Transferencia de calor

Ley de Enfriamiento de
Newton
Transferencia de calor por
convección
Transferencia de calor por
radiación
Conclusiones
Bibliografía

La gente siempre ha entendido que algo fluye de los
objetos calientes a los fríos. A eso se le llama flujo
de calor. En
el siglo XVIII y comienzos del XIV, los científicos
imaginaban que todos los cuerpos contenían un fluido
invisible al cual llamaron calórico. Al
calórico se le asigno un variedad de propiedades,
algunas que probaron ser inconsistentes con la naturaleza. Pero su más importante
propiedad
era que fluía de cuerpos calientes a fríos. Era
una manera útil de pensar acerca del calor.
Hoy en día, en la física, a
éste flujo de calor, más propiamente
transferencia de calor, se le define como el proceso
por el que se intercambia energía en forma de calor
entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un
mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se puede transferir por
convección, radiación o conducción. Aunque
estos tres procesos
pueden tener lugar simultáneamente, puede ocurrir que
uno de los mecanismos predomine sobre los otros
dos.
La conducción es la transferencia de calor a
través de un objeto sólido: es lo que hace que
el mango de una varilla se caliente aunque sólo la
punta esté en el fuego. La convección
transfiere calor por el intercambio de moléculas
frías y calientes: es lo que hace que el agua de
una caldera se caliente uniformemente aunque sólo su
parte inferior esté en contacto con la llama. La
radiación es la transferencia de calor por
radiación electromagnética (generalmente
infrarroja): es el principal mecanismo por el que un fuego
calienta una habitación.
De las tres formas de transferencia de calor, la que
más ha gestado discusiones y dicotomías ha sido
la teoría de transferencia de calor por
radiación electromagnética. A
continuación discutimos los diversos aportes que se
han hecho en la teoría de la transferencia de calor,
desde la ley de
enfriamiento de Newton
hasta la formulación de Planck para la
radiación de un cuerpo negro, teniendo en cuenta las
inconsistencias y las conjeturas a las que se han llegado,
por el acercamiento desde la física clásica,
hasta los primeros indicios de la teoría
cuántica.
INTRODUCCIÓN
Newton estudió el fenómeno de la
transferencia de calor y demostró que en el
enfriamiento de cuerpos que no están demasiado
calientes se cumple una ley sencilla. Según
ésta ley empírica la razón con que
cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la
diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea,
que es la temperatura ambiente.
Si la temperatura de un cuerpo es y la temperatura del ambiente que lo
rodea ,
encontró experimentalmente que el calor perdido,
Q, por el cuerpo en un tiempo
t es
*
Esta es denominada ley de enfriamiento de
Newton. Ahora sabemos que es solo aproximadamente cierta,
y en el supuesto de que no sea demasiado grande.
Al ser aplicada solo para diferencias de temperatura
no muy grandes y contener un sustento experimental y no
teórico, Newton demuestra inconsistencias en la
formulación de dicha ley. Es importante ver que esta
ley contempla los efectos combinados de la conducción,
convección y radiación.
LEY DE
ENFRIAMIENTO DE NEWTON
En los sólidos, la única forma de
transferencia de calor es la conducción. Si se
calienta un extremo de una varilla metálica, de forma
que aumente su temperatura, el calor se transmite hasta el
extremo más frío por conducción. No se
comprende en su totalidad el mecanismo exacto de la
conducción de calor en los sólidos, pero se
cree que se debe, en parte, al movimiento
de los electrones libres que transportan energía
cuando existe una diferencia de temperatura. Esta
teoría explica por qué los buenos conductores
eléctricos también tienden a ser buenos
conductores del calor. En 1822, el matemático
francés Joseph Fourier dio una expresión
matemática precisa que hoy se conoce
como ley de Fourier de la conducción del
calor.
1. Esta ley afirma que la velocidad de conducción de calor a
  través de un cuerpo por unidad de sección
  transversal es proporcional al gradiente de temperatura
  que existe en el cuerpo (con el signo
  cambiado).
  Sea J la densidad de corriente de energía
  (energía por unidad de área y por unidad de
  tiempo), que se establece en la barra debido a la
  diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma.
  La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad
  entre el flujo de energía J y el gradiente
  de temperatura.
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  Siendo K una constante
  característica del material denominada
  conductividad térmica.
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  Figura 1 Elemento diferencial que transfiere
  calor por conducción
  Consideremos un elemento de la barra de longitud
  dx y sección S. La energía
  que entra en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es
  JS, y la que sale es J’S. La
  energía del elemento cambia, en la unidad de
  tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el
  flujo entrante y el flujo saliente.
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  Esta energía, se emplea en cambiar la
  temperatura del elemento. La cantidad de energía
  absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por el
  elemento es igual al producto de la masa de dicho elemento por
  el calor específico y por la variación de
  temperatura.
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  Igualando ambas expresiones, y teniendo en
  cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuación
  diferencial que describe la conducción
  térmica
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2. Ley de Fourier
3. Solución
  analítica
Supongamos una barra metálica de longitud
L, conectada por sus extremos a dos focos de calor a
temperaturas Ta y Tb
respectivamente. Sea T0 la temperatura
inicial de la barra cuando se conectan los focos a los
extremos de la barra.
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Figura 2 Barra metálica expuesta a un
gradiente de temperatura.
Al cabo de cierto tiempo, teóricamente
infinito, que en la práctica depende del tipo de
material que empleamos, se establece un estado
estacionario en el que la temperatura de cada punto de la
barra no varía con el tiempo. Dicho estado está
caracterizado por un flujo J constante de
energía. La ley de Fourier establece que la
temperatura variará linealmente con la distancia
x al origen de la barra.
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La temperatura en cualquier punto x a lo
largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t)
es la solución de la ecuación diferencial, que
es una combinación de dos términos, la que
corresponde al régimen permanente más la del
régimen transitorio.
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Las condiciones de contorno, es decir, la
temperatura T0 en el instante inicial
(t=0), y las temperaturas en los extremos
Ta (para x=0) y Tb
(para x=L) que permanecen invariables, nos
permiten obtener los
valores de los coeficientes
kn
Para n par
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Para n impar
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Así, la temperatura en cualquier punto de la
barra x, en un instante t, se compone de la
suma de un término proporcional a x, y de una
serie rápidamente convergente que describe el estado
transitorio.
El factor de proporcionalidad se denomina
conductividad térmica del material. Los materiales
como el oro, la
plata o el cobre
tienen conductividades térmicas elevadas y conducen
bien el calor, mientras que materiales como el vidrio o
el amianto tienen conductividades cientos e incluso miles de
veces menores; conducen muy mal el calor, y se conocen como
aislantes. En ingeniería resulta necesario conocer la
velocidad de conducción del calor a través de
un sólido en el que existe una diferencia de
temperatura conocida. Para averiguarlo se requieren técnicas matemáticas muy complejas, sobre todo
si el proceso varía con el tiempo; en este caso, se
habla de conducción térmica transitoria. Con la
ayuda de ordenadores (computadoras) analógicos y digitales,
estos problemas
pueden resolverse en la actualidad incluso para cuerpos de
geometría complicada.
TRANSFERENCIA DE
CALOR POR CONDUCCIÓN
TRANSFERENCIA DE CALOR POR
CONVECCIÓN

