La transformada de Laplace se
define como:
Siendo f(t) una función
continua para ; s>0;
s>so ; siendo "s" un parámetro real; y
so un valor fijo
de "s".
La integral impropia
se define
como:
y se dice que si el
límite existe también existe la transformada de
Laplace; y decimos que la integral converge.
Se puede representar la
actividad de la transformada de Laplace mediante el siguiente
esquema:
Ejemplo 1:
Obtener la transformada de Laplace de
;para
s>a. Resultado.
Ejemplo
2: Obtener la transformada de Laplace de
f (t)= t.
aplicando
la integración por partes:
L{t} =
Resultado.
Y en general : L{
} =
Ejemplo
3: Obtener la
transformada de Laplace de Sen at.
Paso
1.- ; resolviendo la
integral por partes:
Paso
2.-
Paso
3.-
Paso
4.- ; Integrando por
partes:
Paso
5.- u= Cos at ; du= -a Sen at dt ;
Paso
6.-
Paso
7.-
Paso
8.-
Paso
9.-
Resultado.
Ejemplo
4: Método alternativo para obtener
la transformada de Sen at ;y simultáneamente la
transformada de Cos at :
Paso
1.-
Paso
2.- Sustituir Sen at por
:
Paso
3.- L{}
Paso
4.- Como en el ejemplo 1,se obtuvo
; entonces en
este
caso:
Paso
5.- Utilizando la identidad de
Euler:
y
aplicándola a éste caso:
Paso
6.-
Paso
7.- Aplicando la propiedad de
las igualdades en:
; se
obtiene que
y que
Resultados.
Propiedades de la
transformada de Laplace.
I) Si
f(t), f1 (t) y f2(t) ;poseen
transformadas de Laplace y,C es una constante
entonces:
Paso
1.- L { f(t)+
L f1(t)+ L f2(t) } =
L {f(t)} + L { f1(t)} + L {
f2(t) }
Paso
2.- L { C f(t) } = C
L { f(t) }
II ) Si
F(s) = L { f(t) } , entonces:
L {
} =
Ejemplo: Obtener
Paso
1.- L {} = (-1)
{ }=
Paso
2.-
Paso
3.-
Paso
4.- {
Resultado.
Para s >a , n=0, 1, 2,
3…
Transformada de Laplace
de derivadas.
Obtener la transformada de
Laplace de f ' (t).
resolviendo la
integral por partes:
L {f ' ( t ) } = L { f(t) }
– f(0)
Resultado.
Obtener la transformada de
Laplace de f '' (t) .
Haciendo f ' (t) = g(t) ; f
'' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el
resultado
anteriormente
obtenido de la transformada, para la primera derivada
tenemos:
L { f '
' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} – g(0)
;
s L { g( t ) } = s
L { f ' ( t ) } = s ( – f (0) + s L { f (t) }
)
L { f ' ' (t) } =
s2 L { f (t) } – s f (0) – f ' (0)
Resultado.
Generalizando
tenemos:
L {
} = sn
L { f (t) } –
sn-1 f
(0) – sn-2
f ' (0) – …. – f n-1
(0)
Función Gamma
Obtener la función
gamma de 1: sustituir x=1
Resultado.
Obtener la función
gamma de ( x+1) :
Integrando por partes:
=
Resultado.
Generalizando tenemos que:
Esta
es la propiedad más importante de la función
gamma.
Aplicando la función
gamma obtener la transformada de Laplace de f(t)
=;siendo n
un entero no negativo y, t ;
L {
} =
si sustituimos
tenemos que
L{}=
Resultado.
Teorema de
Traslación del eje s :
Si F(s) = L{f(t)} existe
para s>c , entonces L { } existe para
s>a+c :
La
traslación de S de la
transformada corresponde a la multiplicaciónde la
función original de t por
En forma semejante: L
{ F(s-a)
}= haciendo
S
Aplicando éste
teorema en las transformadas obtenidas
anteriormente:
Como entonces
Como entonces
Como ;
entonces
Así como hay tablas de integrales
para facilitar la solución de problemas de
integración, utilizaremos las tablas de
transformadas.
de Laplace para agilizar la solución de
problemas de ecuaciones
diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema
anterior resolvimos por el método
de coeficientes indeterminados.
A continuación se presentan las transformadas
de Laplace más comunes que utilizaremos, en la
solución de problemas algebraicos y en los problemas de
aplicación.
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
= L {f
(t)}=F(s)
FORMULAS
_____________________|____________________________
;
s>a
; s>0
; s>0
; s>0
; s>0
; s>a
; s>a
;
Traslación del eje
s
32. Ejemplo
Siendo la fórmula
33.
