- Espacio
vectorial - La línea
recta - Tangente a una
curva - Parábola
- Elipse
- Hipérbola
- Asíntotas
- Subtangente y
subnormal - Ecuación general de
segundo grado - Transformación de
coordenadas - Coordenadas
polares - Lugar
geométrico - Distancia de un punto a una
recta - El plano
- La esfera
- Superficies
- Tema de
aplicación - Referencias
Es un conjunto arbitrario diferente del vacío en
el cual se han definido dos operaciones:
adición y producto por
un número. Un conjunto es una colección de objetos
que está bien definida, por definida, entendemos que
siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una
colección o conjunto.
Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:
Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se
constituyen como espacios vectoriales: Matrices de
n×n ; P(n) (polinomios), funciones
continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora
consideraremos el conjunto IR2 = { (x, y) | … } y
veremos las siguientes operaciones:
Sea un vector ^u = (x1, y1)
y ^v = (x2,
y2) y k un
escalar entonces definimos las siguientes operaciones:
^u + ^v = (x1 +
x2, y1 + y2) k^u =
(kx1, ky1) ^u ·^v = x1
· x2 + y1 ·
y2
Y además se satisfacen los siguientes
axiomas:
Sean vectores
denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c
escalares, entonces:
- ^u + ^v = ^v + ^u
- (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)
- ^u + 0 = 0 + ^u = ^u
- ^u + ( – ^u) = 0
- a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)
- a(^u + ^v) = a^u + a^v
- (a + b)^u = a^u + b^v
- 1^u = ^u
- ^u·^v = ^v·^u
- ^u(^v + ^w) = ^u·^v + ^u·^w
- c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)
- 0·^u = 0
- ^u·^u = |^u|2
- Dos vectores son perpendiculares ó ^u·^v =
0
En IR² ó IR³ cuando consideramos un
punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en
el plano cartesiano trazando una línea de leal origen,
recibe el nombre de vector de posición o vector
anclado. Además, si el vector ^u es elemento de
IR², entonces ^u = (x, y).
En la siguiente gráfica ^u es un vector
anclado, observemos los demás elementos que componen dicha
gráfica:
Podemos observar que:
^u = ux + uy donde
ux = (x, 0) y uy = (y,
0)
Denotamos como || ^u || a la distancia del origen
al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y
de donde obtenemos las siguientes conclusiones:
- || ^u || = (x² +
y²)½ - Cos(q) = x / || ^u ||
- Sen(q) = y / || ^u ||
- Para un vector anclado ^u, ^ux
representa su componente en la dirección x y
^uy representa su componente en la
dirección y. - La dirección de un vector de posición
está dada por el ángulo que forma con el sentido
positivo del eje X.
2.1.Concepto de
Línea Recta.
Éste concepto matemático parece no tener
definición ya que es una sucesión de puntos y
éstos carecen de magnitud, pero se considera como una
trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien,
en términos del espacio, es la intersección de dos
planos. Además tenemos los siguientes
conceptos:
- Segmento de recta: Recta delimitada por dos
puntos, ésta es una magnitud lineal finita. - Semirrecta: Si se tiene una recta con un punto
P contenido en ella y que la divide, cada una de las porciones
en que queda dividida se le conoce como semirrecta. - Rayo: Se le conoce como la semirrecta en un
sentido, simbolizada como
donde la flecha indica el sentido, el origen es A y el
destino B, o bien por "r" con una flecha indicando el
destino.
2.2.Pendiente de una recta.
Uno de los elementos más importantes de la
línea recta es la pendiente, la cual se define como la
tangente del ángulo de inclinación. El
ángulo de inclinación es aquel que forma la recta
con el eje positivo de las X. Dados dos puntos por los
cuales pasa la recta, su pendiente se calcula
así:
- m = (y2 – y1) /
(x2 – x1) - m = Tg ().
- Tg() = y2 / x2 = y1
/ x1
2.3.Ecuación de la recta.
