igual a la suma de los
logaritmos de los números.
22.3.1.2. Logaritmo de un cociente
Veamos el logaritmo del siguiente
cociente:
L=log ( 1000/100)=log(10)=1
Expresemos al logaritmo a través
de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la
potencia del cociente de dos factores para llegar a la
expresión:
10L = 1000/100=103 /102=103-2
Igualando exponentes es obvio que:
L=3-2
Reemplazando a L a través del
logaritmo que lo define y a 3 y 2 por sus logaritmos equivalentes
obtendremos:
log ( 1000/100)=log (1000)-log
(100)
Así, generalizando podemos decir
que:
log ( A / B ) = log A – log B
El logaritmo del cociente de dos
números positivos es igual a la diferencia del logaritmo
del numerador con el logaritmo del denominador.
22.3.1.3. Logaritmo de una potencia
Veamos el logaritmo de la siguiente
potencia:
L=log ( 105)=5
Expresemos al logaritmo a través
de su equivalente exponencial y utilicemos la regla de la
potencia del cociente de dos factores para llegar a la
expresión:
10L = 105
Igualando exponentes es obvio que:
L=5
Reemplazando a L a través del
logaritmo que lo define y a 5 por su logaritmo equivalentes
obtendremos:
log (105)=5log (10)
Así, generalizando podemos decir
que: log An = n log A
El logaritmo de un número
elevado a la potencia n, es n veces el logaritmo del
número:
22.4. Progresiones
aritméticas
De aplicación en el interés
simple.
Una progresión aritmética
es una sucesión de números, llamados
términos, como pueden ser:
a) 4, 7, 10, 13, 16, 19, 21,
24
b) 40, 35, 30, 25, 20, 15
Como vemos en la sucesión a y b,
los términos están separados por una misma
cantidad, llamada diferencia. Así tenemos en (a) una
sucesión de 8 términos, el primero es 4 y cada uno
de los términos siguientes lo obtenemos sumando la
diferencia común de 3, al término anterior. En (b)
tenemos 6 términos, el primero es 40 y cada uno de los
términos siguientes lo obtenemos sumando la diferencia
común de -5 al término anterior.
Ahora vamos a generar una
progresión aritmética de 7 términos, siendo
x el primer término y d la diferencia. La
progresión será:
x, x + d, x + 2d, x + 3d, x + 4d, x +
5d, x + 6d
Asumimos que la progresión tiene
n términos. El n-ésimo término, es
decir, el último, sería l:
l = x + (n –
1)d
Luego podemos escribir la
progresión como:
c) x, x + d, x + 2d, … x +
(n – 3)d, x + (n – 2)d, x +
(n – 1)d ó
d) x, x + d, x + 2d, …,
(l – 2d), (l – d), l
Representando con s la
suma de los términos de (d), tenemos que:
s = x + (x +
d) + (x + 2d) + … + (l –
2d) + (l – d) + l
o sea:
s = l + (l – d)
+ (l – 2d) + … + (x + 2d)
+ (x + d) + x
Sumando término a término
cada una de las expresiones anteriores tenemos:
2s = (x + l)
+ (x + l) + (x + l) + …+
(x + l) + (x + l) + (x + l)
= n(x + 1)
Luego:
Es decir, la suma de una
progresión aritmética es igual a la mitad del
número de términos multiplicado por la suma del
primero y último términos.
Ejemplo
Encontrar el 12o. término y la
suma de los 10 primeros términos de la progresión
aritmética:
x = 8; d = 6; n =
10; l = ?
l = x + (n – 1)d l = 8 +
(10 – 1)6 = 62 y
De aplicación en el
interés compuesto.
Una progresión geométrica
es una sucesión de números, llamados
términos, como son:
a) 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512,
1024, -2048
c) 729, 486, 324, 216, 144, 96,
64
En la cual cualquier término
posterior al primero puede ser obtenido del anterior,
multiplicándolo por un número constante llamado
razón (o cociente común). Así
tenemos:
En (a) hay 10 términos; el primer
término es 4 y cada uno de los términos siguientes
lo obtenemos multiplicando el anterior por la razón
-2.
En (b) hay 7 términos; el primero
es 729 y cada uno de los términos siguientes lo obtenemos
del anterior multiplicándolo por la razón
2/3.
Generando una progresión
aritmética de 8 términos, en el que x es el
primer término y r la razón.
