- Reseña
histórica - Geometría
- Euclides
- Los Elementos de
Euclides - Reseña
Histórica de la Evolución de las
Geometrías no Euclideanas - Geometría de
Lobatchevsky - El significado Real de la
Geometría de Lobatchevsky - Conclusión
- Anexos
- Bibliografía
La geometría fue, primero, la ciencia de
la medida de las extensiones (geo = tierra;
metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con
los geómetras griegos) fue la extensión de una
línea, recta o curva; de una superficie limitada por
líneas y de un volumen limitado
por superficies. Pero rápidamente la expresión
medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de
"establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos
clases:
- Relaciones de posición que se enuncian por
proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta
D’", " la recta D es tangente al círculo C",
etc. - Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es
triple del segmento AC", "la relación entre la longitud
de la circunferencia y su diámetro es un número
que ninguna fracción puede definir", etc.
Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los
geómetras de la antigüedad pusieron a punto un
método que
se convertiría más adelante en el método
matemático por excelencia: la demostración.
Todo el arte de los
geómetras griegos consistió en reunir un conjunto
importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de
razones – como dijo Descartes– a
algunos principios
primeros. Este "corpus" es la geometría
euclidiana.
Precisamente, el valor
estético de la construcción euclídea y la
trascendencia intelectual de su programa consiste
en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas,
definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez
del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los
geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos
conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos
conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde
aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al
descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.
La geometría de Euclides, la geometría de
Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski,
etc., son unas teorías
deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y
podemos dar de ellas diversas imágenes
que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas
imágenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones,
etc.
- La Geometría no euclídea: Geometría
para la que no es válido el axioma de paralelismo de
Euclides (quinto postulados de Euclides). - La Geometría hiperbólica: Geometría no
euclídea en la cual el postulado de las paralelas se
sustituye por otro según el cual desde un punto exterior
a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las
cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos
clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de
las que no tienen puntos comunes con esa recta. - La Geometría elíptica: Geometría no
euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el
cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar
ninguna recta paralela a ella. - La Geometría proyectiva: Geometría cuyos
objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones
propias, las proyectividades.
Es importante, antes de emprender un estudio de la
geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes
históricos que nos permita tener una visión general
de su desarrollo.
Tanto Proclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la
geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la
medición de áreas, ya que el
río Nílo, al desbordarse, borraba las señales
que limitaban los terrenos de los agricultores. Según
reseña el historiador Herodoto, en tiempos de Ramses II
(1300 A. C.) la tierra del
valle del Nilo se distribuía en terrenos rectangulares
iguales por los cuales se debía pagar un impuesto anual,
pero cuando el río invadía los terrenos, el
agricultor tenía que avisar al rey lo sucedido, enviando
éste a su vez a un supervisor que medía la parte en
que se había reducido el terreno para que pagara sobre lo
que quedaba, en proporción a impuesto que se había
fijado. Precisamente, la palabra Geometría significa
«medición de tierra». Afirma
Herodíto que habiéndose originado la
geometría en Egipto, país después a Grecia.
Hay evidencias
históricas, también, de aplicaciones,
geométricas, algunos miles de años antes de nuestra
era en regiones tales como Mesopotamia,
(comprendida entre los ríos Tígris y Eufrates) y
algunas regiones del centro, sur y este de Asia, en las
cuales se desarrollaron grandes obras de ingeniería en la construcción de
edificios y sistemas de
canalización y drenaje. Los babilonios (Mesopotamia),
habían desarrollado la aritmética a muy buen nivel,
permitiéndoles hacer cálculos astronómicos y
mercantiles. Conocían reglas (2000 – 1600 A. C.) para
calcular el área de triángulos, rectángulos,
trapezoides, volumen de paralelepípedos rectangulares,
volumen de prisma recto, volumen de cilindro circular recto, del
área del círculo (con aproximación 71= 3).
Hay vestigios de que en esa época era también
conocido el teorema de Pitágoras. La geometría
babilónica y egipcia, como podemos apreciar era
eminentemente práctica. Se le utilizaba para resolver una
serie de problemas de
la vida cotidiana y no como una disciplina
especial, metódica. A La matemática
prehelénica se, le veía como una colección
de reglas para hacer cálculos que les
permitía obtener
resultados satisfactorios para las necesidades de la
época. Alcanzaron un gran desarrollo de, la habilidad
operatoria, pero sin que se presentara un sólo caso de
razonamiento deductivo, como se presentó posteriormente en
la etapa griega. Las relaciones matemáticas de los babilonios y egipcios
fueron esencialmente formuladas, mediante el método de
experimentación y error, de manera empírica, de
ahí que muchas de ellas eran definitivamente
erróneas.