Si existe una diferencia de temperatura en el interior
de un líquido o un gas, es casi
seguro que se
producirá un movimiento del fluido. Este movimiento
transfiere calor de una parte del fluido a otra por un proceso
llamado convección. El movimiento del fluido puede ser
natural o forzado. Si se calienta un líquido o un gas, su
densidad (masa por unidad de volumen) suele disminuir. Si el
líquido o gas se encuentra en el campo gravitatorio, el
fluido más caliente y menos denso asciende, mientras que
el fluido más frío y más denso desciende.
Este tipo de movimiento, debido exclusivamente a la no
uniformidad de la temperatura del fluido, se denomina
convección natural. La convección forzada se logra
sometiendo el fluido a un gradiente de presiones, con lo que se
fuerza su
movimiento de acuerdo a las leyes de la
mecánica de fluidos.

Supongamos, por ejemplo, que calentamos desde abajo una
cacerola llena de agua. El
líquido más próximo al fondo se calienta por
el calor que se ha transmitido por conducción a
través de la cacerola. Al expandirse, su densidad
disminuye y como resultado de ello el agua caliente asciende y
parte del fluido más frío baja hacia el fondo, con
lo que se inicia un movimiento de circulación. El
líquido más frío vuelve a calentarse por
conducción, mientras que el líquido más
caliente situado arriba pierde parte de su calor por
radiación y lo cede al aire situado por
encima.

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Figura 3 Flujo en una tetera debido a
la transferencia de calor por
convección.