La progresión es:
x, xr, xr2, xr3, xr4, xr5, xr6,
xr7
Si asumimos que la progresión
tiene n términos, el n-ésimo término
l, es decir, el último sería:
l = xrn-1
Representamos por s la suma de
los n primeros términos de la progresión
geométrica.
x, xr, xr2, xr3, …
xrn-1
Es decir, que
s = x + xr + xr2 + xr3 + xr4 +
… + xrn-2 + xrn-1
s – rs = x + (xr – xr)
+ (xr2 – xr2) + (xr3 – xr3) + …
+ (xrn-1 – xrn-1) – xrn
o sea que,
(1 – r)s = x –
xrn
Y
De las ecuaciones
anteriores tenemos que: xl = xrn
Por lo cual las ecuaciones precedentes
pueden ser escritas:
Ejemplos:
Solución:
x = 5; r = 3; n = 15; l = ?;
s = ?l = xrn-1, de donde
l = 5*(3)15-1 = 23,915
- Obtener el 15o. término y la
suma de los 15 primeros términos de la progresión
geométrica 5, 15, 45, 135, … - Obtener la suma de los 15 primeros
términos de la progresión geométrica 5,
-15, 45, -135, …
Solución:
x = 5; r = -3; n = 15; l = ?; s =
?
23. Funciones Financieras de
Excel
Excel es la más potente hoja de
cálculo que existe en el mercado. Combina
perfectamente potencia y facilidad de uso.
Excel de Microsoft
Office Xp
contiene 256 columnas, 65,536 filas (cuatro veces más
filas que en las versiones anteriores) y 16’777,216 celdas.
Todo esto en una sola hoja de cálculo y un libro de
trabajo puede
contener más de una hoja.
Las funciones son fórmulas
predefinidas ejecutan cálculos utilizando valores
específicos, denominados argumentos, en orden determinado
o estructura.
Las funciones pueden utilizarse para ejecutar operaciones simples
o complejas.
23.3. Estructura de una
función
Excel cuenta con una amplia gama de
funciones integradas. Soporta fórmulas matriciales (tipo
especial de fórmulas, pueden hacer maravillas).
1. Estructura
La estructura de una función
comienza por el signo igual (=) seguido por el nombre de la
función, paréntesis de apertura, los argumentos de
la función separados por comas y paréntesis de
cierre.
2. Nombre de
función
Para obtener una lista de funciones
disponibles, haga clic en una celda y presione
MAYÚSC+F3.
3. Argumentos
Los argumentos pueden ser
números, texto, valores lógicos como VERDADERO o
FALSO, matrices, valores de error como #N/A o
referencias de celda. El argumento que designemos
deberá generar valor para el mismo. Los argumentos pueden
ser también constantes, fórmulas u otras
funciones.
4. Información sobre herramientas
de argumentos
Cuando escribamos la función,
aparece una información sobre herramientas con su sintaxis
y sus argumentos. Por ejemplo, escriba =REDONDEAR y
aparecerá la información. La información
sobre herramientas sólo aparece para las funciones
integradas.
Cuando escriba fórmulas con
funciones, el cuadro de diálogo
Insertar función le ayudará a introducir las
funciones de la hoja de cálculo. A medida que
introduzcamos funciones en la fórmula, el cuadro de
diálogo Insertar función irá
mostrando el nombre de la función, cada uno de sus
argumentos, la descripción de la función y de cada
argumento, el resultado actual de la función y el
resultado actual de toda la fórmula.
Las fórmulas permiten que la
hoja de cálculo sea justamente eso: hoja de
cálculo.
Las fórmulas son
ecuaciones que efectúan cálculos con los valores de
la hoja de cálculo. Una fórmula comienza por un
signo igual (=). Por ejemplo, multiplicar 2 por 3 y, a
continuación, sumar 5 al resultado. =5+2*3
Para introducir la misma fórmula
en un rango de celdas, seleccione en primer lugar el rango,
introduzca la fórmula y, a continuación, presione
CTRL+ENTRAR.
Si está familiarizado con los
argumentos de la función, puede utilizar la
información sobre herramientas de funciones que aparecen
después de escribir el nombre de la función y el
paréntesis de apertura. Haga clic en el nombre de la
función para ver el tema de la Ayuda correspondiente a la
función o haga clic en un nombre de argumento para
seleccionar el argumento correspondiente de la fórmula.
Para ocultar la información sobre herramientas de
funciones, en el menú Herramientas haga clic en
Opciones y desactive la casilla de verificación
Información sobre herramientas de funciones de la
ficha General.
Si una función no está
disponible y devuelve el error #¿NOMBRE?, instale y cargue
el programa de
complementos Herramientas para análisis.
¿Cómo?
:
En el menú Herramientas,
elija Complementos.