Cualquiera que sea la conexión entre las
matemáticas griegas y las de oriente, los griegos
trasformaron la geometría en algo muy diferente del
conjunto de conclusiones empíricas que usaron sus
predecesores. Los griegos, propusieron que los hechos
matemáticos deben ser establecidos por razonamientos
deductivos. Las conclusiones matemáticas deben ser
confirmadas mediante una demostración lógica,
no por experimentación. No se sabe con certeza por
qué los griegos decidieron alrededor de 600 A. C.
abandonar el método empírico de obtener
conocimientos matemáticos y adoptar el de
razonamiento deductivo. Tal vez una de las causas sea su estructura
social, pues los filósofos, artistas y matemáticos
pertenecían a una clase social
privilegiada que desdeñaban los trabajos
manuales y las
ocupaciones prácticas que eran desempeñadas por las
clase más bajas, lo cual permitía a las clases
privilegiadas dedicar tiempo a
pensar, pues por aquel tiempo los griegos eran muy dados a hacer
grandes teorías para explicar el mundo. De hecho no
existen fuentes para
el estudio de la geometría griega antigua, la única
fuente de que se dispone, de tal época, es la obra de
Proclo, conocida con el nombre de sumario de Eudemo, escrita en
el siglo V D. C., y en la cual se esboza de manera muy breve
el desarrollo de la geometría, desde la
antigüedad hasta Euclides. El sumario de Eudemo debe su
nombre a que está basado en una serie de trabajos escritos
por Eudemo, discípulo de Aristóteles. Según lo
relaciona el sumario de Eudemo, la geometría demostrativa
se inicia en 600 a. c. con Tales de Mileto,
comerciante originario de Mileto, en la costa de Asia Menor.
Conocido como uno de los «siete hombres sabios»
de la antigüedad, también se dedico a la
filosofía, matemática, astronomía y política,
frecuentemente se le llama «el padre de la geometría
demostrativa», pues aplicó a sus trabajos los
procedimientos
del razonamiento deductivo. A Tales se le acreditan los
siguientes resultados, geométricos:
- Un diámetro biseca un círculo.
- Los ángulos a la base de un triángulo
isósceles son iguales. - Los ángulos opuestos formados por dos rectas que se
intersecan son iguales. - Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y
dos ángulos iguales. - El ángulo inscrito en un semicírculo es
ángulo recto (los babilonios conocían esto 1400 a
los antes).
El siguiente matemático griego famoso en el sumario de
Eudemo es Pitágoras, nacido aproximadamente en el
año 572 a. c. en la isla de Samos, isla del mar Egeo,
cercano a la ciudad de Mileto. Pitágoras, 50 años
más joven que tales, razón por la cual se cree que
fue discípulo de éste, es famoso no solo por el
teorema que lleva su nombre, sino por sus estudios de
música y
sobre todo por haber fundado en el puerto de Crotona, al sur de
Italia, la famosa
escuela
Pitagórica para el estudio de la filosofía,
la música, la matemática y las ciencias
naturales y a la cual se le atribuye la práctica de
ritos secretos. Parece ser que con el transcurso del tiempo, sus
estudios derivaron también hacia la política, lo
cual, hizo que finalmente se desbandaran. La contribución
de los pitagóricos a la geometría fue, entre otras,
el teorema que demuestra que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es igual a dos ángulos
rectos, al cual se llegó a través de los
conocimientos que obtuvieron de las paralelas; propiedad de
las figuras semejantes, así como una serie de estudios
sobre áreas y volúmenes. Los pitagóricos
proporcionaron a la geometría, sobre todo, un gran avance
en el aspecto del desarrollo deductivo de la matemática.
Muchos de los conocimientos geométricos los plantearon
como una cadena de proposiciones sucesivas basadas en unas
cuantas suposiciones iniciales y unos cuantos axiomas.
Platón (427-347 a. c.), filósofo, fue otro de
los personajes que influyeron en el desarrollo de la
matemática en Grecia, no por sus descubrimientos
matemáticos, sino porque en su escuela era de primordial
importancia que sus alumnos estudiaran geometría, ya
que estaba convencido que la geometría era un campo de
entrenamiento
muy importante para la mente, debido a sus elementos gicos y a la
más pura actitud mental
que crea su estudio. A la entrada de la academia colocó un
letrero que decía: «que nadie entre si no sabe
geometría». Durante el siglo IV a. c., el rey Felipe
de Macedonia emprendió la conquista de Persia, enemigos de
los griegos. Felipe fue muerto y sucedido por Alejandro El Magno.
A la muerte de
Alejandro El Magno, Egipto quedó bajo el mando de Ptolomeo
I, un antiguo general de Alejandro. En ese tiempo, el año
331 a. c., la capital de
Egipto se estableció en Alejandría y Ptolomeo la
concibió como el centro de la gran cultura
griega. Fundó en 300 a. c. la Universidad de
Alejandría a la cual atrajo, pagando muy buenos salarios, a los
más notables artistas, filósofos, historiadores,
poetas, astrónomos, etc., de la época que se
desenvolvían en un, ambiente
físico óptimo: atractivo edificio con grandes
jardines, laboratorio,
salas de lectura,
así como una gran biblioteca con
una colección de más de 600,000 obras. El
matemático más notable en esa universidad fue
Euclides, quién fundó precisamente la escuela de
matemáticas de Alejandría. No se sabe cual es su
fecha de nacimiento y se cree que se educó en la Escuela
Pitagórica de Atenas. Euclides escribió sobre
astronomía, música, óptica
y otras materias, sin embargo, la obra que le dió fama
universal fueron "Los Elementos", trabajo cuya
mayor parte es una colección de los trabajos de sus
predecesores, resumido en 13 libros o
capítulos que incluyen 465 proposiciones, muchas de las
cuales no son de geometría sino de teoría
de números y de álgebra,
escrita como una sola cadena deductiva y que por cientos de
generaciones se ha conservado como un ejemplo de
lógica. El Libro I
contiene los conceptos iniciales, así como los teoremas de
congruencia, líneas paralelas y figuras,
rectilíneas. El Libro II es dedicado al álgebra, el
Libro III, al círculo y el IV a la
construcción de polígonos regulares. El Libro V y VI
contiene la teoría de las proporciones y sus aplicaciones
a la geometría. Los Libros VII, VIII y IX contienen
teoría de números. El Libro X es dedicado a la
teoría de los irracionales y los últimos tres a la
geometrías liba, Ningún tratado ha causado un
impacto tan grande sobre las matemáticas como Los
Elementos, es la obra científica que más se ha
editado, analizado, traducido y estudiado en el mundo. Uno de sus
máximos méritos es la selección
y disposición sistemática de los
teoremas en un orden meticulosamente
lógico, procediendo paso a paso, teorema por
teorema, desde las proposiciones más simples, hasta las
más complejas, estableciéndose como un modelo de
razonamiento, llamado razonamiento deductivo. Es lógico
pensar que no todos los trabajos eran ajenos, Euclides tuvo que
hacer un buen número de demostraciones y perfeccionar
otras para dar a la obra una secuencia tal, que se viera como un
todo. Es lógico pensar que no todos los trabajos eran
ajenos, Euclides tuvo que hacer un buen número de
demostraciones y perfeccionar otras para dar a la obra una
secuencia, que se viera como un todo. Después de Euclides,
el matemático de más renombre fue Arquímedes de Siracusa (287 – 212 a. c.).