- Forma intercepto-pendiente: y = mx + b (b es el
intercepto con el eje Y). - Conocidos la pendiente y un punto cualquiera
(x1, y1), la ecuación es: y
– y1 = m(x – x1). - Conocidos dos puntos la ecuación es: y –
y1 = [ (y2 – y1) /
(x2 – x1) ] · (x –
x1) - Forma general de la ecuación de la recta: La
encontramos haciendo operaciones con cualquiera de las formas
antes mencionadas, su representación es: ax + by + c
= 0.
Definiciones.
- Se dice que dos puntos son colineales si están
sobre la misma recta. - Se dice que dos rectas son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es –1. - Se dice que dos rectas son paralelas si ambas tienen
la misma pendiente. - La distancia del punto P(x1,
y1) a la recta L: Ax + By + C = 0 es: d(P, L) = |Ax1
+ By1 + C| / (A² + B²)½
2.4.Forma simétrica de la ecuación de
la recta.
x/a + y / b = 1 Donde a es el intercepto con
x y b el intercepto con y.
2.5.Rectas y vectores.
En el plano cartesiano las rectas y los vectores se
relacionan de la siguiente forma: Dados dos puntos
(x1, y1) y (x2, y2),
entonces, ellos determinan una recta, justamente la que pasa por
ambos, y su ecuación se encuentra de forma usual. Vistos
los puntos como vectores ^a = (x1, y1) y ^u
= (x2, y2), puede plantearse la siguiente
pregunta: ¿Cuál es la recta que pasa por la punta
del vector ^a en la dirección del vector ^u?
(recta L), con mayor precisión, observe en la
figura que ^u = ^a + t^h que es la ecuación en
forma vectorial de la recta L. Entonces podemos hacer las
siguientes sustituciones:
^a + t^h = (x1 + tx2,
y1 + ty2) è x = x1 +
tx2 y y = y1 + ty2 y
podemos sustituir y despejar t para encontrar la
ecuación de la recta en su forma general.
Teorema:
La forma normal de la ecuación de una recta
está dada por: xCos(q) + ySen(q) – p; donde p es un número
positivo numéricamente igual a la longitud de la normal
trazada desde el origen a la recta y q es el ángulo positivo menor a
360°.
Circunferencia es el lugar geométrico de un punto
que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a
una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto
fijo se llama centro y la distancia constante radio.
La circunferencia cuyo centro es (h,
k) y de radio r tiene por ecuación: (x –
h)2 + (y – k)2 = r2 y recibe
el nombre de ecuación en forma ordinaria.
3.1.Forma general de la ecuación de una
circunferencia.
Dada la forma ordinaria (x – h)2 + (y –
k)2 = r2 desarrollamos los cuadrados y
tenemos:
X2 – 2hx + h2 +
y2 – 2ky + k2 = r2;
agrupando términos:
X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y +
(h2 + k2 – r2) = 0; por
último tenemos:
D E F
X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0
que es la forma general que buscábamos. De aquí
deducimos que cualquier ecuación en forma ordinaria puede
transformarse mediante operaciones correctas a la forma
general.
3.2.Tangente a una circunferencia.
Dada la ecuación de la circunferencia en forma
ordinaria o general, hallar la ecuación de la tangente a
la circunferencia que tiene dicha ecuación dados un punto
de contacto, la pendiente de la de la recta buscada o un punto
exterior por el cual pasa la recta tangente.
En geometría elemental se estudia
únicamente la tangente a una curva: la circunferencia, el
estudio hecho es insuficiente para las curvas planas en general,
por ello, estudiaremos un método que
se aplique a todas las curvas existentes en el siguiente
apartado.
Dada la función
f(x, y) <1> y la recta, que es tangente a esa curva,
y = mx + b despejamos y en la ecuación de la
recta y la sustituimos en f(x, y), después de esto
nos debe quedar una ecuación de segundo grado, la cual hay
que resolver con la siguiente condición: sabemos que la
ecuación de segundo grado tiene un discriminante, en
nuestro caso le llamaremos D y lo igualaremos a cero quedando de la
forma D = 0 y le
llamaremos "condición de tangencia".
En la expresión <1> hablamos de una
función general en dos variables y
nos referimos a funciones cuadráticas donde y = mx +
b representa una familia de rectas
y el sistema pretende
determinar cuál de esas rectas es tangente.
