Física – Movimiento

1. Movimiento
   relativo
2. Movimiento de
   Traslación
3. Rotación alrededor de
   un eje fijo
4. Conceptos
   básicos
5. Segunda ley de
   Newton
6. Movimiento
   rectilíneo
7. Movimiento
   curvilíneo

Movimiento
relativo

Movimiento relativo, cambio de
posición respecto de un sistema de
referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de
referencia. No se puede hablar de un sistema de r eferencia
absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que
pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el
movimiento
tiene carácter relativo.

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Reservados todos los derechos.

Ejemplo 1:

Un río fluye hacia el este con velocidad de
c=3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con
velocidad relativa al agua de
v=4 m/s.

• Calcular la velocidad del bote respecto de tierra
  cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y
  cuando se dirige hacia el oeste (río
  arriba).
• Calcular el tiempo que
  tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y
  regresar de nuevo al punto de partida O.

• El tiempo que tarda el barquero en hacer el viaje de
  ida es t1=d/(v+c)

• El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es
  t2=d/(v-c)

El tiempo total es

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Con los datos del
problema t = 800/7 = 114.3 s.

 Ejemplo 2:

Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río
y vuelva al punto de partida.

Un río fluye hacia el este con velocidad de
c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad
de v=4 m/s.

• ¿Cómo debe ser dirigido el bote para
  que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente
  de O?
• Calcular la velocidad V del bote respecto de
  tierra.
• Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse
  d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de
  partida O.

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El vector velocidad V del barco respecto de
tierra debe de apuntar hacia el norte.

El resultado de la suma V = v+c
es 

Vj =
(v·cosθ
i+v·senθ
j)+ci

o bien,

0 =
c+v·cosθ
V =
v·senθ

• El ángulo θ
  se calcula a partir de la primera ecuación
  cosθ=-c/v.
• La velocidad del barco respecto de tierra V se
  calcula a partir de la segunda ecuación, o bien, como el
  cateto V del triángulo rectángulo formado
  por la hipotenusa v y el otro cateto
  c.

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• El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El
  tiempo total de viaje será

Para ver la fórmula seleccione la
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Con los datos del problema,

• La velocidad del bote respecto de tierra es
  de:
• Para ver la
  fórmula seleccione la opción "Descargar" del
  menú superior
• El ángulo que forma la proa del bote con la
  dirección este-oeste es
  θ=138.6º.
• El tiempo total de viaje será
  t=2·37.6=75.6 s

 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm

Movimiento de Traslación

Un cuerpo está en traslación si 
todas las partículas (puntos) que lo componen 
describen la misma trayectoria.  La traslación puede
ser rectilínea o curvilínea. [Fig. 3-1].

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Una característica del movimiento
de traslación es que cualquier recta, considerada como
perteneciente al cuerpo, permanece siempre en la misma
dirección. Esto se puede apreciar en la figura 3-1 donde
la recta AB es paralela a la recta A’B’.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

ECUACIONES

Consideremos dos puntos A y B de un cuerpo en
traslación, [Fig. 3-5]

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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Ejemplo 1:

Dos bloques A y B parten del reposo sobre un plano con
unna inclinación de 300 cuando estan separados
18 m. El coeficiente de friccion para
el bloque A es de 0.20 y para el bloque B es de 0.40. Caslcular
el tiempo transcurrido hasta que los bloques se tocan.
Después de hacerlo y de moverse como uno, ¿ cual
sera la fuerza de
contacto entre ellos?

Figura 1

Solución: En la figura se muestra el DCL de
cada cuerpo. Seleccionar los ejes de referencia como se ven en el
eje X positivo hacia abajo en la direccion del movimiento.
Aplicando ΣY=0 y F=
ƒN, las componentes normal y de friccion de la relacion del
plano son las que se observan. Al aplicar
ΣX = ( W/g )a en cada bloque
obtenemos:

Para A: 0.5WA – 0.173WA =
(WA/g) aA’ aA =
0.327g

Para B: 0.5WB – 0.346WB =
(WB/g) aB’ aB =
0.154g

Asi, la aceleración realtiva con la que A alcanza
a B es a = aA – aB =
0.173m/seg2. Por lo tanto, el tiempo para recorrer la
distancia relativa entre ellos (de 18m) con esta
aceleración constante se encuentra apartir de la
ecuación:

( s = v0t + ½
at2 ) 18 = 0 +
½(0.173)(9.81)t2

de donde:

t2 = 21.21 y, por tanto, t = 4.61
resp.

Una vez, que los bloques se tocan, la aceleración
comun para el sistema es

ΣX = ( W/g )a

0.5WA – 0.173
WA – P = ( 0.327WA +
0.154WB / WA + WB )

apartir de lo cual encontramos

P = 0.173WAWB /
WAWB resp.