Después de estudiar en Alejandría, regresó a
Sicilia lugar donde escribió tres obras sobre
geometría plana: «Medidas de una
circunferencia», «Cuadratura de la
parábola» y «Sobre espirales», que son
ejemplos de rigor en las demostraciones. También
dejó escritos sobre la esfera, el cilindro, conos,
así como estudios sobre mecánica y aritmética. El tercer
matemático de la antigüedad fue Apolonio,
quién nació en el año 262 a. c., en Perga,
al sur de Asia Menor; 25 más joven que Arquímedes,
estudió en Alejandría, donde murió alrededor
del año 200 a. c., Apolonio adquirió
reputación entre sus contemporáneos como «el
más grande geómetra» debido a su
magnífica obra «Secciones cónicas», el
último de los trabajos de la matemática griega
considerada como una obra maestra. Escrita en ocho libros,
contiene el estudio más acabado sobre el tema. La
época de oro de la
matemática griega llega a su fin con la muerte de
Apolonio. Pocas contribuciones geométricas se hicieron
después de estos grandes matemáticos. Herán
(125 d. c.) calculó el área del triángulo en
función
de sus lados.
Menelao (98 d. c.) y Claudio Ptolomeo (168 d. c.)
pusieron las bases de la trigonometría. Ptolomeo aplicó la
trigonometría a la astronomía, su obra
máxima es «Almagesto», una obra que es a la
astronomía lo que Los elementos es a la geometría.
Pappus (s IV) calcula las superficies generadas por una
línea que gira alrededor de un eje situado en un plano y
de volúmenes que se generan cuando se hace girar una
superficie alrededor de un plano. La gran
civilización griega que se había desarrollado en,
Mesopotamia, en Egipto y en Grecia, fue paulatinamente destruida
al ser conquistada por lo romanos, primeramente Grecia en el
año 146 a. c. y finalmente Egipto en el año 30 a.
c. El último aliento de la civilización griega se
extinguió con la conquista de Egipto por los
Árabes, comandados por Omar en el año 640 d. c.
iniciando así la caída del imperio romano y
el inicio de una época conocida como la edad del
oscurantismo de Europa, por su
decadencia de productividad
científica y cultural, que duró hasta el siglo XII
d. c. Desde el año 200 hasta el año 1200 d.
c. los hindúes, influenciados de alguna manera por los
griegos, habían hecho varias contribuciones a la
aritmética y al álgebra. Los árabes, que a
estas alturas habían extendido sus dominios sobre todas
las tierras que bordean el Mediterráneo y sobre el Cercano
Este agrupaban muchas razas unidas por la religión mahometana,
absorbieron los conocimientos griegos e hindúes. Fue muy
importante para la conservación de la cultura
del mundo que los árabes asimilaran y resguardaran
sus conocimientos. Numerosos trabajos hindúes y
griegos referentes a astronomía, medicina y
matemática, fueron diligentemente traducidos a la lengua
árabe y así se salvaron hasta que
posteriormente los escolares Europeos pudieron traducirlos al
latín y a otros idiomas. En el año 1482 se
imprimió la primera versión de la obra de
Euclides. En el año 1533 se tradujo el Libro I de
Comentarios sobre Euclides, de Proclo. En 1572, se tradujo Los
elementos de Euclides del griego, que sirvió como base
para muchas otras traducciones siguientes. Después
del período del renacimiento,
inició el período que corre hasta nuestros
días y que se conoce con el nombre, de era moderna.
Durante esta época y debido a efervescencia que causaron
tantas obras de los grandes geómetras griegos, los
matemáticos de la era moderna descubrieron una gran
cantidad de proposiciones, a partir de las señaladas en
Los elementos, dando lugar este cúmulo de conocimientos a
lo que hoy se conoce como Geometría Moderna.
La geometría es la parte de las matemáticas que
estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano
o en el espacio.
En el ámbito de las matemáticas, se distinguen
varias clases de geometría:
Geometría algorítmica:
Aplicación del álgebra a la geometría
para resolver por medio del cálculo
ciertos problemas de la extensión.
Geometría analítica:
Estudio de figuras que utiliza un sistema de
coordenadas y los métodos
del análisis
matemático.
Geometría del espacio:
Parte de la geometría que considera las figuras cuyos
puntos no están todos en un mismo plano.