TRANSFERENCIA DE CALOR POR
RADIACIÓN
1. Radiación del cuerpo
  negro

La teoría estadística de la radiación
representó un enorme papel en el desarrollo de
la teoría cuántica. La teoría
electromagnética clásica de la luz, que
había explicado un amplio círculo de
fenómenos vinculados con la propagación de la luz,
y que había logrado aceptación general a fines del
S. XIX, a principios del S.
XX se encontró con dificultades insuperables en
relación con el problema de la emisión de la luz y,
en particular, con el de la radiación térmica.
Entendemos por radiación térmica toda la
radiación emitida por un cuerpo calentado.

Como es sabido, el carácter de la luz emitida y, en
particular, su intensidad, como también la dependencia de
ésta respecto de la frecuencia (composición
espectral de la radiación) están determinados por
la temperatura y la naturaleza del cuerpo emisor.

Sin embargo, hay un caso en que la composición
espectral de la radiación es independiente de la
naturaleza del emisor y viene determinada exclusivamente por su
temperatura. Se trata de la llamada radiación de equilibrio.

Imaginemos una cavidad cerrada, con paredes que no dejan
pasar el calor y mantenidas a una determinada temperatura T. Las
paredes de la cavidad emitirán y absorberán
ondas
electromagnéticas.

Dado que toda la radiación
electromagnética se encuentra confinada en la cavidad
cerrada, al cabo de un cierto tiempo se establecerá en el
sistema un estado
de equilibrio estadístico. Las paredes de la cavidad
emitirán, por unidad de tiempo, la misma energía
electromagnética que absorben. En la cavidad
existirá un sistema de ondas electromagnéticas
estacionarias que no variarán con el tiempo.

La densidad de energía del correspondiente campo
electromagnético dentro de la cavidad se expresa
como:

La radiación térmica contendrá
diferentes frecuencias. La densidad de energíaque corresponde a un
intervalo de frecuencias dado dv, será distinta,
evidentemente, para las diferentes frecuencias. La densidad de
energía de la radiación de frecuencia dada
dependerá también de la temperatura T de las
paredes emisoras. De esta manera,

Un simple razonamiento termodinámico prueba si
embargo, que es
independiente de la naturaleza del emisor, en particular, de las
paredes (de las propiedades absorbentes y emisoras, del estado de
la superficie, etc.).

Consideremos, en efecto, dos cavidades cuyas paredes se
calientan hasta la misma temperatura, pero constituidas por
materiales distintos. Supongamos que la densidad de la
energía espectral de la radiación dependa de la
naturaleza del emisor y sea diferente en una y otra cavidad.
Entonces, poniendo en comunicación ambas cavidades, es posible
romper el equilibrio. La radiación pasará a aquella
cavidad en la que su densidad sea menor. Como resultado de esto,
la densidad de radiación de dicha cavidad crecerá,
las paredes de la misma absorberán más
energía, y su temperatura se elevará. Entre las
paredes de ambas cavidades se establece una diferencia de
temperaturas que se puede utilizar para obtener trabajo
útil.

Figura 4 Dos cavidades radiantes inicialmente a la
misma temperatura se colocan como se muestra en la
figura.

La hipótesis que se acaba de hacer lleva a
concluir la posibilidad de una violación espontánea
del equilibrio en un sistema cerrado y a que es posible construir
un motor perpetuo de
segunda especie (claramente una violación de la segunda
ley de la termodinámica), lo que como es sabido, es
imposible. Queda demostrado de esta manera que la distribución espectral de la densidad de
energía de la radiación de equilibrio es una función
universal de la frecuencia v y de la temperatura
T.