En la lista Complementos
disponibles, seleccione el cuadro Herramientas para
análisis y, a continuación, haga clic en
Aceptar.
Si es necesario, siga las instrucciones
del programa de instalación.
27. En Excel sólo
requerimos tres funciones para transformar entre sumas de
dinero VA, VF
y C:
Es posible utilizar estas
funciones con más de una variable. Así calculamos
la cuota uniforme equivalente a una suma inicial (VA o VF) y suma
futura (VF). Es posible calcular el VA equivalente a series de
cuotas uniformes (pago C) y suma futura (VF), etc.
Aún con la rapidez que brinda la
hoja de cálculo Excel, la solución de problemas
complejos requiere de tiempo y esfuerzo. Para conocer la
operación real de estas funciones, en especial el
significado de las respuestas es de mucha utilidad el estudio
concienzudo de los diferentes capítulos del presente
libro.
El tema de las funciones financieras lo
dividimos en dos grandes grupos: 9.
Funciones para conversión de tasas de
interés y 10. Funciones para series uniformes.
Además, incluimos dos funciones financieras utilizadas en
la evaluación
financiera de proyectos: VAN y
TIR.
29. Funciones para
conversión de tasas de interés
Dentro de este grupo
clasificamos dos funciones que sirven para convertir tasas de
interés efectivas en nominales y viceversa. Los argumentos
que utilizan las funciones financieras para conversión de
tasas son los siguientes:
Núm_per: Es el
número de períodos de interés compuesto por
año. (Cuando operamos con TASA.NOMINAL).
Núm_per_año: Es el
número de períodos de interés compuesto por
año. (Cuando operamos con INT.EFECTIVO).
Int_nominal: Es la tasa de
interés nominal anual expresada en términos
decimales.
Tasa_efectiva: Es la tasa de
interés efectiva anual, es decir, la rentabilidad
efectiva que recibiríamos si los intereses fueran
reinvertidos en las mismas condiciones por el tiempo que resta
del año.
Período de interés
compuesto: Entendemos el tiempo transcurrido entre dos fechas
de pago de interés. En el caso de estas funciones
suponemos que el interés pagado no es retirado ni
consumido, si no reinvertido por el tiempo restante del
año.
Devuelve la tasa efectiva del
interés anual si
conocemos la tasa de interés anual nominal y el
número de períodos de interés compuesto por
año. De aplicación cuando los períodos de
pago son exactos.
Sintaxis
INT. EFECTIVO
(int_nominal;núm_per_año)
Si alguno de los argumentos es
menor o igual a cero o si el argumento núm_per_año
es menor a uno, la función devuelve el valor de error
#¡NUM!
La respuesta obtenida viene enunciada en
términos decimales y debe expresarse en formato de
porcentaje. Nunca divida ni multiplique por cien el resultado de
estas funciones.
Esta función proporciona la tasa
efectiva de interés del pago de intereses vencidos. Para
intereses anticipados debe calcularse la tasa efectiva aplicando
la fórmula.
El argumento núm_per_año
trunca a entero cuando los períodos son irregulares, hay
que tener especial cuidado con esta función, sólo
produce resultados confiables cuando la cantidad de
períodos de pago en el año
(núm_per_año) tiene valores exactos; por ejemplo:
mensual (12), trimestral (4), semestral (2) o anual
(1).
El resultado proporcionado por esta
función lo obtenemos también con la siguiente
fórmula:
Ejemplo 1: Cuando los
períodos de pago son exactos y el resultado es
confiable:
FECHA INICIAL : 15-03-2004
FECHA FINAL : 15-06-2004
TASA NOMINAL : 68% anual, compuesto
trimestralmente
Solución:
n = (15/03/2004 – 15/06/2004) = 90/30 =
3, m = (12/3) = 4
Aplicando ambos métodos:
Ejemplo 2: Cuando los períodos de pago son inexactos y
por lo tanto el resultado es irreal.
FECHA INICIAL : 15-03-2004
FECHA FINAL : 15-06-2004
TASA NOMINAL : 68% anual, compuesto cada
2.20 meses
Solución:
n = (15/03/2004 – 21/05/2004) = 66/30 =
2.2, m = (12/2.2) = 5.2174
Aplicando ambos
métodos:
Observando ambos resultados, constatamos
que son diferentes. En estos casos es recomendable el uso de las
fórmulas, sus resultados son más reales.
Devuelve la tasa de interés
nominal anual si conocemos la
tasa efectiva y el número de períodos de
interés compuesto por año.