Geometría descriptiva:
Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver
los problemas de la geometría del espacio por medio de
operaciones
efectuadas en un plano y representar en él las figuras de
los sólidos.
Geometría plana:
Parte de la geometría que considera las figuras cuyos
puntos están todos en un plano.
Geometría proyectiva:
Rama de la geometría que trata de las proyecciones de
las figuras sobre un plano.
Euclides (en
griego
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ,
Eukleides) es un
matemático griego,
que vivió alrededor del año
300 a.C, ~(325
adC) – (265
adC) Escribió los Elementos, una de las
obras más conocidas de la literatura mundial. En ella
se presenta de manera formal, partiendo únicamente de
cinco
postulados, el estudio de las propiedades
de líneas y planos, círculos y esferas,
triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas
regulares. Los teoremas
que nos enseña Euclides son los que generalmente
aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más
conocidos:
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Retrato de Euclides en una
estampilla
- La suma de los ángulos de cualquier
triángulo es 180°. - En un triángulo rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos,
que es el famoso teorema de Pitágoras.
La geometría de Euclides, además de ser un
poderoso instrumento de
razonamiento deductivo ha sido
extremadamente útil en muchos campos del conocimiento,
por ejemplo en la física,
la astronomía, la química
y diversas
ingenierías. Desde luego es muy
útil en las
matemáticas. Inspirados por la
armonía de la presentación de Euclides, en
el siglo
II se formuló la teoría
ptolemaica del Universo,
según la cual la Tierra
es el centro del Universo, y
los planetas,
la Luna
y el Sol dan
vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea
círculos
y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas
de Euclides constituyen una considerable abstracción de la
realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene
tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que
no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una
superficie no tiene ancho, etcétera. En vista de que el
punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le
asigna una dimensión nula o de cero. Una línea
tiene solamente longitud, por lo que adquiere una
dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por
lo que tiene dimensión dos. Finalmente, un cuerpo
sólido, como un cubo, tiene dimensión tres. De
hecho, en la geometría euclidiana las únicas
dimensiones posibles son las que corresponden a los
números enteros: 0, 1, 2 y 3.
Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante
2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada
de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en
las escuelas secundarias. La primera edición
impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia
en 1482, fue una traducción del árabe al
latín.
Durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I
Soter (323-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de
geometría existentes, encomendó a Euclides escribir
una compilación o refundición completa. El
resultado fue los "Elementos", en trece volúmenes, a los
que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos
a Hipsicles de Alejandría. Se cuenta que Ptolomeo pregunto
a Euclides si no hay una manera más simple de aprender
Geometría que estudiar los "Elementos", a lo que el autor
respondió " No existe un camino real hacia la
Geometría".
Al comienzo de cada uno de los libros que componen los
Elementos, Euclides presenta unas definiciones y unas Nociones
Comunes relativas a los temas desarrollados.
- El libro I de los "Elementos" trata sobre rectas
paralelas, perpendiculares, y las propiedades de los lados y
ángulos de los triángulos. - El II desarrolla el álgebra
geométrica. - El III estudia las propiedades del círculo y
de la circunferencia. - El IV los polígonos inscritos y
circunscritos. - El V la teoría de las proporciones de
Eudoxio. - En el VI aplica dicha teoría a la semejanza de
triángulos y otros problemas. Los libros VII, VIII. IX y
X están dedicados a la aritmética. - El XI estudia la perpendicularidad y el paralelismo
de rectas y planos, ángulos diedros y poliedros,
etc. - El XII aplica el método exhaustivo de Eudoxio
a diversos problemas geométricos, como la equivalencia
de pirámides y la semejanza de conos y
cilindros. - El XIII estudia los poliedros regulares.
La obra de Euclides no es totalmente original, pues
muchos de sus libros están basados en geómetras
anteriores. Sin embargo, sistematizó todos los
conocimientos de su época, ordenó las
enseñanzas a su manera y demostró los teoremas
requeridos por su nueva ordenación lógica, basada
en el método axiomático; todo se deduce a partir de
cinco axiomas y cinco postulados, cuya verdad se considera
evidente.
- Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre
sí. - Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales,
las sumas son iguales. - Si cantidades iguales se restan de cantidades
iguales, las diferencias son iguales. - Dos figuras que coinciden son iguales entre
sí. - El todo es mayor que cualquiera de sus
partes.
- Es posible trazar una línea recta entre dos
puntos cualesquiera. - Todo segmento puede extenderse indefinidamente en
línea recta. - Un círculo puede tener cualquier centro y
cualquier radio. - Todos los ángulos rectos son
iguales. - Si una línea recta corta a otras dos, de tal
manera que la suma de los dos ángulos interiores del
mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se
cortan, al prolongarlas, por ese lado.
Otra forma equivalente, más conocida de expresar
el quinto postulado es: "Por un punto exterior a una recta no
puede trazarse más que una paralela a ella"
Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas
(postulado 5) son:
- Playfair: Por un punto exterior a una recta se
puede trazar una paralela y sólo una. - Proclo: Dos rectas paralelas están
entre si a una distancia finita. - Legendre: Existe un triángulo en el
cual la suma de sus tres ángulos vale dos
rectos. - Saccheri y Laplace: Existen dos
triángulos no congruentes, con los ángulos de uno
respectivamente iguales a los del otro. - Legendre y Lorente: Por un punto cualquiera
interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos
pasa una recta que corta a ambos lados del
ángulo. - Gauss: Si k es un entero cualquiera, siempre
existe un triángulo cuya área es mayor que
k. - Bolilla: Por tres puntos no alineados pasa
siempre una circunferencia. - Entre otros.