Ejemplo 2:

Una varilla ABC gira a 20 rpm alrededor de un eje
vertical que pasa por A y sostiene una bola de 100 Kg. En su
extremos inferior, como se ve en la figura 11-2.3ª. Se
encuentra fija pormedio de una varilla BD. Despreciando los pesos
de las varillas AC y BD, calcular la fuerza F en la varilla BD?
¿La fuerza es de tensión o compresión
¿con cuantas rpm, la fuerza será nula?

FIGURA 2

Solución:

El DCL de la varilla Acse muestra en la figura. La bola
puede considerarse como una particula que se mueve en un circulo
horizontal de radio r = 1.5 sen
300 = 0.75 m. Para eliminar los componentes de la
reaccion de la articulación A, usando la suma de momentos
con respecto a A, se produce un equilibrio
dinamico al aplicar a la bola una fuerza de inercia W/g x
V2/r que actúa radialmente hacia fuera respecto
al centro de su trayectoria.

La magnitud constante de la velocidad de la bola se
calcula a partir de

V = s/t = 2pirn/t V = 2pi(0.75)(20)/60 =
1.56 m/s

Que luego determina la fuerza de inercia
centrifuga

W/g x V2/r =
100(1.56)2/9.81 (0.75) = 34 Kg.

Suponiendo que la fuerza F en BD sea compresiva, actua
sobre AC, como se indica. Entonces la suma de momentos en
equilibrio dinamico alrededor de A nos da

ΣMA = 0
F(cos 30) + 34(1.5 cos 30) – 1000(0.75) = 0

F = +39.5

Como F es positiva, actua en el sentido opuesto y por
tanto BD se halla en compresión.

Para encontrar la velocidad v cuando F = 0 en la
posición dada, tomamos otra suma de momentos alrededor de
A para obtener

ΣMA = 0 W(1.5
sen 30) – (W/g x V2/(0.75)) (1.5 cos 30) =
0

De donde

V2 = 0.75 (9.81) tg 30 = 4.24,
o bien V = 2.06 m/seg

Finalmente, la rapidez rotacional (en rpm)
correspondiente a esta velocidad es

V = 2pirn/t 2.06 = 2pi(0.75)n/60 n = 26.2 rpm
resp.

Mecánica para Ingenieros Dinámica Ferdinand L. Singer

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE
FIJO

Cuando cada partícula del cuerpo se mueve en un
plano perpendicular al eje y describe una circunferencia cuyo
radio es su distancia al eje, el cuerpo está en
rotación alrededor de ese eje [Fig. 3-2].

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Se puede apreciar que todas las
partículas equidistantes del eje describen
idénticas trayectorias; por esto es frecuente tomar
 una lámina representativa en cambio de todo el
cuerpo; así el movimiento se puede considerar como un
movimiento plano que normalmente se denomina rotación
alrededor de un punto fijo (intersección del eje con la
lámina representativa del cuerpo).  Sin embargo no se
debe perder de vista que la rotación es alrededor de un
eje fijo.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

Ecuaciones

Sin perder generalidad supongamos que el eje de
rotación es el eje z.  Sea A un punto del
cuerpo rígido y  su vector de posición, [Fig.
3-6].  Como se sabe, la velocidad de A, es tangente a la
trayectoria y ésta está contenida en un plano
perpendicular al eje de rotación.  El
desplazamiento angular de la recta OA se denota por
 y su velocidad angular por .
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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Ejemplo 1:

El conjunto de poleas de la
figura 13-3.3 pesa 75 Kg. Y tiene un radio de giro centroidal de
0.6 m. Los blkoques que se encuentran unidos al conjunto por
medio de cuerdas enrolladas sobre las poleas. Determinara la
aceleración de cada cuerpo y la tencion en cada
cuerda.

Solución:

Para cualquier sistema conectado, apliquemos el procedimiento ya
antes visto. Así, luego de traza el DCL de cada cuerpo y
determinar la direccion del movimiento, fijamos enseguida las
relaciones cinematicas entre los cuerpos y finalmente aplicamos
la ecuación cinetica apropiada al movimiento de cada
cuerpo.

Los momentos de los pesos respecto al centro de rotacion
O dan un momento no balanceado en el mismo sentido de giro de las
manecillas del reloj. Por tanto, el cuerpo B se mueve asia abajo
mientras A sube. Ahora se pueden trazar las DCL de cada de las
partes del sistema, mostrando la direccion del movimiento de cada
cuerpo tal como se indica en la parte (b). Las aceleraciones
lineales de A y B son expresadas cada una en terminos de
aceleración angular de la polea según at
= ra, o en este caso, por aA = 0.9 y aB =
0.6ª que trazamos como vectores con
una linea punteada junto a cada cuerpo. Sus direcciones tambien
indican el dentido positivo de las sumas de fuerzas y
momentos.

