Si sabemos que existe una relación entre una
variable denominada dependiente y otras denominadas
independientes (como por ejemplo las existentes entre: la
experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos
sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción agraria y la cantidad de
fertilizantes utilizados, etc.), puede darse el problema de que
la dependiente asuma múltiples valores para
una combinación de valores de las
independientes.
La dependencia a la que hacemos referencia es relacional
matemática
y no necesariamente de causalidad. Así, para un mismo
número de unidades producidas, pueden existir niveles de
costo, que
varían empresa a
empresa.
Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los
estudios de regresión en los cuales se obtiene una nueva
relación pero de un tipo especial denominado función,
en la cual la variable independiente se asocia con un indicador
de tendencia central de la variable dependiente. Cabe recordar
que en términos generales, una función es un tipo
de relación en la cual para cada valor de la
variable independiente le corresponde uno y sólo un valor
de la variable dependiente.
REGRESIÓN SIMPLE Y
CORRELACIÓN
La Regresión y la correlación son dos
técnicas estadísticas que se pueden utilizar para
solucionar problemas
comunes en los negocios.
Muchos estudios se basan en la creencia de que es
posible identificar y cuantificar alguna Relación
Funcional entre dos o más variables,
donde una variable depende de la otra variable.
Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son
dos variables cualquiera en un modelo de
Regresión
Simple.
"Y es una función de
X"
Y = f(X)
Como Y depende de X,
Y es la variable dependiente, y
X es la variable independiente.
En el Modelo de Regresión es muy importante
identificar cuál es la variable dependiente y cuál
es la variable independiente.
En el Modelo de Regresión Simple se establece que
Y es una función de sólo una variable
independiente, razón por la cual se le denomina
también Regresión Divariada porque sólo hay
dos variables, una dependiente y otra independiente y se
representa así:
Y = f (X)
"Y está regresando por
X"
La variable dependiente es la variable que se desea
explicar, predecir. También se le llama REGRESANDO
ó VARIABLE DE RESPUESTA.
La variable Independiente X se le denomina VARIABLE
EXPLICATIVA ó REGRESOR y se le utiliza para EXPLICAR
Y.
ANÁLISIS ESTADÍSTICO:
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
En el estudio de la relación funcional entre dos
variables poblacionales, una variable X, llamada independiente,
explicativa o de predicción y una variable Y, llamada
dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente
notación:
Y = a + b X
+ e
Donde:
a es el valor de la ordenada donde la línea de
regresión se intercepta con el eje Y.
b es el coeficiente de
regresión poblacional (pendiente de la línea
recta)
e es el error
SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN
LINEAL
- Los valores de la variable independiente X son fijos,
medidos sin error. - La variable Y es aleatoria
- Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y
(subpoblaciones Y) - Las variancias de las subpoblaciones Y son todas
iguales. - Todas las medias de las subpoblaciones de Y
están sobre la recta. - Los valores de Y están normalmente
distribuidos y son estadísticamente
independientes.
ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE
REGRESIÓN MUESTRAL
Consiste en determinar los valores de
"a" y "b " a partir de la muestra, es
decir, encontrar los valores de a y b con los datos observados
de la muestra. El método de
estimación es el de Mínimos Cuadrados,
mediante el cual se obtiene:
Luego, la ecuación de regresión muestral
estimada es
Que se interpreta como:
a es el estimador de a
Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable
X = 0
b es el estimador de b , es
el coeficiente de regresión
Está expresado en las mismas unidades de Y por
cada unidad de X. Indica el número de unidades en que
varía Y cuando se produce un cambio, en
una unidad, en X (pendiente de la recta de
regresión).
Un valor negativo de b sería interpretado como
la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en
X.
Los datos de la siguiente tabla representan las
estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12
hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se
observó el peso de una persona
seleccionada de entre el grupo con
dicha estatura, resultando:
X | 152 | 155 | 152 | 155 | 157 | 152 | 157 | 165 | 162 | 178 | 183 | 178 |
Y | 50 | 61.5 | 54.5 | 57.5 | 63.5 | 59 | 61 | 72 | 66 | 72 | 84 | 82 |
Con estos datos vamos a plantear una ecuación de
regresión simple que nos permita pronosticar los pesos
conociendo las tallas. Utilizaremos a
= 0.05, y contrastaremos nuestra hipótesis con la prueba F.