Sintaxis
TASA.NOMINAL(tasa_efectiva;
núm_per)
El argumento núm_per se trunca a
entero, hay que tener especial cuidado con esta función,
sólo produce resultados confiables cuando la cantidad de
períodos de pago en el año (núm_per) tiene
valores exactos; por ejemplo: mensual (12), trimestral (4),
semestral (2) o anual (1).
Si alguno de los argumentos es menor o
igual a cero o si el argumento núm_per es menor a uno, la
función devuelve el valor de error #¡NUM!
La respuesta obtenida viene enunciada en
términos decimales y debe expresarse en formato de
porcentaje. Nunca divida ni multiplique por cien el resultado de
estas funciones.
Esta función proporciona la tasa
nominal del pago de intereses vencidos. Para el interés
anticipado debe calcularse la tasa nominal aplicando la
fórmula (B):
30. Funciones para el
manejo de series uniformes
Presenta las funciones que sirven para
resolver problemas en los cuales entre el valor inicial y el
valor final de un negocio existen pagos de cuotas o valores
recibidos.
En todas las funciones de series
uniformes suponemos que los valores recibidos o pagados durante
el tiempo del negocio son reinvertidos razón por la cual
debe restase del plazo total, en las mismas condiciones
existentes para la inversión original.
Un problema es de series uniformes
cuando reúne las siguientes condiciones en su
totalidad:
a) El monto de los pagos efectuados
dentro del tiempo de la inversión es constante
b) La periodicidad de los pagos
efectuados dentro del tiempo de la inversión es
constante
c) La tasa de interés de
liquidación de pagos dentro del tiempo de la
inversión es constante.
Los argumentos utilizados por las
funciones financieras de series uniformes son los
siguientes:
VA: Es el valor actual de la
serie de pagos futuros iguales. Si este argumento es omitido,
significa que es 0.
Pago (C): Es el pago
efectuado periódicamente y no cambia durante la vida de la
anualidad. El Pago incluye el capital y el interés pero no
incluye ningún otro cargo o impuesto. Este
argumento debe tener signo contrario al de VA, para conservar las
condiciones del flujo de caja:
expresamos los ingresos con
signo positivo y los egresos con signo negativo.
Nper: Es la cantidad total de
períodos en una anualidad; es decir, el plazo total del
negocio.
Tasa (i): Es la
tasa de interés por período. Tener en cuenta que
no es la tasa anual, si no la tasa nominal del período de
pago expresada en términos decimales. Es importante
mantener la uniformidad en el uso de las unidades con las que
especificamos Tasa y Nper.
VF: Es el valor futuro o el saldo
en efectivo que desea lograrse después de efectuar el
último pago. Si el argumento VF es omitido, asumimos que
el valor es 0.
Tipo: Es el número 0
ó 1 e indica la forma de pago de la cuota entre vencida y
anticipada.
Defina tipo
Es cero (0) o omitido, cuando el pago de
la cuota es vencida.
Ponemos 1, cuando el pago de la cuota es
anticipada.
Período Especifica el
número ordinal de la cuota y debe encontrarse en el
intervalo comprendido entre 1 y Nper.
Per_inicial y Per_final
Especifica el número ordinal de la primera y la
última cuota del período en el cual analizaremos
las cuotas pagadas.
Estimar Es la tasa de
interés estimada para que Excel empiece las iteraciones en
el cálculo de la tasa de interés de series
uniformes. Si el argumento Estimar es omitido, suponemos que es
10%.
Permite calcular VF a partir de C o de
VA. También sirve para calcular el valor de VF indicando
si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Si lo que
queremos calcular es VF a partir de VA omitimos el valor de C; si
la cuota es vencida, omitimos el valor tipo.
Devuelve el valor futuro de la
inversión, equivalente a los pagos periódicos
uniformes a una tasa de interés constante.
Sintaxis:
VF(tasa;nper;pago;va;tipo)
El resultado proporcionado por esta
función lo obtenemos también con la siguiente
fórmula:
Por ejemplo:
Si ahorramos UM 350 mensuales durante 3
años en un banco que paga el
18% nominal anual y deseamos saber cuánto dinero tendremos
ahorrado al final de los 3 años:
Solución:
C = 350; n = (3*12) = 36; i = 0.015
(0.18/12); VF = ?
Aplicando ambos métodos,
tenemos:
Ingresamos los datos en los
argumentos de función en el orden indicado en el cuadro de
la sintaxis:
En la solución de los ejemplos y
ejercicios en el presente libro, utilizaremos el formato
simplificado indicado en el cuadro de la Sintaxis, cuando
operemos con la herramienta Funciones Financieras de Excel. Esta
metodología de ingresar los datos es
aplicable a todas las funciones de Excel, utilizadas en la obra,
desde luego, cada con su propia persiana de argumentos de
función.