Las ecuaciones
cinéticas para los cuerpos en traslación y para la
polea en rotacion son, respectivamente
ΣX = (W/g) a y
ΣM = Ia. Recordando que el
momento de inercia esta dado por I = (W/g) K2, la
aplicación de estas ecuaciones nos da

Para B: 100 – TB =
(100/g)aB = (100/g )(0.6a) (a)

Para A: TA – 50 = (50/g)aA
= 50/g(0.9a) (b)

Para la polea: 0.6TB – TA =
75/g(0.6)2 a = (28/g)a (c)

Notese que hemos mantenido simbólicamente la
aceleracios gravitacional g, en lugar de usar su equivalente
numerico. Como resultado, las ecuaciones anteriores contienen el
termino comun a/g el cual se obtiene con facilidad al multiplicar
la ecuación (a) por 0.6 y la ecuación (b) por 0.9,
para sumar después la ecuación (a), (b), (c)y
eliminara asi las tensiones. Obtenemos

a/g = 15/103.5

Apartir de lo cual, si empleamos g = 9.81, nos
da

a = 1.4 rad/seg2;
aA = 0.9ª = 1.26 m/seg2;

aB = 0.6ª = 0.84
m/seg2 resp.

Sustituyendo el valor conocido
de a/g en las ecuaciones (a) y (b) encontramos

TA = 56.6 kg y TB =
91.3 resp.

La reaccion en el eje de la polea se
obtiene apartir de la suma vertical

(ΣV = 0) R – 75 –
TA – TB = 0
R = 222.8 kg. resp.

Mecánica para Ingenieros
Dinámica Ferdinand L. Singer

CONCEPTOS BÁSICOS

Peso de un cuerpo. El peso de un cuerpo es la
fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre el cuerpo
por la Tierra y
depende de su posición respecto al centro de la
Tierra.

Masa de un cuerpo. La masa M de un cuerpo es la
cantidad de materia que
contiene y es independiente del lugar donde se encuentre;
también se le conoce como masa inercial ya que representa
la inercia de un cuerpo, es decir la resistencia de un
cuerpo al cambio en su movimiento.

A la razón entre el peso P de un cuerpo y la
constante gravitacional g: se le conoce como masa gravitacional
M. Pero como el peso y la constante gravitacional varían
de acuerdo a su posición con respecto al centro de la
Tierra, no se ha podido demostrar ninguna diferencia entre la
masa gravitacional y la masa inercial, por lo que se
tomarán indistintamente.

Partícula. El término
partícula suele referirse a un objeto cuyo tamaño
se reduce a un punto.

Cuerpo. El termino cuerpo suele referirse a un
sistema de partículas que forman un objeto de
tamaño apreciable. Sin embargo el criterio del
tamaño es relativo, por lo cual los términos cuerpo
y partícula se pueden aplicar al mismo objeto si es que la
masa no se toma en cuenta en el análisis.

SEGUNDA LEY DE
NEWTON

La Segunda ley de Newton se encarga de
cuantificar el concepto de
fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo
es proporcional a la aceleración que adquiere dicho
cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del
cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de
la siguiente manera:

F = m a

Tanto la fuerza como la aceleración son
magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un
valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la
Segunda ley de Newton debe
expresarse como:

F = m a

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional
es el Newton y se representa por N. Un
Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de
un kilogramo de masa para que adquiera una
aceleración de 1 m/s2, o
sea,

1 N = 1 Kg · 1
m/s2

La expresión de la Segunda ley de Newton que
hemos dado es válida para cuerpos cuya masa sea constante.
Si la masa varia, como por ejemplo un cohete que va quemando
combustible, no es válida la relación F = m
· a. Vamos a generalizar la Segunda ley de Newton
para que incluya el caso de sistemas en los
que pueda variar la masa.

Para ello primero vamos a definir una magnitud física nueva. Esta
magnitud física es la cantidad de movimiento que se
representa por la letra p y que se define como el producto de la
masa de un cuerpo por su velocidad, es decir:

p = m · v

La cantidad de movimiento también se conoce como
momento lineal. Es una magnitud vectorial y, en el
Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En
términos de esta nueva magnitud física, la Segunda
ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la
variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho
cuerpo, es decir,

F = dp/dt

De esta forma incluimos también el caso de
cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa
sea constante, recordando la definición de cantidad de
movimiento y que como se deriva un producto tenemos:

F = d(m·v)/dt =
m·dv/dt + dm/dt ·v

Como la masa es constante

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración,
nos queda

F = m a

tal y como habíamos visto
anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la
Segunda ley de Newton usando la cantidad
de movimiento es lo que se conoce como Principio de
conservación de la cantidad de movimiento. Si la
fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de
Newton nos dice que:

0 = dp/dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento
con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de
movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una
constante es cero). Esto es el Principio de
conservación de la cantidad de movimiento: si la
fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de
movimiento del cuerpo permanece constante en el
tiempo.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Problema 1:

Un auto lleva una velocidad de

. Para ver la fórmula seleccione
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en el instante en que aplica los frenos en forma
constante, y recorre 50m hasta llegar al reposo. Determinar: a)
el tiempo empleado en detenerse; b) el coeficiente
cinético de rozamiento entre las llantas y el
asfalto.