Resolviendo nos queda una ecuación de segundo
grado, como lo habíamos dicho con anterioridad, para la
variable x y como estamos buscando una única
solución se deduce que el discriminante tiene que ser
igual a cero, es decir, estamos hablando de la condición
de tangencia.
De manera práctica se encuentran tres casos de
tangentes a cónicas.
- Se conoce el punto de contacto, aquí hay una
sola tangente. - Se conoce la pendiente, aquí hay dos
tangentes. - Se conoce un punto exterior por el cual pasa la
tangente, aquí hay dos tangentes.
Para hallar las ecuaciones de
las tangentes se sustituye el dato conocido en la ecuación
de la recta y se resuelve la aplicando la condición de
tangencia, determinando así la ecuación de las
rectas.
Una parábola es el lugar geométrico de un
punto que se mueve en el plano de talo manera que su distancia de
una recta fija situada en el plano es siempre igual a su
distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la
recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija
directriz.
La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa
por el foco se llama eje focal, la intersección de
la parábola con el eje focal se denomina
vértice. La cuerda focal es el segmento de
recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en
nuestra gráfica, esta es el lado recto.
Los elementos de una parábola son entonces:
vértice, foco, longitud del lado recto, y la
ecuación de la directriz. Nosotros estudiaremos
únicamente las parábolas con ejes focales paralelos
al eje X o al eje Y. La distancia del vértice a la
directriz es la misma distancia del vértice al
foco.
Teorema:
La ecuación de una parábola de
vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la
forma: (y – k)² = 4p(x – h) y sus elementos son los
siguientes:
- Foco(h + p, k)
- Directriz x = h – p
- Eje focal y = k
- Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo |
p | la longitud entre el foco y el vértice. - Si p > 0 la parábola se abre hacia la
derecha. - Si p < 0 la parábola se abre hacia la
izquierda.
Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación
es de la forma (x – h)² = 4p(y – k) y sus elementos
son:
- Foco (h, k + p)
- Directriz y = k – p
- Eje focal x = h
- Si p > 0 la parábola se abre hacia
arriba. - Si p < 0 la parábola se abre hacia
abajo.
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que
se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus
distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una
constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos
puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Los elementos de una elipse son los que se describen en
la figura siguiente:
- F y F’, focos.
- V y V’, vértices
- C, centro.
- d(V, V’), eje mayor.
- CF, lado recto.
- d(A, A’) eje menor.
- L’, eje normal.
- L, eje focal.
Es importante observar que F, F’, C, V y V’
tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V
es igual a la distancia de F’ a V’ y que C es el
punto medio de los focos y vértices.
Teorema:
La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal
paralelo al eje X esta dada por: (x – h)² / a² + (y
– k)² / b² = 1, y paralela al eje Y es: (x –
h)² / b² + (y – k)² / a² = 1.
En donde para cada elipse, a es la longitud del
semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la
distancia del centro hacia cada foco y a, b, c
están ligadas por la siguiente relación: a²
= b² + c².
También para cada elipse, la longitud de cada uno
de sus lados rectos es: 2b² / a y la excentricidad
e = c / a.
Una hipérbola es el lugar geométrico de un
punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano,
llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la
distancia entre los focos. Sus elementos son los que se muestran
en la figura:
- F y F’, focos.
- V y V’, vértices.
- L, eje focal.
- VV’, eje transverso.
- C, centro.
- L’, eje normal.
- AA’, eje conjugado.
- CF, lado recto.
Teorema:
La ecuación de una hipérbola con centro en
el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la
forma:
(x – h)² / a² – (y – k)² / b²
=1, sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k) y sus
vértices son (h – a, k) y (h + a, k).
Si el eje focal es paralelo al eje Y su
ecuación es de la forma: (y – k)² / a² – (x –
h)² / b² = 1, sus focos son (h , k + c) y (h, k –
c) y sus vértices son (h – a, k ) y (h + a, k
).
Donde para cada parábola a es la longitud
del semieje transverso, b la del semieje conjugado y
c la distancia del centro a cada foco; a, b, c
están ligadas por la relación c² = a²
+ b².. También la longitud de cada lado recto es
2b² / a y la excentricidad está dada por la
relación e = c /a.