Hay tres aspectos a considerar en
este ejemplo:
- El interés incluido en el
argumento Tasa debe estar en la misma unidad de tiempo
utilizada para el argumento Nper. En este caso, como son cuotas
mensuales, la tasa de interés debe ser mensual, es
necesario dividir por doce la tasa anual nominal. - VA puede omitirse como apreciamos en
el asistente para funciones y en la barra de fórmulas
automáticamente deja el espacio en la función,
asumiéndolo como cero. - Si deseamos que las cifras en la hoja
de cálculo sean positivas, introducimos el argumento
Pago con signo negativo, como apreciamos en el asistente
para funciones (-350, en C2).
Permite calcular VA a partir de C o de
VF. También sirve para calcular el valor de VF indicando
si es cuota anticipada (tipo=1) o vencida (tipo=0). Para calcular
VA a partir de VF, omitir el valor de C; y cuando operemos con
cuotas vencidas, omitir el valor tipo. Devuelve el valor actual
de la inversión. El valor actual es la suma de una serie
de pagos a futuro. Por ejemplo, cuando pedimos dinero prestado,
la cantidad del préstamo es el valor actual para el
prestamista.
La versión XP de Excel,
recomienda el empleo de
fx insertar función de la barra de
fórmulas. Al oprimir fx aparece el
menú de funciones y escogemos la función
buscada.
Esta función conserva las mismas
observaciones efectuadas para VF.
Sintaxis:
VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)
El resultado proporcionado por esta
función lo obtenemos también con la siguiente
fórmula:
Por
ejemplo:
Si ahorramos UM 350 mensuales durante 3
años en un banco que paga el 18% nominal anual y deseamos
saber cuánto representan estas mensualidades al día
de hoy.
Solución:
C = 350; n = (3*12) = 36; i = 0.015
(0.18/12); VA = ?
Aplicando ambos métodos,
tenemos:
Calcula el pago de un préstamo
basándose en pagos constantes y con la tasa de
interés constante.
Sintaxis:
PAGO(tasa;nper;va;vf;tipo)
Sugerencia: Para encontrar
la cantidad total pagada durante el período del
préstamo, multiplique el valor devuelto por PAGO por el
argumento nper.
El resultado proporcionado por esta
función lo obtenemos también con la siguiente
fórmula:
Por ejemplo:
Obtenemos un crédito
de UM 10,000 para su pago en 24 cuotas trimestrales iguales, a la
tasa nominal anual de 36% por trimestre vencido:
Solución:
VA = 10,000; n = 24; i = (0.36/12) =
0.03; C = ?
Aplicando ambos métodos,
tenemos:
En algunos casos puede darse la
necesidad de requerir tanto el VA como el VF; como en el caso del
leasing, en el cual, además del valor inicial de un
equipo tenemos cuotas mensuales iguales y al final del pago
existe la opción de compra para que el usuario adquiera el
bien.
Por ejemplo:
En un leasing de UM
50,000 a 24 meses con la tasa de interés del 2.87% mensual
y la opción de compra del 12%, la función Pago para
calcular la cuota mensual a pagar operaría de la siguiente
forma:
Solución:
VA = 50,000; i = 0.0287; n = 24; VF =
12%; C = ?
30.4. TASA, calcula la
tasa del período
Devuelve la tasa de interés
por período de la anualidad. La TASA es calculada por
iteración y puede tener cero o más soluciones. Si
los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0,0000001
después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error
#¡NUM!.
Con esta función es posible
calcular la tasa de interés, combinando no sólo VA
y VF, sino también VA y C, C y VF y VA, C y VF.
Por ser la tasa del período
tiene la característica de ser simultáneamente
nominal y efectiva, para convertir ésta tasa en tasa
anual debe tenerse cuidado con la fórmula utilizada,
dependiendo de qué tasa queremos calcular: la tasa nominal
o la tasa efectiva anual (TEA).
Sintaxis
TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)
Por ejmeplo:
VA = 5,000; n = 5; C = 1,250; i
=?
Función utilizada para calcular
la tasa periódica de las anualidades.
No existen fórmulas para obtener
la tasa de las anualidades.
Devuelve la cantidad de
períodos que debe tener la inversión
para que sea equivalente a la serie de
pagos periódicos iguales.
Sintaxis
NPER(tasa, pago, va, vf,
tipo)
La unidad de tiempo consignada en la
función Nper debe ser la misma que la utilizada en la tasa
de interés.