Ejemplo
Siendo la fórmula
En todos los casos a, b, k,
son constantes y además .
34.
35.
36.
37.
38.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
RESOLVER LAS ECUACIONES
UTILIZANDO
LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
Problema 1.- con
las condiciones :
Paso
1.- Se aplica la transformada de Laplace
a toda la ecuación término a término.
Paso
2.-– Sumando los términos
semejantes
Paso
3.- Se factoriza la transformada :
Paso
4.- Se despeja la transformada:
Paso
5.-– Se obtiene la
transformada inversa de Laplace
;
Paso
6.-
;
Paso
7.- Se obtiene el resultado
final:
Resultado
La solución de la
ecuación, puede obtenerse en el Mathematica con
la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4
E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]
Una gráfica de la
solución es:
Problema 2.
Condiciones
iniciales
Paso
1.- Se aplica la transformada de Laplace
a toda la ecuación término a
término.
Paso
2.–
Paso
3.- Se factoriza la ecuación;
Paso
4.- Se despeja la transformada:
Paso
5.- Se obtiene la transformada inversa de
toda la ecuación.
Fórmulas de
fracciones parciales:
Paso
6.- Se encuentra el valor de las
constantes utilizando el método de Fracciones
Parciales.
L
Paso
7.-
Paso
8.- .
Paso
9.- Se aplica la propiedad de las
igualdades factorizando los términos en S, del mismo
exponente:
Una vez factorizado los
términos, se igualan con su correspondiente valor que se
encuentra en el lado derecho de la ecuación :
;
Paso
10.- Una vez obtenidos los valores
de las constantes se procede a sustituir.
Resultado
La solución de la
ecuación se obtiene en el Mathematicacon la
instrucción:
DSolve[{y''[t]-4 y'[t] + 4
y[t] ==t^3 , y[0]==0,y'[t]==0},y[t],t]
Una gráfica de la
solución obtenida es:
Problema 3.-
Paso
1.- Se aplica la transformada a toda la
ecuación:
Paso
2.- Se saca la transformada como factor
común:
Paso
3.- Se despeja la transformada:
Paso
4.- Se obtiene la transformada
inversa:
Paso
5.- Se aplican la fórmulas
correspondientes para obtener los resultados:
Paso
6.-
Paso
7.-
Resultado.
Paso
8.- La ecuación también se
puede resolver en el Mathematica con la instrucción:
DSolve[{y''[t]+10 y'[t]+25 y[t] ==10 E^(-5
t),y[0]==1,y'[0]==5},y[t],t]
Paso
9.- Una gráfica del resultado
obtenido es:
Problema 4.-
Paso
1.- La transformade de toda la
ecuacón es:
Paso
2.- Factor común de la
transformada:
Paso
3.- Se despeja la transformada:
Paso
4.- Se obtiene la transformada
inversa:
Paso
5.-
Resultado.
Paso
6.- La solución de la
ecuación se puede obtener en el Mathematica con la
instrucción:DSolve[{ y''[x]-6y'[x]+9y[x]==x^2 E^(3x),
y[0]==2,y'[0]==6},y[x],x]
Paso
7.- La gráfica del resultado
es
Problema 5.-
Paso
1.- Se aplica la transformada a toda la
ecuación:
Paso
2.- Factorizando la
transformada:
Paso
3.- Despejando la
transformada:
Paso
4.- Obteniendo la transformada
inversa:
Paso
5.- Simplificando la expresión en
una suma de fracciones parciales:
Paso
6.- Resolviendo se tiene:
Paso
7.- Por lo que obteniendo la
transformada inversa de toda la expresión:
Resultado.
Paso
8.- La solución se puede
obtener en el Mathematica con la instrucción:
DSolve[{y''[x]-4y'[x]+4y[x]==4 Cos [2
x],y[0]==0,y'[0]==5},y[x],x]
Paso
9.- La gráfica de la
solución es:
Problema
6.-
Paso
1.- Aplicando la transformada a
toda la ecuación:
Paso
2.- Factorizando la
transformada:
Paso
3.- Despejando la
transformada:
Paso
4.- Obteniendo la transformada
inversa:
Paso
5.- Resolviendo con las
fórmulas:
Resultado.
Paso
6.- La solución se obtiene el
el Mathematica con la instrucción:
DSolve[{ y'' [x]+6 y' [x]+9
y[x]==6 x^2 E^(-3 x),y[0]==1,y' [0]==4},y[x],x]
Paso
7.- La gráfica de la
solución es:
Responsable:
Ing. Arturo García
González
ESTA TEORIA FUE SACADA
DE:
docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/default.htm
Presentada por:
SERGIO DGM
Estudiante de Ingeniería Electromecánica de Argentina