Si para una curva dada, existe una recta talque, a
medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del
origen, la distancia de ese punto a esa recta decrece
continuamente y tiende a cero dicha curva se llama
asíntota de la curva, la cual puede ser horizontal o
vertical.
Teorema:
La hipérbola b²x² – a²y² =
a²b² tiene por asíntotas las rectas: bx
– ay = 0 y bx + ay = 0.
Veamos la siguiente figura:
siguiendo la figura podemos decir lo
siguiente:
- L es tangente a la curva C en el punto
P1. - L’ es la recta trazada por P1
perpendicular a L y se llama normal a C en P1. Su
ecuación es y – y1 = -1/m(x –
x1). - La tangente y la normal cortan al eje X en T y
N. - La longitud P1T es la longitud de la
tangente y P1N es la longitud de la
normal. - La proyección QT de la longitud de la tangente
sobre X se llama subtangente . - La proyección QN de la longitud de la normal
sobre X se llama subnormal.
Si m es la pendiente de una curva plana continua C en
P1(x2, y1), entonces en
P1 tenemos:
- Ecuación de la tangente a C: y –
y1 = m(x – x1). - Ecuación de la normal a C: y –
y1 = -1/m(x – x1) con m !=
0. - Longitud de la tangente: y1 / m (1 +
m²) ½ con m ¡= 0. - Longitud de la normal: y1(1 +
m²)½ . - Longitud de la subtangente: y1 /
m - Longitud de la subnormal: my1.
10.ECUACIÓN
GENERAL DE SEGUNDO GRADO.
Esta ecuación tiene la siguiente forma: Ax²
+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 y representa alguna de las
cónicas.
Teorema:
La ecuación general de segundo grado representa
una cónica del género
parábola, elipse o hipérbola según el
indicador I = B² – 4AC sea 0, negativo o positivo
respectivamente.
11.TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS.
Una transformación es una operación por la
cual una relación, expresión o figura se cambia por
otra siguiendo una ley dada.
Analíticamente la ley se expresa mediante una o más
ecuaciones llamadas "ecuaciones de
transformación".
11.1.Traslación de ejes de
coordenadas.
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen,
O’ es el punto (h, k), y si las coordenadas de cualquier
punto antes y después de la traslación son (x, y) y
(x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de
transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de
coordenadas son:
x = x’ + h; x’ = x –
h
y = y’ + k; y’ = y
– k
11.2.Rotación de ejes de
coordenadas.
Si los ejes coordenados giran un ángulo
q en torno de su
origen como centro de rotación y las coordenadas de un
punto cualquiera P antes y después de la rotación
son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones
de transformación del sistema original al nuevo sistema
están dadas por:
x =
x’cos(q) – y’sen(q); y =
x’sen(q) +
y’cos(q)
Veamos la siguiente gráfica:
De ella podemos decir que x =
rCos(q) y y =
rSen(q), por tanto, podemos
representar el punto P(x, y)mediante otro sistema denominado
coordenadas polares que toma en cuenta la magnitud r y el
ángulo q,
así, el punto P(x, y) lo podemos escribir como P(r,
q).
El ligar geométrico lo podemos definir como el
conjunto de puntos y solo de aquellos puntos cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación f(x, y)=0, y además,
cualquier punto que se mueve en el plano describe una curva. El
hallar la ecuación de la curva y todas sus propiedades es
un problema de lugar geométrico, donde se busca una
expresión matemática
que describa la situación.
13.1.Lugar geométrico de la recta en 3
dimensiones.
Dados dos puntos fijos la recta se describe por aquellos
puntos que se mueven a lo largo del vector que describen esos dos
puntos en dirección contraria.
13.2.Ecuaciones paramétricas.
La recta queda determinada por un punto fijo
P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de
los puntos P, tales que PoP es paralelo a ^v, es
decir, que satisfacen d(P0, P) = t^v para algún
número real t.
Si r = OP y r0 = OP son los vectores de
posición de P y P0, respectivamente,
entonces:
è
P0P = t^v
è
P0P = r – r0
è r =
r0 + t^v (1)
Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0,
y0. z0) e igualamos los componentes en (1)
tenemos,
x = x0 + at; y =
y0 + bt ; z = z0 + ct
y éstas se denominan ecuaciones
paramétricas (vea la gráfica).