El resultado proporcionado por esta
función lo obtenemos también con las siguientes
fórmulas, según los casos:
Por ejemplo:
i = 0.06; C = 14,000; VA = 93,345.50; n
=?
31. Funciones de
Evaluación de proyectos
La evaluación financiera de
proyectos consiste en la aplicación de algunos indicadores de
conveniencia económica al flujo de caja estimado de un
negocio. En esta parte presentaremos solamente las funciones
financieras del Excel utilizadas en el presente libro como
indicadores de conveniencia económica (VAN y TIR). En
Excel existen otras funciones financieras para este
propósito.
En un proyecto real el
flujo de
efectivo resultante no obedece a las series conocidas
(anualidades, gradientes, etc.), puesto que depende de
cantidad de variables,
por lo tanto no existe una fórmula para calcular el
valor presente neto o la tasa de retorno (las fórmulas
del VAN y la TIR insertos en el presente libro son solamente
ilustrativas). Es necesario trabajar cada componente del flujo
como elemento independiente. Es aquí donde el Excel
presenta un gran aporte para la evaluación financiera de
proyectos. Marcando la opción aceptar, obtenemos el VA
del flujo. Para el cálculo del VAN sumamos la celda donde
está la inversión con signo
negativo.
Los argumentos que utilizan las
funciones de evaluación
de proyectos VAN o VNA y TIR, son los siguientes:
Tasa : Es la tasa de descuento
utilizada para calcular el valor presente. Debe expresarse en el
mismo período que empleamos para la serie de
datos.
Valor1, valor2: Son los rangos
que contienen los valores (ingresos y egresos) a los cuales
calcularemos el valor presente. La función acepta hasta 29
rangos.
Valores: Rango que contiene los
valores (flujo de caja) a los cuales deseamos calcular la
tasa interna de
retorno. El argumento valores debe contener al menos un valor
positivo y uno negativo para calcular la tasa interna de retorno.
Estos flujos de caja no tienen por que ser constantes, como es el
caso en una anualidad; sin embargo, los flujos de caja deben
ocurrir en intervalos regulares.
Estimar: Es el número
estimado por el usuario que considera aproximará al
resultado de TIR.
Calcula el valor actual neto de la
inversión a partir de la tasa de descuento y pagos
futuros (valores negativos) e
ingresos (valores positivos).
Sintaxis
VNA(tasa;valor1;valor2;
…)
Los valores incluidos en el flujo de
caja no tienen que ser constantes. Esta es la principal
diferencia frente a la función VA, conserva
la condición de que tanto la tasa de interés como
la periodicidad son constantes; es decir, todo el flujo de caja
descuenta a la misma tasa y los valores incluidos en él
ocurren a intervalos iguales.
Dentro del rango del flujo de caja
excluimos el valor presente ubicado en el período cero
(0), dicho valor está en UM de hoy. La
inversión inicial de la celda con período 0 no
ingresa en el argumento valores, posteriormente restamos del
resultado que arroje la función.
La fórmula relacionada con
ésta función es:
Por ejemplo:
Tenemos los siguientes flujos netos de
un proyecto
Aplicando la función VNA y con un
costo de
oportunidad del capital de 15% calculamos el VAN del flujo
precedente:
El valor actual neto es un indicador
sobre la conveniencia económica de la inversión,
involucra la subjetividad del inversionista, que debe seleccionar
la tasa de interés para descontar el flujo de caja. Al
calcular con dos tasas diferentes obtenemos dos resultados, para
evaluar estos casos debe tenerse en cuenta que la respuesta esta
expresada en UM del período cero y su significado puede
interpretarse de la siguiente manera:
- VNA > 0, un resultado
positivo indica que el negocio estudiado arroja rentabilidad
superior a la exigida por el inversionista, deducida la
inversión, luego es conveniente llevar a cabo el
negocio. - VNA = 0, en caso de
presentarse, un resultado igual a cero indica que el negocio
arroja rentabilidad igual a la exigida por el inversionista, la
ejecución del proyecto es opcional. - VNA < 0, valor presente
neto negativo no significa que el negocio estudiado arroje
pérdidas, únicamente la rentabilidad es inferior
a la exigida por el inversionista y para él,
particularmente, no es conveniente el negocio.
De lo anterior concluimos cuando
anunciemos el VNA de un proyecto debe aclararse cuál fue
la tasa de descuento utilizada para calcularlo, es decir,
cuál fue el valor ingresado en el argumento
Tasa.