EL estudio de las propiedades emisoras y
absorbentes de los cuerpos materiales llevó a Gustav
Kirchhoff a establecer un teorema muy importante que ha
recibido su nombre, el teorema de Kirchhoff.
Se le llamará capacidad radiante (o
emisora) de un cuerpo cualquiera a la magnitud
E(v) igual a la energía emitida por
cm2 de superficie del cuerpo por unidad de
tiempo con una frecuencia entre v y v +
dv por unidad de intervalo de frecuencias. Por otra
parte, se le llamará capacidad absorbente
A(v) de un cuerpo la fracción de toda
la energía luminosa en el intervalo entre v y
v + dv que incide en 1 cm2 y que
es absorbida dentro del cuerpo por unidad de intervalo de
frecuencias.
El teorema de Kirchhoff establece que la
razón de las capacidades radiante y absorbente
E(v)/A(v) es una función
universal de la frecuencia y de la temperatura del cuerpo
que no depende ni de la naturaleza y propiedades de los
cuerpos, ni de sus dimensiones geométricas, es
decir,
Ahora bien, resulta que la función
universal
está ligada por una simple relación con la
densidad de energía de la radiación de
equilibrio:
donde c es la velocidad de
la luz. Así, pues, el teorema de Kirchhoff se puede
escribir de la forma
Dado que la capacidad absorbente de un cuerpo
puede hallarse si demasiada dificultad a partir de la
medición de los coeficientes de
absorción y de consideraciones geométricas,
hallar la forma de la función presentaba gran
interés. De la formula de Kirchhoff
se deduce que tiene particular importancia un cuerpo en el
que la capacidad absorbente sea igual a la unidad. Este cuerpo
absorbe toda la energía electromagnética que
incide sobre él, cualquiera que sea la frecuencia.
Este cuerpo se llamó cuerpo negro
absoluto.
Para el cuerpo negro absoluto se tiene
que:
Ésta formula demuestra que el cuerpo
absolutamente negro tiene una capacidad emisora mayor que
la de todos los demás cuerpos. Su capacidad radiante
es una función universal de la frecuencia v y
de la temperatura T. Midiéndola, es posible
determinar experimentalmente la forma de la
función.
Por descontado que no todos los cuerpos que
existen en la naturaleza son absolutamente negros.
Cualquiera que sea la naturaleza de la superficie del
cuerpo, una cierta parte de la energía luminosa que
incide sobre él es reflejada. Sin embargo, la
cavidad cerrada, llena de radiación, que se ha
considerado antes es un cuerpo absolutamente negro. En
efecto, toda la radiación emitida por las paredes de
la cavidad es absorbida por ellas mismas. Si en la cavidad
se practica una pequeña abertura, estudiando la
distribución de la energía luminosa que sale
por ella es posible hallar experimentalmente la
función. El tamaño de la abertura debe ser
suficientemente pequeño para que la perdida de
energía a través de ella no conduzca a una
desviación apreciable respecto del estado de
equilibrio. Con ayuda de un modelo
de cuerpo absolutamente negro de este tipo se
estudió experimentalmente la distribución
espectral de la energía para diferentes
temperaturas.
En la figura 5 se presentan curvas típicas
de esa especie. Se toman como abcisas las longitudes de
onda de la radiación saliente, y en ordenadas, la
densidad de energía de radiación con una longitud de
onda que se encuentra entre y. La densidad de energía de
radiación con una longitud de onda dada está
ligada con por la igualdad
siguiente:
dv =
Teniendo en cuenta que,
,
se tiene que,
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Figura 5 Distribución de energía
radiada por un cuerpo negro. La gráfica representa
la distribución de la energía (línea
roja) radiada por un cuerpo negro para varias longitudes de
onda. Para las longitudes de onda más cortas, la
energía aumenta a medida que aumenta la
temperatura.
Teorema de Kirchhoff
Ley de desplazamiento de Wien

En la figura 5 se observa como la energía de la
radiación de cuerpo negro varía con la temperatura
y la longitud de onda. A medida que se incrementa la temperatura
del cuerpo negro, se observan dos comportamientos distintos. El
primer efecto es que el pico de la distribución se corre
hacia las longitudes de más cortas. Por ello a bajas
temperaturas las longitudes de onda de la radiación
térmica están principalmente en la región
infrarroja del espectro electromagnético, la
radiación no es observada por el ojo (pico en el
infrarrojo). A medida que la temperatura aumenta se percibe un
brillo rojo (pico en la cercanía del infrarrojo con algo
visible en el extremo rojo del espectro). A temperaturas
suficientemente altas, se observa un brillo blanco (pico en el
visible).

Se descubrió que este corrimiento obedecía
la siguiente relación denominada ley de desplazamiento de
Wien* :

dondees
la longitud de onda a la cual la curva tiene su pico y T
es la temperatura absoluta del objeto que emite la
radiación. La longitud de onda en el pico de la curva es
inversamente proporcional a la temperatura absoluta; es decir,
conforme la temperatura aumenta, el pico se desplaza a longitudes
de onda más cortas.