Durante mucho tiempo, los geómetras lucharon por
demostrarlo a partir de los otros cuatro y de los cinco axiomas,
sin conseguirlo. A partir del siglo XIX surgieron nuevas
geometrías no euclidianas que niegan este postulado y lo
sustituyen por otros diferentes. Los "Elementos" de Euclides
tuvieron una influencia enorme sobre los matemáticos
árabes y occidentales, prácticamente hasta nuestros
días. También se le atribuyen otras obras como
"Óptica", "Datos" "Sobre las
divisiones" "Fenómenos" (sobre Geometría
esférica) y "Elementos de la Música".
Reseña
Histórica de la Evolución de las Geometrías no
Euclideanas
En 1697 el italiano Giolamo Saccheri abrió un
gran campo de posibilidades para la resolución del
problema sobre el quinto postulado. Se podría decir
que dio el pistoletazo de salida en una carrera con muchos
obstáculos pero con una meta abrumadora. La importancia de
su trabajo radica en la suposición de que el quinto
postulado de Euclides es falso e intentar llegar a una
contradicción.
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FIGURA 1: El Cuadrilátero de
Saccheri
Con la FIGURA 1, Saccheri prueba que el
ángulo 
ADC es igual al ángulo 
BCD. Se
hizo la siguiente pregunta: ¿son ángulos rectos?
Supuso que no:
Hipótesis del
ángulo obtuso: ADC y BCD son
mayores que un recto (es decir, mayores que 90º).
Hipótesis del ángulo agudo: ADC y
BCD son menores que un recto (menores que
90º).
De
la hipótesis 1 y del resto de los axiomas pudo
deducir que ADC y BCD son
ángulos rectos, con lo que se llegó a una
contradicción. De la hipótesis 2 obtuvo muchos
teoremas y propiedades de una geometría no-euclidiana que
se consolidará unos pocos años después, pero
sin saber lo que estaba haciendo realmente. Continuó hasta
llegar al siguiente teorema: "Dado cualquier punto A y una recta
b, con la hipótesis del ángulo agudo existe en el
haz (familia) de
rectas que pasan por A dos rectas p y q que dividen el haz en dos
partes. La primera de ellas consiste en las líneas que
intersecan a b y la segunda la forman las líneas (que
forman un ángulo α) que tienen una
perpendicular comϊn con b en algϊn sitio a
lo largo de b. Las rectas p y q son asintóticas a
b".
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FIGURA 2: Las rectas de Saccheri
De este resultado y una cadena de razonamientos
muy extensa demostró que p y b tendrían una
perpendicular común en su punto común, que
está en el infinito. ¡Otra vez nos encontramos con
el infinito! Saccheri afirmó que este descubrimiento era
totalmente descabellado y, aun sin llegar a una
contradicción, lo rechazó decidiendo que la
hipótesis del ángulo agudo era falsa.
Así,
sólo quedaba suponer que ADC y
BCD son ángulos rectos. Saccheri ya había
demostrado que, en este caso, la suma de los ángulos de
cualquier triángulo es 180º, y esto implica la
veracidad del quinto postulado.
Nuestro
matemático italiano quedó sumamente satisfecho de
su logro, pero Klügel (1739-1812) observó en su
disertación de 1763 que los resultados de Saccheri no
conducían a una contradicción sino a resultados que
parecían estar en contraposición con la
experiencia. Esto motivó a Lambert (1728-1777) a
considerar un cuadrilátero con tres ángulos rectos
y estudiar la posibilidad de que el cuarto fuera agudo u obtuso.
Dedujo que la hipótesis del ángulo obtuso originaba
propiedades como las que se obtenían para figuras sobre
una esfera si se prescindía del absurdo que provocaba con
respecto al quinto postulado, y conjeturó que los teoremas
que se deducían bajo la hipótesis del ángulo
agudo se verificaban en figuras sobre una esfera de radio
imaginario. Este descubrimiento afirmaba que cualquier conjunto
de hipótesis que no conducía a contradicciones nos
ofrecía una geometría posible.
F.
K. Schweikart (1780-1859), influido por los trabajos de Saccheri
y Lambert, hizo una distinción clara entre dos
geometrías: la de Euclides y aquella en la que se
verificaba que la suma de los ángulos de un
triángulo es distinta a 180º. A esta última la
llamó astral porque cabía la posibilidad de que se
cumpliera en el espacio de las estrellas.
F.
A. Taurinus (1794-1874), un sobrino de Schweikart y seguidor de
sus avances en esta materia,
demostró la conjetura de Lambert acerca de la
hipótesis del ángulo agudo. Afirmaba que
únicamente la geometría euclidiana podía ser
verdadera para el espacio físico (incluyendo, por tanto,
el de las estrellas) pero que la geometría astral era
"lógicamente consistente" (en el sentido de que no llevaba
a ninguna contradicción).
Con
la obra de Lambert, Schweikart y Taurinus el mundo
matemático se convenció de que el quinto postulado
de Euclides no se podía demostrar a partir del resto de
los axiomas, es decir, que es independiente. Además, cabe
subrayar que también se demostró que bajo
hipótesis contradictorias se pueden deducir
geometrías tan consistentes como la de Euclides. Llegados
a este punto deberíamos reparar en la problemática
que subyace en todos los descubrimientos de este periodo
determinado de la historia de las
matemáticas. ¿Es posible modelizar el espacio
físico con cualquiera de estas geometrías? La
evidencia de que la geometría euclídea era
perfectamente compatible reinaba en el pensamiento de
la época pero también la consistencia de todas
aquellas geometrías que se originan a partir de
hipótesis contrarias a nuestra protagonista: al axioma de
las paralelas.