Devuelve la tasa interna de
retorno (tasa de rentabilidad)
de los flujos de caja representados por los números del
argumento valores. Estos flujos de caja no son constantes, como
en las anualidades. Sin embargo, los flujos de caja deben ocurrir
en intervalos regulares, como meses o años. La tasa
interna de retorno equivale a la tasa de interés producida
por un proyecto de
inversión con pagos (valores negativos) e ingresos
(valores positivos) que ocurren en períodos
regulares.
Sintaxis
TIR(valores;estimar)
Para el cálculo de la
función TIR incluimos en el rango de valores todo el flujo
de caja y es necesario que existan valores positivos y negativos.
El argumento Estimar es opcional. En caso de omitirse, el Excel
asume la tasa inicial del 10%.
La fórmula relacionada con
ésta función es:
Por
ejemplo:
Tenemos el siguiente flujo de caja de un
proyecto:
Aplicando la función calculamos
la TIR del proyecto:
La TIR sólo involucra las
condiciones particulares de un proyecto y no está afecta
por la subjetividad del inversionista. Sin embargo, dificultades
de orden matemático llevan a desconfiar de los resultados
que arroja. Para ilustrar el caso presentamos el siguiente
flujo.
Aplicando la función calculamos
la TIR del proyecto:
Con el argumento estimar = 6%
Con el argumento estimar =
35%
Como apreciamos, ante el mismo flujo
de caja la función TIR arroja dos resultados diferentes,
dependiendo del valor utilizado en el argumento Estimar. Es
recomendable tener cuidado al utilizar esta función, puede
llevarnos a conclusiones erróneas.
Por otra parte, la TIR no toma en cuenta
los costos de
financiación ni la reinversión de utilidades
generadas al realizar la inversión. Es decir sólo
está mostrando la rentabilidad por mantener en un negocio
el saldo no recuperado de la inversión inicial. Para
resolver esta dificultad utilizamos otra forma de calcular la TIR
llamada la Tasa Verdadera de Rentabilidad (TVR) o la Tasa
Interna de Rendimiento Modificada (TIRM).
La TIRM: Devuelve la tasa interna
de retorno modificada para una serie de flujos de caja
periódicos. TIRM toma en cuenta el costo de la
inversión y el interés obtenido por la
reinversión del dinero.
Sintaxis
TIRM(valores;tasa_financiamiento;tasa_reinversión)
Valores es una matriz o una
referencia a celdas que contienen números. Estos
números representan el flujo de caja, expresado en una
serie de pagos (valores negativos) e ingresos (valores positivos)
efectuados en períodos regulares.
El argumento valores debe
contener por lo menos un valor positivo y uno negativo para
poder calcular
la tasa interna de retorno modificada. De lo contrario, TIRM
devuelve el valor de error #¡DIV/0!
Si el argumento matricial o de
referencia contiene texto, valores lógicos o celdas
vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se
incluirán las celdas con el valor cero.
Tasa_financiamiento es la tasa de
interés que se paga por el dinero
utilizado en los flujos de caja.
Tasa_reinversión es la
tasa de interés obtenida por los flujos de caja a medida
que se reinvierten.
Esta función en el presente libro
es referencial, todos los casos son resueltpos aplicando la
función TIR.
La tabla de amortización indica cómo el pago de
una deuda está dividida entre interés y abono o
amortización de la deuda. Con la tabla de
amortización podemos también establecer el saldo
pendiente al final de cada período. Igualmente podemos
operar con la tabla de capitalización; la diferencia
radica en que en lugar de amortizar (disminuir la deuda), los
ahorros y los intereses que ellos producen capitalizan luego, es
posible calcular también el saldo acumulado del capital
ahorrado con sus intereses.
Con la ayuda de Excel, las tablas de
amortización pueden elaborarse con variados esquemas de
pago, el límite lo impone la imaginación y
capacidad del usuario. Algunos ejemplos son las cuotas
escalonadas del pago de deudas. La clave para manipular
estos esquemas es hacer depender todas las cuotas futuras de la
primera cuota y construir el «modelo»
en función de esa primera cuota; hecho esto, hay que
encontrar el valor de la primera cuota que haga cero el saldo
final. Esto es posible lograrlo con la opción de Excel que
está en Herramientas del menú, llamada
Buscar objetivo.
Ajustar el valor de una celda para
obtener un resultado específico para otra
celda.