El segundo efecto es que la cantidad total de
energía que el objeto emite aumenta con la
temperatura, lo cual se describe por la ley de
Stefan-Boltzmann, la cual se escribe de la siguiente
forma:
P =
Tendiendo en cuenta que I = P /A es
la intensidad de la radiación sobre la superficie
del objeto y que la emisividad e = 1, para un cuerpo
negro, la ley de Stefan-Boltzmann se puede escribir en la
forma:
dondees la constante de Stefan-Boltzmann cuyo valor
determinado experimentalmente es de .
Como consecuencia de la ley de Stefan-Boltzmann se
demostró que un cuerpo caliente debe irradiar calor
de acuerdo con la siguiente ecuación:
Las temperaturas involucradas son absolutas,
siendo la
temperatura del objeto caliente y la del medio que lo rodea. Para
diferencias de temperatura muy pequeñas la ley de
Stefan-Boltzmann se puede reducir a la ley de enfriamiento
de Newton.
Ley de Stefan-Boltzmann
A continuación se presenta el calculo de la
función espectral.
La radiación electromagnética en una
cavidad cerrada forma un sistema de ondas
estacionarias. Este campo electromagnético puede
substituirse por el correspondiente conjunto de osciladores
equivalentes. La energía del campo
electromagnético es igual a la suma de las
energías de los osciladores. En el caso de la
radiación en una cavidad, y de acuerdo con lo dicho
anteriormente, hay que atribuir al campo una temperatura
igual a la temperatura T de las paredes emisoras. Se
puede decir, en consecuencia, que a cada onda estacionaria
en la cavidad corresponde un oscilador que tiene una
frecuencia v y una energía que depende de la
frecuencia y también de la temperatura
T.
Cada uno de los osciladores que substituyen al
sistema de ondas estacionarias puede encontrarse en
diferentes estados y tener valores
de la energía distintos. Sin embargo, lo que nos interesa no
es la energía instantánea de los osciladores,
sino su energía media ; el promedio se toma aquí
respecto de todos los estados posibles del oscilador. La
energía de las ondas estacionarias, por unidad de
volumen de la cavidad, cuyas frecuencias están
comprendidas entre v y dv, es
numéricamente igual a la energía media de
todos los osciladores que substituyen las oscilaciones
normales y que tienen frecuencias en el mismo intervalo. Si
g(v)dv es el numero de osciladores, lo dicho
puede escribirse en la forma
Teoría clásica de la
radiación negra
Para el caso de ondas electromagnéticas
solamente es necesario tener en cuenta que están
polarizadas y pueden tener dos direcciones de
polarización. Si se tienen en cuenta las dos
direcciones de polarización, es necesario
multiplicar por dos el número de oscilaciones, para
una frecuencia entre v y dv, entonces, se
tiene que:
La fórmula no exigió acudir en su
deducción a ningún concepto de
la teoría cuántica, sino que se obtuvo antes
de que se creara dicha teoría. Para la
energía media de un oscilador se tomo su valor clásico
y la
densidad de radiación de equilibrio a la temperatura
T se escribió en la forma
A esta expresión se le conoce como ley de
Rayleigh-Jeans.
Es del todo evidente que ésta
fórmula carece de sentido. En efecto, dicha formula
prueba que la densidad de energía del campo
electromagnético en una cavidad cerrada es una
función monótona creciente de la frecuencia.
Dado que en la cavidad se pueden presentar oscilaciones de
todas la frecuencias, en particular, la fórmula conduce a una
densidad de energía infinitamente grande
cuando.
El resultado obtenido significa que las fuentes
de radiación encerradas en la cavidad
deberían emitirla hasta que toda la energía
térmica que contienen pasara al campo de
radiación y su temperatura descendiera hasta el cero
absoluto. Así, por ejemplo, si un emisor colocado en
la cavidad es un cuerpo sólido caliente, del
resultado obtenido se deduce que el equilibrio del sistema
emisor-campo electromagnético se establece solamente
después que dicho cuerpo se enfría hasta el
cero absoluto.
Ésta conclusión tiene un simple
significado. Según la ley de distribución
uniforme de la energía todos los grados de libertad
son equivalentes, y en el estado de equilibrio corresponde
la misma energía a cada uno de ellos. La
energía térmica que contiene el emisor
–un cristal formado por N átomos-, puede
considerarse distribuida entre 3N osciladores. El campo
electromagnético en la cavidad se puede asimismo
considerar como conjunto de osciladores. Sin embargo, el
número de éstos es infinitamente mayor que
3N. Los números de onda de las posibles ondas
estacionarias en una cavidad cerrada que tiene forma
cúbica deben satisfacer las condiciones:

donde L es la longitud de la arista del
cubo, y k1, k2, k3 son
números que toman valores enteros desde cero hasta
infinito. Se observa que los valores de k1,
k2, y k3 están limitados por
el numero de partículas N. De esta manera, el
número de ondas electromagnéticas
estacionarias en la cavidad y el correspondiente
número de osciladores del campo
electromagnético es infinitamente mayor que el
número de osciladores que son necesarios para
describir el movimiento térmico en un cristal. En el
estado de equilibrio, toda la energía debe estar
contenida en el campo, puesto que a cada oscilador debe
atribuirse la misma energía.
Este resultado se encuentra en plena
contradicción con los datos
experimentales. Prueba la experiencia que la densidad de
energía térmica contenida en el emisor es
muchísimo mayor que la densidad de energía
del campo electromagnético. Por ejemplo, para
T = 300 K la densidad de energía
térmica para un sólido es 1014
veces mayor que la densidad de energía medida dentro
de la cavidad con radiación. En lo que concierne a
la distribución espectral de la densidad de
energía expresada por la fórmula de
Rayleigh-Jeans, esta se encuentra de acuerdo con la
distribución medida de energía en el espectro
del cuerpo negro para pequeñas frecuencias que
cumplen la condición . Por el contrario, para frecuencias
grandes, cuando es crece con la frecuencia v de manera mucho
más lenta que según la ley
v2.
Así, pues, la ley de distribución
uniforme conduce, al aplicar al problema de la
radiación del cuerpo negro, a una teoría que
discrepa totalmente de los datos experimentales en la
región de las altas frecuencias.
Históricamente fue éste el primer caso bien
estudiado de completa inadecuación de los conceptos
clásicos. La inadmisible contradicción con la
experiencia a que condujo la estadística
clásica llevó a los contemporáneos a
llamar a la situación que así se
producía "catástrofe en el ultravioleta". La
salida a esta contradicción se encontró en el
desarrollo de la teoría cuántica.
Ley de Rayleigh-Jeans y la catástrofe en
el ultravioleta*
La fórmula de Planck

La manera más simple, si bien no la más
evidente desde el punto de vista físico, de obtener la
función distribución espectral teniendo en cuenta la
cuantificación es la siguiente.

Se substituye en la fórmula de Rayleigh-Jeans el
valor de la energía media de un oscilador del campo
calculado según la teoría del oscilador
cuántico. Al hacerlo, se prescinde de la energía
del cero del oscilador , eligiéndola como origen de la
misma.

Entonces

Sustituyendo la energía mediaen la fórmula de
Rayleigh-Jeans, se encuentra la siguiente expresión de la
energía media del campo electromagnético en el
vacío por unidad de volumen y para una frecuencia ente
v y dv:

Ésta fórmula se llama fórmula de
Planck. Ésta fue hallada primero deducida de modo
semiempírico, puesto que se desconocía la formula
para la energía media para un oscilador cuántico.
Por el contrario, la fórmula de la energía media y
la constante de Planck h se hallaron
experimentalmente.

De hecho Planck hizo dos suposiciones radicales
relativas a los osciladores atómicos. La primera que un
oscilador no puede tener cualquier energía sino solo
energías dadas por la fórmula: , que establece que la
energía será cuantizada.

La segunda, que los osciladores no irradian
energía continuamente, sino sólo a saltos o
cuantos. Esos cuantos de energía son emitidos cuando un
oscilador cambia de estado de energía cuantizada a otro.
Así pues, si n cambia en una unidad la
ecuación para la energía hace ver que se irradia
una cantidad de energía, . Todo el tiempo que un oscilador permanece en
uno de sus estados cuantizados, o estacionarios, ni emite ni
absorbe energía.

En los dos casos límite, y , la fórmula de Planck se simplifica. En el
primer caso,

y la fórmula de Planck se reduce a la
forma,

es decir, pasa a ser la fórmula de Rayleigh-Jeans
para la densidad de energía media de la radiación
negra.

Cuando

de modo que,

Ésta última formula se llama ley de
Wien.

Pasando de a la distribución espectral de la densidad de
radiación respecto de la longitud de onda,, se puede escribir como
sigue las fórmulas, de Planck, Rayleigh-Jeans y
Wien.