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FIGURA 3: Resumen de las hipótesis de las
geo
Que
las geometrías sobre la esfera no respondían a las
propiedades del mundo físico pese a su carácter no contradictorio seguía
siendo una creencia bastante arraigada en el seno de la
Matemática, que todavía era euclidiana. El propio
D'Alembert llamó al problema del axioma de las paralelas
"el escándalo de los elementos de la
Geometría".
La
primera persona que
realmente llegó a comprender este problema fue Gauss
(1777-1855). Comenzó su trabajo con tan solo 15
años y en 1813 todavía no había conseguido
grandes progresos, aunque seguía empeñado en
reducir el axioma de los restantes. Escribió: "En la
teoría de las paralelas ni siquiera ahora estamos mucho
más lejos que Euclides. Ésta es una parte
vergonzosa de las matemáticas…".
En
1813 desarrolló una nueva geometría. La
llamó geometría antieuclídea, más
adelante geometría astral y finalmente la bautizó
geometría no euclídea. En 1817 Gauss se
había convencido de que el quinto postulado era
independiente y estudió las consecuencias que se pudieran
derivar de su geometría, a saber, aquella en la que se
puede trazar más de una línea paralela a una recta
dada y que pasa por un punto exterior a ésta. Llegó
a la conclusión de que era perfectamente aplicable al
espacio físico.
Todavía
es un misterio el hecho de que Gauss no publicara sus
descubrimientos, aunque en una de sus cartas
llegó a decir que se debía a un miedo a ser
malinterpretado. Quienes sí publicaron toda la
construcción de esta nueva geometría fueron
Lobatchevsky (1793-1856) y Janos Bolyai (1802-1860), hijo de W.
F. Bolyai. En el siguiente apartado hablaremos únicamente
de la solución propuesta por Lobatchevsky, puesto que la
de Bolyai es totalmente análoga.
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Nikolai Ivanovich Lobatchevsky estudió en la
Universidad de Kazan. Publicó por primera vez su
teoría sobre el axioma de las paralelas en su obra Sobre
los fundamentos de la geometría en el año
1829-1830, pero no fue plenamente aceptada hasta muchos
años después. Su trabajo, tanto como el de Bolyai,
se ignoró hasta aproximadamente 30 años
después. El tema atrajo la atención gracias a que el nombre de Gauss
proporcionó peso a las ideas cuando se hizo pública
su correspondencia en 1855 después de su muerte. Fue en
1868 cuando Beltrami (1835-1900) obtuvo un modelo real donde se
verificaban parte de las propiedades de la geometría de
Lobatchevsky y la colocó en el mismo lugar que la
euclídea.
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FIGURA 4: Las rectas de
Lobatchevsky
Lobatchevsky, como la mayoría de sus
contemporáneos, intentó deducir el quinto postulado
de Euclides a partir de los restantes axiomas de esta
geometría, al puro estilo de Saccheri.
La
esencia de la solución de este problema la expuso
él mismo en su obra Nuevos elementos de Geometría
(1835): "Es bien sabido que, en geometría, la
teoría de las rectas paralelas ha permanecido hasta ahora
incompleta. Los inútiles esfuerzos realizados desde los
tiempos de Euclides a lo largo de dos mil años me han
inducido a sospechar que los conceptos no contienen la verdad que
queríamos probar, sino que, al igual que otras leyes
físicas, solamente pueden ser verificados mediante
experimentos,
tales como observaciones astronómicas. Convencido por fin
de la verdad de mi conjetura y considerando que este
difícil problema está completamente resuelto,
expuse mis argumentos en 1826".
Comenzó
sus investigaciones
suponiendo que por un punto exterior a una recta no pasa una,
sino al menos dos rectas paralelas a la recta dada y
desarrolló una geometría totalmente concebible que
no lleva a contradicción alguna. Se puede resumir la
solución de Lobatchevsky al problema del quinto postulado
como sigue: "El postulado no puede ser
probado".
Añadiendo a las proposiciones básicas de
la geometría el axioma opuesto se puede desarrollar una
geometría extensa y lógicamente perfecta. La verdad
de los resultados de cualquier geometría
lógicamente concebible debe ser desarrollada no
sólo como un esquema lógico arbitrario, sino como
una teoría que abra nuevos caminos y métodos para
las teorías físicas.
Uno
de los resultados más sorprendentes es el
siguiente:
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FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky
Dada una recta AB y un punto C (ver FIGURA 4) todas las
rectas que pasan por C caen dentro de dos clases respecto a AB, a
saber: la clase de las rectas que cortan a AB y la clase de las
que no lo hacen. A la última pertenecen las dos rectas p y
q que forman la frontera entre
las dos clases. Estas dos líneas fronteras son llamadas
las rectas paralelas. El ángulo
π (a) se llama ángulo de
paralelismo. Las otras rectas que no son paralelas y que pasan
por C y las que no cortan a AB son llamadas rectas que no
intersecan, aunque en el sentido de Euclides éstas son
paralelas a AB y así, en este sentido, la geometría
de Lobatchevsky contiene un número infinito de paralelas
que pasan por C.