Si despejamos t de las ecuaciones paramétricas
obtenemos las ecuaciones simétricas o
estándar:
(X – x0) / a = (y
– y0) / b = (z – z0) /
c
14.DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA
RECTA.
Para hallar la distancia de un punto P(r, s) a una recta
dada tenemos dos alternativas, calcularla mediante:
P(r, s) Recta L: Ax + By + C = 0
d(P, L) = + Ar + Bs + C / (A² +
B²)½ (1)
y otra alternativa es calcularla de forma vectorial la
cual está dada por:
d(P, L) = | ^L × ^K | / | ^L |, donde K y L son
vectores determinados, aquí el procedimiento que
se sigue es obtener los vectores K y L, realizar el producto
vectorial por medio de determinantes y llegar a la fórmula
(1).
Primero definamos lo que es producto cruz, sean vectores
^v = (x1, x2, x3 ) y
^w = (y1, y2, y3),
entonces lo definimos por medio del cálculo
del determinante siguiente:
el cual
también es un elemento de IR³.
Ahora sí definimos al plano, un plano en tres
dimensiones es el lugar geométrico de los puntos, por los
que u punto móvil se traslada de tal forma que el vector
de él a un punto fijo de él es siempre
perpendicular a un vector fijo llamado normal al plano.
Consideremos la ecuación del plano como Ax + By + Cz + D =
0 con A, B, C no todas nulas.
Para dos vectores dados cualesquiera ^v y ^w su producto
cruz (^v × ^w) es un vector perpendicular a ^v y a ^w y sus
números directores son los mismos que los de la normal al
plano.
El lugar geométrico de una esfera, es el lugar de
un punto en el espacio que se mueve de tal manera que su
distancia a un punto fijo es siempre constante. El punto fijo se
llama centro y la distancia radio. Su ecuación es muy
parecida a la de la circunferencia, esta es: (x – a)² +
(y – b)² + (z – c)² = r², donde r es el radio
y (a, b, c) es el centro del cual hablamos. En el caso de la
circunferencia hablamos de recta tangente, pero en el caso de la
esfera hablaremos del plano tangente a una esfera, el cual se
obtiene buscando el vector que describe el centro con el punto de
contacto y determinar la ecuación de la normal al
plano.
La forma general de la ecuación de la esfera es :
x² + y² +z² + Gx + Hy + Iz + K =
0
16.1.Coordenadas esféricas.
Es posible representar un punto en el espacio en otro
sistema de coordenadas denominado coordenadas esféricas,
el cual considera la distancia al origen y los ángulos que
forma ese radio vector con los ejes X y Z, eto implica que el
punto P(x, y, z) puede escribirse como: P(r, a, q).
Teorema:
Las coordenadas rectangulares y esféricas de un
punto en el espacio están ligadas por las
relaciones:
X = rSen(a)Cos(q); y = rSen(a)Sen(q); z = rCos(a).
Se llama superficie al conjunto de puntos cuyas
coordenadas satisfacen una ecuación del tipo f(x, y, z)
= 0.
Definición:
Se dice que dos puntos distintos son simétricos
con respecto a un plano si y solamente si el plano es
perpendicular al segmento que los une en el punto
medio.
Definición:
Se dice que una superficie es simétrica con
respecto a un plano de simetría d si el simétrico de cada punto de
la superficie respecto del plano d es también un punto de la
superficie.
17.1.Construcción de una
superficie.