- En el menú
Herramientas, haga clic en Buscar objetivo. - En el cuadro Definir celda,
escriba la referencia de la celda que contenga la
fórmula (fórmula: secuencia de
valores, referencias de celda, nombres, funciones u operadores
de la celda que producen juntos un valor nuevo. Una
fórmula comienza siempre con el signo (=).) que
desee resolver. - En el cuadro Con el valor,
introduzca el resultado que desee. - En el cuadro Para cambiar la
celda introduzca la referencia de la celda que contenga el
valor que desee ajustar. A esta celda debe hacer referencia la
fórmula en la celda especificada del cuadro Definir
celda. - Haga clic en
Aceptar.
Lo más conveniente al construir
la tabla de amortización es su estructura básica,
así:
1º Caso cuando fijamos la cuota o
pago
Por
ejemplo: Un préstamo
de UM 10,000 al 4.5% mensual, cuyos 6 pagos, se duplican cada dos
meses.
Solución:
VA=10,000; i = 0.045; n = 6; C1…6 =
?
La primera cuota puede ser cualquier
valor; lo importante es que las demás cuotas (de la
segunda en adelante) dependan de la primera; de modo que cuando
cambie la primera, las demás cuotas y el resto de la tabla
también cambien. Habrá que cambiar el valor de la
primera cuota hasta cuando el saldo final sea cero. Es posible
hacer esto a mano, pero el computador lo
hace más rápido con la opción Buscar
objetivo ya mencionada. Definimos la celda donde está
el saldo final del último período con el valor cero
y pedimos que cambie la celda donde está la primera
cuota.
Operando con Buscar Objetivo
de Excel.
- Elaboramos la tabla de
amortización, como ilustramos en el extracto de la hoja
de Excel.
En la columna E4 (Pago), ingresamos 10
un valor arbitrario, de la siguiente forma:
Celda E4 10 [Ingresamos a la celda sin
poner el signo (=)]
Celda E5 =E4
Celda E6 =E5*2 (de acuerdo a la
condición del problema).
Celda E7 =E6
Celda E8 =E7*2
Celda E9 =E8
Cuando la tabla es de muchos
períodos (filas) y no exista la condición doble o
UM X más cada 2, 3, etc. cuotas; la forma más
rápida de operar, es ingresar a la primera celda (PAGO)
cualquier número, luego ingresamos a la segunda celda
(PAGO) el signo (=) y hacemos clic con el mouse en la
primera celda PAGO. Finalmente, colocamos el puntero en la
2º celda PAGO y del ángulo inferior arrastramos el
puntero en forma de cruz hasta la celda PAGO final de la
tabla.
Aplicando la opción buscar
objetivo obtenemos el valor de cada cuota:
INTERES = SALDO INICIAL x
0.045
PAGO = BUSCAR OBJETIVO
AMORTIZACION = PAGO –
INTERES
(=E3 – C3) … (=E8 – C8)
2º Caso cuando fijamos el abono o
amortización
Caso que confirma que la suma de las
amortizaciones es igual a la deuda.
Considerando el ejemplo anterior con
amortización constante:
Elaboramos la Tabla de
Amortización
INTERES = SALDO INICIAL x
0.045
AMORTIZACION = 10,000/6 =
1,666.67
PAGO = Amortización +
Interés
(=C3 + D3) … (=C8 + D8)
El ejemplo anterior con pagos en cuotas
uniformes:
Solución:
VA = 10,000; i = 0.045; n = 6; C =
?
El pago C también
es calculado aplicando la fórmula [25], la función
financiera PAGO o Buscar Objetivo de
Excel:
Elaboramos la tabla de
amortización, como ilustramos en el extracto de la hoja de
Excel. Aplicamos el proceso ya
conocido y obtenemos la siguiente tabla:
Ejemplo de cuota o pagos
escalonados es la liquidación de un préstamo de
UM 5,000 a la tasa del 3.8% mensual con cuotas que crecen UM 30
cada mes. El primer esquema sería:
Solución:
VA = 5,000; i = 0.038; n = 5; C
=?
En la celda E3 (Pago), ingresamos un
valor arbitrario, de la siguiente forma:
Celda E3 10 Celda E6
=E5+30
Celda E4 =E3+30 Celda E7
=E6+30
Celda E5 =E4+30 Celda
E8 =E7+30
En buscar
Objetivo:
Definir la celda : Con el mouse hacemos
clic en la celda F8
con el valor : 0
para cambiar la celda : Con el mouse
hacemos clic en la celda E3
Aplicando este procedimiento
obtenemos la siguiente tabla:
Con estos ejemplos demostramos que es
posible construir tablas de amortización con cualquier
esquema de pagos y siempre podremos encontrar el saldo final
igual a cero. El esquema de pagos puede ser tal que la cuota sea
menor que los intereses que deben pagarse; en este caso el saldo
final aumentará en lugar de disminuir.