	Fórmula de Planck
	Fórmula de Rayleigh-Jeans
	Fórmula de Wien

Las curvas de la figura 5 corresponde a
la fórmula de Planck. Para grandes valores de las
longitudes de onda,disminuye al aumentar dicha longitud como , para longitudes de onda
cortas, tiende a
cero como . La
funciónpresenta un máximo para una longitud de ondaque se puede determinar a
partir de la condición:

o bien,

se hace u igual a la magnitud , y se puede escribir la
ecuación como:

La resolución de la ecuación trascendente
da,

Ésta fórmula prueba que la posición
del máximo del la densidad de energía de la
radiación negra se desplaza hacia las longitudes de onda
pequeñas cuando crece la temperatura. Ésta es la
llama ley de desplazamiento de Wien.

CONCLUSIONES
Se pudieron estudiar los modelos
para la transferencia de calor propuestos para cada una de
las tres formas de transferencia. Se estudió la ley de
enfriamiento de Newton, la cual hallada de manera
empírica completamente, permite hallar perdidas por
calor entre un objeto caliente y el medio, cuando la
diferencia en temperaturas es pequeña. El principal
inconveniente de ésta ley proviene del hecho, en que
involucra procesos de transferencia de calor por
conducción, convección y
radiación.
El estudio de la ley de Fourier mostró ser
bastante útil, teniendo en cuenta las propiedades
térmicas de cada material, para modelar la
transferencia de calor por conducción. También
se mostró la conductividad térmica de los
materiales y lo relacionado que están con las
propiedades de éstos y su geometría, conociendo la dificultad que
se puede presentar para determinar la conductividad
térmica.
Posteriormente se estudió la transferencia de
calor por convección, la cual muestra la manera en
como se calientan algunos fluidos, y como se establecen
patrones de corrientes en el fluidos, sean compresibles o no.
La transferencia de calor por convección tiene gran
aplicabilidad en la teoría de fluidos, en aplicaciones
industriales en la rama de la ingeniería mecánica.
Se estudiaron varios modelos del cuerpo negro para
la transferencia de calor por radiación
electromagnética, los cuales mostraron ser
polémicos en cuanto a las concepción y paradigmas, tanto de la física
clásica como la física moderna. Partiendo de
Kirchhoff y su definición para el cuerpo negro, de
donde por medio del análisis termodinámico
clásico convergieron tanto Wilhelm Wien como Lord
Rayleigh y James Jeans. El sustento teórico para la
radiancia de cavidad, o modelo de cuerpo negro, probó
ser inconsistente para modelar los resultados experimentales,
partiendo del supuesto que la energía irradiada por
los osciladores atómico es continua. La ley de
Stefan-Boltzmann, hallada de manera empírica por Josef
Stefan y luego modelada teóricamente por las teorías clásicas de la
termodinámica por Ludwig Boltzmann, no entra en
disparidad con la física clásica, puesto que
muestra la proporcionalidad que existe entre la potencia
total emitida por radiación térmica y la
temperatura del material, relacionándola con la
emisividad (característica del material) y su
geometría. Recordemos que la principal
característica de la radiancia espectral (del cuerpo
negro) es que no depende en ningún momento, ni de la
geometría del cuerpo, ni de las propiedades
absorbentes ni emisoras, de éste.
Por último se mostraron las consideraciones
que se tuvieron que hacer para modelar la radiancia del
cuerpo negro, en términos generales, la
cuantificación de la energía para los
osciladores atómicos, propuesta por Max Planck. La
suposiciones teóricas de Planck, que dieron inicio a
la teoría cuántica, partieron de donde
habían fallado en modelar las teorías
anteriores y los problemas con las longitudes de onda
cercanas al ultravioleta. Fue ahí donde Planck
encontró la solución al problema para hallar la
función de distribución espectral, dando paso a
la conformación de lo que conocemos hoy como
física moderna.
BIBLIOGRAFÍA

V. G. LEVICH, Curso de Física
Teórica Vol. 1 y 2, 2ª Edición, Ed. Reverté, S.A.,
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Andrés Guillermo Menco
Haeckermann

Estudiante de Ing. de Sistemas

Andrés Guillermo Marrugo
Hernández

Estudiante de Ing. Mecatrónica

Luis Miguel Celis Salgado

Estudiante de Ing. Mecatrónica

Jorge Luís Muñiz Olite

Profesor

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE BOLIVAR

FÍSICA ONDULATORIA 2004