Construir una superficie es muy complicado, por ello se
han diseñado otras estrategias para
hacer la tarea más fácil, lo cual contempla seguir
los siguientes puntos en la construcción de cualquier
superficie:
En las intercepciones con los ejes, los puntos
tienen la forma en el plano X (x, 0, 0) en el plano Y(0, y,
0) en el plano Z(0, 0, z), que como pertenecen a la
ecuación de la superficie, satisfacen la misma, y al
hacerlo, podemos encontraren valor de x, y y
z.- Verificar los interceptos con los ejes
coordenados:Un razonamiento similar al de los interceptos nos
lleva a encontrar las trazas de la superficie, que son las
figuras que forma esa superficie cuando se intercepta con
alguno de los ejes coordenados, entonces aquí buscamos
ecuaciones sencillas. Los puntos de las trazas en los planos
correspondientes tienen la siguiente expresión: en el
plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el plano YZ(0,
y, z), que como pertenecen también a la superficie,
deben satisfacer su ecuación, por lo que al sustituir
cada uno de esto puntos en la ecuación de la
superficie se determina la curva correspondiente (la
ecuación) de la traza en sus planos
respectivos. - Verificar las trazas:
Para verificar la simetría de una superficie
nos ayudamos de la siguiente tabla que dice:Tabla de
simetríaSi la ecuación de la
superficie no se altera cuando las variables x,
y y z son reemplazadas por:La superficie es
simétrica respecto al:-x, y, z
Plano YZ
x, -y, z
Plano XZ
x, y, -z
Plano XY
-x, -y, z
Eje Z
-x, y, -z
Eje Y
x, -y, -z
Eje X
-x, -y, -z
Origen
- Verificar la simetría de la superficie.
Para hacerlo, se trazan planos paralelos a la
superficie para observar que curva se forma cuando se
interceptan. Ahora los puntos toman la forma: en el plano
XY(x, y, k), k = z, en el plano XZ(x, k, z), k = y y en el
plano YZ(k, y, z), k = x. - Verificar secciones.
- Definir la extensión de la
superficie.
Simplemente se refiere al alcance que tiene la
superficie, es decir, cuales son sus límites,
si está definida dentro de un intervalo de valores para
las variables o no, etcétera.
18.1.Construcción de
volúmenes.
Por volumen
entendemos una porción del espacio limitada por una o
más superficies, si un volumen está limita solo por
una superficie, tal como un elipsoide, dicho volumen puede
representarse mediante la construcción de una superficie,
si un volumen está limitado por una o más
superficies, su construcción requiere la
construcción de cada superficie que lo forma y de sus
curvas de intersección, veamos dos ejemplos:
EJEMPLO 1: Construir el volumen limitado por las
superficies x² + y² = 4 y x + y – z =
0.
Solución: La superficie que se desea
está limitada por la superficie del cilindro circular
recto x² + y² = 4, el plano x + y – z = 0 y los
planos coordenados x = 0, y = 0, y z = 0.
Construimos primero una parte del cilindro en el primer octante.
El plano x + y – z = 0 pasa por el origen y se puede
construir mediante sus trazas sobre los planos XZ y YZ. Luego
construimos la curva de intersección de este plano y el
cilindro; para obtener cualquier punto P de esta curva, empleando
un plano de corte paralelo al plano XZ, lo hacemos como indica la
siguiente figura, el contorno del volumen aparece en la
línea llena.
EJEMPLO 2: Construir
el volumen limitado por la superficie x² + 2y = 4, 2y =
3z , x – y + 1 = 0, x = 0 y z = 0 y que
está a la izquierda del plano x – y + 1 =
0.
Solución: La porción de la curva de
intersección del cilindro parabólico recto x²
+ 2y = 4 y el plano 2y = 3z aparece en la última figura
por el arco AB. El plano x – y + 1 = 0 corta al arco AB en
el punto D, al cilindro en la generatriz CD, al plano
2y = 3z en la recta DE y al eje Y en el punto F , entonces el
volumen requerido, que aparece en la línea gruesa,
está limitado por las porciones ACD del cilindro. AOED del
plano 2y = 3z, CDEF del plano x – y + 1 = 0, OEF del plano
x = 0 y AOFC del plano z = 0.
- Purcell Edwin J., Varberg Dale, Rigdon Steven E.
(2001) Cálculo Octava Edición Pearson Educación, México. - Lehmann Charles H. (2003)Geometría Analítica, Limusa
Noriega Editores, México.
Luis Antonio Fernández
Aldana
Estudiante del 3er. Cuatrimestre de Ingeniería en Ciencias de la
Computación.
Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla.
Facultad de Ciencias de la
Computación.
11 / Diciembre / 2003.
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