También
llegó a establecer la trigonometría no euclidiana,
resolución de triángulos y cálculo de
áreas y volúmenes. Mostró identidades
trigonométricas para triángulos que se
mantenían en su geometría, advirtiendo que a medida
que el triángulo se hacía más pequeño
las identidades tendían hacia las identidades
trigonométricas usuales. Con esto y una cadena de
razonamientos y deducciones verdaderamente sorprendentes no
sólo construyó una geometría plena sino que
redujo a la geometría euclídea a un caso
límite y, por tanto, particular.
Todo
el trabajo de
Lobatchevsky, Bolyai y Gauss y su concepción acerca de
estas nuevas teorías revolucionó los fundamentos de
la Matemática. Aunque fuera lógicamente concebible,
no se podía aplicar al mundo físico, por lo que
esta nueva geometría se vio relegada a puro juego y
deducción matemática sin ninguna
trascendencia ni real ni social.
El significado Real de la
Geometría de Lobatchevsky
En 1868 el italiano Eugenio Beltrami
publicó Ensayo sobre
la interpretación de la Geometría no
euclídea, que proporcionó un modelo para la
geometría no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la
geometría euclídea 3-dimensional.
Fotografía de
Beltrami
Obra
Consideró una curva llamada tractriz (ver FIGURA
5). Una de las propiedades de esta curva es que la longitud del
segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el
punto de corte con el eje OY es constante. El eje OY es una
asíntota. Al girar la curva alrededor de su
asíntota se engendra una superficie llamada seudoesfera,
representada en la parte derecha de la FIGURA 5.
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FIGURA
5: Tractriz y seudoesfera
Beltrami hizo notar que la geometría
intrínseca de la seudoesfera coincide con la
geometría sobre parte del plano de Lobatchevsky. De este
modo, esta geometría no euclidiana tiene un perfecto
significado real: no es más que una exposición
abstracta de la geometría sobre la seudoesfera.
Pero,
como hemos mencionado con anterioridad, Beltrami sólo
estableció una correspondencia entre la seudoesfera y
parte del plano de Lobatchevsky. El problema de dar una
interpretación real a todo el plano y el espacio quedaba
sin solventarse. La solución fue dada más tarde por
el matemático alemán Klein (1849-1925).
Las
ideas más generales del modelo que propuso Klein en 1870
para esta particular geometría son las siguientes: En un
plano usual tomamos el interior de un círculo; un punto se
considera como un punto; una recta, como una cuerda (excluyendo
los extremos); un movimiento se
toma como una transformación que transforma el
círculo en sí mismo y las cuerdas en cuerdas; la
situación de los puntos (un punto está sobre una
recta; un punto está entre otros dos) se considera con el
sentido usual. La regla para medir longitudes y ángulos (y
también áreas) se deduce de la forma en que se
definen los movimientos; la igualdad de
segmentos y ángulos (o de figuras arbitrarias)
también se define, y esta misma definición es
aplicable a la operación de transportar un segmento a lo
largo de otro.
Con
todas estas condiciones, a cada teorema de la geometría de
Lobatchevsky en el plano corresponde un hecho verdadero de la
geometría de Euclides dentro del círculo, y
viceversa: todo hecho de este tipo se puede reinterpretar en
forma de un teorema de la geometría de
Lobatchevsky.
Pero
aún fue más lejos: diseñó un modelo
para el espacio de esta geometría. Análogamente al
caso del plano, consideró una el interior de una esfera
(ver FIGURA 6).
Una
recta se interpreta como una cuerda, un plano como un
círculo cuya circunferencia esté sobre la esfera;
pero la superficie de la esfera, y por tanto los puntos extremos
de las cuerdas y las circunferencias de esos círculos, se
excluyen; finalmente, un movimiento se define como una
transformación de la esfera en sí misma que
transforma cuerdas en cuerdas.
Cuando
se dio este modelo de la geometría de Lobatchevsky se
estableció al mismo tiempo que su geometría tiene
un significado real sencillo. La geometría de Lobatchevsky
es válida porque se puede tomar como exposición
concreta de la geometría en un círculo o en una
esfera. Al mismo tiempo se probó su carácter no
contradictorio: sus resultados no pueden llevar a contradicciones
porque cada uno de ellos se puede trasladar al lenguaje de la
geometría euclidiana ordinaria dentro del círculo
(o una esfera si se trata de la geometría de Lobatchevsky
en el espacio).
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FIGURA 6: La Esfera de
Klein
Riemann (1826-1866) Nació: 17 de Septiembre
1826 en Breselenz, Hannover (Ahora Alemania),
Falleció: 20 de Julio 1866 en Selasca, Italia
escribió su tesis
doctoral bajo la supervisión de Gauss, dio una clase
inaugural en la que reformuló todo el concepto de la
geometría, que el veía como un espacio con la
suficiente estructura
adicional para poder medir
cosas como la longitud. Esta lección no se
publicó hasta 1868, dos años después de la
muerte de Riemann, pero había de tener una profunda
influencia en el desarrollo de las diferentes
geometrías. Riemann trató brevemente una
geometría 'esférica' en la que cada línea
que pasaba por un punto P exterior a una recta AB se cruzaba
con la recta AB. En esta geometría no existían
las paralelas.
