Medidas de posición para datos agrupados y no agrupados: cuartiles, deciles y percentiles

3. Cuantiles
4. Cuartiles
5. Deciles
6. Centiles o
   percentiles
7. Ejemplo
8. Bibliografía

1. Las Medidas de Posición, también
   conocidas como Otras Medidas de Dispersión, son otras
   medidas o métodos que resultan ser más
   prácticos para precisar ciertas situaciones en las que
   se busca describir la variación o dispersión en
   un conjunto de datos.

2. INTRODUCCIÓN
3. CUANTILES

Los cuantiles son medidas de posición que se
determinan mediante un método que
determina la ubicación de los valores
que dividen un conjunto de observaciones en partes
iguales.

Los cuantiles son los valores de la
distribución que la dividen en partes
iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo
número de valores. Cuando la distribución contiene
un número alto de intervalos o de marcas y se
requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede
dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien
partes.

Los más usados son los cuartiles, cuando dividen
la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando
dividen la distribución en diez partes y los centiles o
percentiles, cuando dividen la distribución en cien
partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en
cierta forma una extensión de la mediana.

Para algunos valores u , se dan nombres
particulares a los cuantiles, Q (u):

CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores que dividen al
conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente
iguales.

Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El
segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es
el valor en el
cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los
valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es
el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas
partes (75%) de los datos.

Datos Agrupados

Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando
contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que
en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla
de frecuencia. La fórmula para el cálculo de
los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la
siguiente:

k= 1,2,3

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del
cuartil k

n = Número de datos

Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase del cuartil k.

fk = Frecuencia de la clase del cuartil
k

c = Longitud del intervalo de la clase del
cuartil k

Si se desea calcular cada cuartil individualmente,
mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:

• El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor
  que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la
  variable que supera 25% de las observaciones y es superado por
  el 75% de las observaciones.

Fórmula de Q1, para series de Datos
agrupados:

Donde:

L1 = limite inferior de la clase que lo
contiene

P = valor que representa la posición de
la medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
medida solicitada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase

• El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico
  o similar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es
  mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las
  observaciones son mayores que la mediana y el 50% son
  menores.

Fórmula de Q2, para series de Datos
agrupados:

Donde:

L1 = limite inferior de la clase que lo
contiene

P = valor que representa la posición de
la medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
medida solicitada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase

• El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor
  que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de
  la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las
  observaciones.

Fórmula de Q3, para series de Datos
agrupados:

Donde:

L1 = limite inferior de la clase que lo
contiene

P = valor que representa la posición de
la medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
medida solicitada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase.

Otra manera de verlo es partir de que todas las
medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el
primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75%
percentil.

Para Datos No Agrupados

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se
localiza mediante las siguientes fórmulas:

– El primer cuartil:

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

• Para el tercer cuartil

Cuando n es par:

Cuando n es impar:

DECILES

Los deciles son ciertos números que dividen la
sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente
iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos
ordenados en diez partes iguales, son también un caso
particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,…,
D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc.

Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente
utilizados para fijar el aprovechamiento
académico.

Datos Agrupados

Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la
fórmula.

k= 1,2,3,… 9

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del
decil k

n = Número de datos

Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase del decil k.

fk = Frecuencia de la clase del decil
k

c = Longitud del intervalo de la clase del decil
k

Otra fórmula para calcular los
deciles:

• El cuarto decil, es aquel valor de la variable que
  supera al 40%, de las observaciones y es superado por el 60% de
  las observaciones.

• El quinto decil corresponde a la mediana.

• El noveno decil supera al 90% y es superado por el
  10% restante.

Donde (para todos):

L1 = limite inferior de la clase que lo
contiene

P = valor que representa la posición de la
medida

f1 = la frecuencia de la clase que contiene la
medida solicitada.

Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que
contiene la medida solicitada.

Ic = intervalo de clase.

Fórmulas Datos No Agrupados

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se
localiza mediante las siguientes fórmulas:

Cuando
n es par:

Cuando
n es impar:

Siendo A el número del decil.

CENTILES O
PERCENTILES

Los percentiles son, tal vez, las medidas más
utilizadas para propósitos de ubicación o
clasificación de las personas cuando atienden
características tales como peso, estatura, etc.

Los percentiles son ciertos números que dividen
la sucesión de datos ordenados en cien partes
porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en
cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los
percentiles (P1, P2,… P99), leídos primer percentil,…,
percentil 99.

Datos Agrupados

Cuando los datos están agrupados en una tabla de
frecuencias, se calculan mediante la fórmula:

k= 1,2,3,… 99

Donde:

Lk = Límite real inferior de la clase del
decil k

n = Número de datos

Fk = Frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase del decil k.

fk = Frecuencia de la clase del decil
k

c = Longitud del intervalo de la clase del decil
k

Otra forma para calcular los percentiles es:

• Primer percentil, que supera al uno por ciento de los
  valores y es superado por el noventa y nueve por ciento
  restante.

• El 60 percentil, es aquel valor de la variable que
  supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de
  las observaciones.

• El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado
  a su vez por el 1% restante.

Fórmulas Datos No Agrupados

Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, se
localiza mediante las siguientes fórmulas:

Para los percentiles, cuando n es par:

Cuando
n es impar:

Siendo A, el número del percentil.

Es fácil ver que el primer cuartil coincide con
el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el
tercer cuartil con el percentil 75.

3.
EJEMPLO

Determinación del primer cuartil, el
séptimo decil y el 30 percentil, de la siguiente
tabla:

Como son datos agrupados, se utiliza la
fórmula

Siendo,

La
posición del primer cuartil.

La posición del 7 decil.

La posición del percentil 30.

Entonces,

El
primer cuartil:

115.5 – 85 = 30.75

Li = 300, Ic = 100 , fi =
90

El 7 decil:

Posición:

324.1 – 295 = 29.1

Li = 500, fi = 70

El percentil 30

Posición:

138.9 – 85 = 53.9

fi = 90

Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados
ganan salarios por
debajo de $ 334; que bajo 541.57 gana el 57%de los empleados y
sobre $359.88, gana el 70% de los empleados.

BIBLIOGRAFÍA

• Texto Estadística para las Ciencias
  Administrativas.
• Martinez, Ciro. Estadística y Muestreo. Ecoe
  Ediciones. Bogotá. 11ª. Edición.
• Consulta en Internet

PRESENTADO POR:

ANA MILENA GARCIA PORTO

ESTUDIANTE DE FINANZAS Y
NEGOCIOS
INTERNACIONALES

CATEGORÍA: ESTADISTICA

UNIVERSIDAD TECNOLÒGICA DE
BOLÌVAR

CARTAGENA, COLOMBIA