- Representación matemática y
gráfica de los datos:
Representación
Matemática
estatura | pesos | Regresión Lineal | I.C. para la media | I. C. individual | |||||||
datos | x | y | x ^2 | y ^2 | xy | y est. | Residual | L. I. | L. S. | L. I. | L. S. |
1 | 152 | 50 | 23104 | 2500 | 7600 | 56.43 | -6.43 | 53.07 | 59.79 | 47.30 | 65.56 |
2 | 155 | 61.5 | 24025 | 3782.3 | 9532.5 | 59.03 | 2.47 | 56.09 | 61.97 | 50.05 | 68.02 |
3 | 152 | 54.5 | 23104 | 2970.3 | 8284 | 56.43 | -1.93 | 53.07 | 59.79 | 47.30 | 65.56 |
4 | 155 | 57.5 | 24025 | 3306.3 | 8912.5 | 59.03 | -1.53 | 56.09 | 61.97 | 50.05 | 68.02 |
5 | 157 | 63.5 | 24649 | 4032.3 | 9969.5 | 60.77 | 2.73 | 58.05 | 63.48 | 51.85 | 69.68 |
6 | 152 | 59 | 23104 | 3481 | 8968 | 56.43 | 2.57 | 53.07 | 59.79 | 47.30 | 65.56 |
7 | 157 | 61 | 24649 | 3721 | 9577 | 60.77 | 0.23 | 58.05 | 63.48 | 51.85 | 69.68 |
8 | 165 | 72 | 27225 | 5184 | 11880 | 67.71 | 4.29 | 65.17 | 70.24 | 58.85 | 76.57 |
9 | 162 | 66 | 26244 | 4356 | 10692 | 65.11 | 0.89 | 62.65 | 67.56 | 56.27 | 73.94 |
10 | 178 | 72 | 31684 | 5184 | 12816 | 78.99 | -6.99 | 74.65 | 83.33 | 69.45 | 88.52 |
11 | 183 | 84 | 33489 | 7056 | 15372 | 83.32 | 0.68 | 78.01 | 88.64 | 73.31 | 93.34 |
12 | 178 | 82 | 31684 | 6724 | 14596 | 78.99 | 3.01 | 74.65 | 83.33 | 69.45 | 88.52 |
Representación
Gráfica
HO: No hay relación entre la variable
peso y la variable estatura.
HA: Hay relación entre la variable
peso y la variable estatura.
Tabla de análisis de varianza | |||||||||
Fuente de | Grados de | Suma de | Cuadrados | ||||||
Variación | libertad | cuadrados | medios | estadístico F | |||||
Debido a | |||||||||
la regresión | 1 | 1061.1 | 1061.1 | 73.08 | |||||
error | 10 | 145.2 | 14.5 | ||||||
total | 11 | 1206.3 | |||||||
Se obtiene un valor F = 73.08 > 4.96, con lo cual se
rechaza la hipótesis nula y
aceptamos que la variable estatura está relacionada con la
variable peso con un 95% de confianza.
- De acuerdo al desarrollo
matemático hemos obtenido los siguientes
cálculos:
Lo que nos permite obtener los coeficientes a y
b.
Luego,
b = 1223 / 1409.667 = 0.8676
a = 65.25 – (0.8676) (162.167) =
-75.446
- La ecuación de regresión estimada es:
Coeficiente de correlación: R=
0.9379
Coeficiente de
determinación: R²=0.8796
El valor de b = 0.8676 indica el incremento del peso en
kilogramos, en promedio, por cada centímetro de aumento en
la estatura de los hombres adultos.
El valor de a, no tiene interpretación práctica en el
ejemplo, se interpretaría como el valor obtenido, en
promedio, para el peso Y, cuando la estatura es 0.
Utilizando la ecuación de regresión para
estimar o predecir valores de la variable Y: Para una talla de
180 se obtiene un peso de 80.7 kg.
¿Cuánto se espera que pese (en promedio)
una persona que mide 1.60 m?
Sustituyendo el valor de interés en
la ecuación:
Se obtiene:
La ecuación de Regresión
Lineal estimada para las variables estatura y peso muestran,
de acuerdo a la prueba F, relación.
Esta relación se ha estimado en un R = 93.7, que
indica una fuerte relación positiva.
Además si consideramos el coeficiente de
determinación R² = 87.9 podemos indicar que el 87.9%
de las variaciones que ocurren en el peso se explicarían
por las variaciones en la variable estatura.
MARÍA YSABEL RINCÓN PINO
UNIVERSIDAD NACIONAL
FEDERICO VILLARREAL
MAESTRÍA EN SALUD
REPRODUCTIVA
CURSO ESTADÍSTICA
LIMA – PERÚ
2005