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Tal vez su más conocida aportación fue
su geometría no euclidiana, basada en una
axiomática distinta de la propuesta por Euclides, y
expuesta detalladamente en su célebre memoria Sobre
las hipótesis que sirven de fundamento a la
geometría. Esta geometría se sigue si se
considera la superficie de una esfera y se restringen las
figuras a esa superficie. Medio siglo más tarde,
Einstein demostró, en virtud de su modelo de
espacio-tiempo relativista, que la geometría de Riemann
ofrece una representación más exacta del universo
que la de Euclides. Murió de tuberculosis
antes de cumplir los cuarenta años.
Gracias a la
realización de este trabajo pudimos comprender un poco
mejor lo que es la geometría Euclídea; las
repercusiones que ésta tuvo en pensamiento del mundo
antiguo.
Además de conocer las diferencias que existen
entre los distintos tipos de geometría, y de los
pensadores responsables de sus fundaciones, es muy interesante
reconocer y estudiar estas diferencias, ya que nos muestran las
diversas formas de pensamiento de la mente humana.
El estudio formal de la geometría euclidiana y de
las demás geometrías nos permite organizarlas de
forma tal que podemos conocer y entender sus estructuras
conceptuales, facilitando así su estudio
futuro.
El estudio de los Elementos de Euclides es muy
importante ya que es la recopilación de todos sus
pensamientos e ideales, además de contar con todos sus
axiomas, postulados y teoremas, los cuales son de gran utilidad para
entender y poder aplicar su concepto de
geometría.
Estructura conceptual
de la Geometría.
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GAUSS, Carl F. (1777-1855):
Matemático alemán nacido en Brunswick y
fallecido en Gotinga. Gauss fue un niño prodigio en
matemáticas y continuó siéndolo toda su
vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores
matemáticos de la historia junto a Arquímedes y
Newton. Su
inteligencia
superdotada llamó la atención del duque de
Brunswick, quien decidió costearle todos sus estudios,
entrando en 1795 en la universidad de Gotinga. Antes de cumplir
los veinte años hizo algunos descubrimientos importantes,
entre los que se incluye el método de los mínimos
cuadrados. Gauss halló un método para construir un
polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla
y compás, e incluso fue más allá,
demostrando que sólo ciertos polígonos
equiláteros se podían construir con ayuda de regla
y compás. Hizo una labor importante en la Teoría de
Números. También construyó una
geometría no euclídea, basada en axiomas distintos
a los de Euclides, pero se negó a publicarla. Lovachevski
y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento al publicarla
algo más tarde. En 1799 Gauss demostró el teorema
fundamental del álgebra. También demostró
que los números se podían representar mediante
puntos en un plano. El 1801 demostró el teorema
fundamental de la aritmética. Se levantó una
estatua en su honor en su ciudad natal, que descansa sobre un
pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en celebración
de su descubrimiento de la construcción del
polígono de 17 lados. Le llamaban Príncipe de las
Matemáticas.
BOLYAI, Janos (1802-1860): Matemático
húngaro nacido en Kolozsvar y fallecido en
Marosvásárheli, ambas en Hungría. Su padre
había sido gran amigo de Gauss, llegando incluso a
intentar demostrar el quinto axioma de Euclides. En 1825
ponía en práctica los mismos proyectos que
Lovachevski sobre la geometría no euclideana, publicando
en 1831 un apéndice en un libro de su padre sobre
matemáticas. En él explicó su
geometría, que Lovachevski había publicado tres
años antes.
SACCHERI,
Giovanni Girolamo (1667-1733): Nació y murió en
San Remo, Génova (ahora Italia). Se unió a la Orden
de los Jesuitas en
1865. Cinco años después marchó a
Milán, donde estudió filosofía y
teología en el Colegio Jesuita. Allí, Tommaso Ceva
le animó a estudiar matemáticas. En 1694 fue
ordenado sacerdote y se dedicó a enseñar en
colegios jesuitas. Fue catedrático de matemáticas
en Pavia desde 1699 hasta su muerte
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Esquema de la evolución de la
Geometría no Euclidianas
- Dowmns, Moise. Geometría Moderna.
Addison-Wesley Iberoamericana - Wentworth, J., Smith, D. E. Geometría Plana y
del Espacio. Editorial Porrúa - Landaverde, J. Curso de Geometría. Editorial
Progreso. - Thompson, A. Geometría al alcance de todos.
Editorial UTHEA. - Fetisov, A. I. Acerca de la
demostración. Editorial MIR. - Piaget, J., Inhelder, B. and Szeminska, A. The
Child's conception of geometry. Prentice Hall. - http://es.geocities.com/eucliteam/
fecha(13/08/04)
http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Euclides/euclides.htm
fecha(13/08/04)
http://www.terra.es/personal/jftjft/Historia/Biografias/Euclides.htm
fecha(13/08/04)- http://euler.ciens.ucv.ve/matematicos/euclides.html
fecha(13/08/04) - http://www.arrakis.es/~mcj/euclides.htm
fecha(13/08/04) - http://www.xtec.es/~jdomen28/indiceeuclides.htm
fecha(13/08/04) - http://www.oya-es.net/reportajes/euclides.htm
fecha(13/08/04) - http://www.mat.usach.cl/histmat/html/alexandr.html
fecha(13/08/04)
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htm
fecha(13/08/04)- http://mural.uv.es/beaco/tr4.htm
fecha(11/09/04) - http://www.domos.cl/geomatem.htm
fecha(11/09/04) - http://mural.uv.es/beaco/tr2.htm
fecha(11/09/04) - http://mural.uv.es/beaco/tr1.htm
fecha(11/09/04)
Elaborado por:
Carlos A. Albenda Solís.
Jorge Sanabria Hernández
Cartago, Costa Rica.
2004