. Para ver la fórmula seleccione
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Paso 1. Con los datos
proporcionados, calcular la desaceleración:

. Para ver la fórmula seleccione
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 ; despejando y sustituyendo:

. Para ver la fórmula seleccione
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Paso 2. Con la aceleración
obtenida, se calcula ahora el tiempo que tarda en
detenerse:

. Para ver la fórmula seleccione
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; despejando y sustituyendo valores:

. Para ver la fórmula seleccione
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Paso 3. Para calcular el coeficiente
de rozamiento dinámico, se utiliza la segunda ley de
Newton:

siendo en este caso

. Para ver la fórmula seleccione
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, por ser la única fuerza, la fuerza
de rozamiento, la que se opone al movimiento;
sustituyendo

. Para ver la fórmula seleccione
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se obtiene:

. Para ver la fórmula seleccione
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 ; la fuerza normal N es igual al peso del auto por
estar sobre una superficie horizontal; por lo que
sustituyendo:; quedando:

. Para ver la fórmula seleccione
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; por lo que el valor del coeficiente de rozamiento,
es

. Para ver la fórmula seleccione
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 PROBLEMA 3.3.5. Un camión sube
por una pendiente de con respecto a la horizontal, con una
velocidad constante de . ¿Cuál será la
aceleración del camión al llegar al plano
horizontal de la carretera?

. Para ver el gráfico seleccione
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Paso 1. Como la velocidad se
mantiene constante en el plano inclinado,

 entonces las únicas dos fuerzas que
intervienen son:

 . Para ver la
fórmula seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

estas dos fuerzas son iguales por lo  que la
velocidad se mantiene constante; como se desconoce el coeficiente
de  rozamiento, en lugar de la fuerza de rozamiento
utilizaremos su equivalente que  es la fuerza componente del
peso del camión .

Paso 2. En el instante en que el camión
llega al camino horizontal :

. Para ver la fórmula seleccione
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 ; por lo que la aceleración es:

 . Para ver la
fórmula seleccione la opción "Descargar" del
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Resp.

http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/Dinamica/Capitulo3/3SegNew.HTM

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Problema 1:

Las componentes de la velocidad inicial son

Para ver la fórmula seleccione la
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Las ecuaciones del movimiento del proyectil
son

. Para ver la fórmula seleccione
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Conocida la posición (x, y) del blanco,
tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
t y Eliminando t,
nos queda una única ecuación en tg
  empleando la relación
trigonométrica

. Para ver la fórmula seleccione
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La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones,
por tanto, dos ángulos de disparo dan en el
blanco

Ejemplo 1

El applet nos proporciona los datos de la
posición del blanco y la velocidad de disparo.

• Posición del blanco x=159.7,
  y=151.7 m
• Velocidad de disparo v0=89.9
  m/s

. Para ver la fórmula seleccione
la opción "Descargar" del menú superior

Con los datos proporcionados por el programa la
ecuación de segundo grado la escribimos

13.46 tan2
-159.7 tan +167.16=0

Las soluciones son

tan =9.15,
 =83.8º
tan =1.18, 
=49.8º

Introduciendo estos valores en el control de
edición
titulado ángulo de tiro daremos en el
blanco.

 Ejemplo 2:

La composición de movimientos nos indica que
mientras la bomba cae, se desplaza horizontalmente una distancia
igual al producto de la velocidad del avión por el tiempo
que tarda en caer. Como podemos observar, el avión y la
bomba están siempre en la misma vertical.

¿Cómo cambia el resultado si el blanco se
mueve con velocidad constante en la misma dirección que el
avión?. En la figura tenemos el esquema.

La bomba se suelta en el instante t'.  Las
posiciones del avión xa y del blanco
xb en dicho instante serán
respectivamente,

xa=vat'
xb=x0b+vbt'

A partir de estas relaciones, obtenemos la
posición del avión xa en el
momento en el que tiene que soltar la bomba para que acierte en
el blanco, a partir de los datos de la altura h, 
velocidad del avión va, la
posición inicial del blanco x0b  y
su velocidad vb. 

. Para ver la fórmula seleccione
la opción "Descargar" del menú superior

http://www.terra.es/personal3/iesuribarri/enlaces/ciencias.htm

BIBLIOGRAFIA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/relativo/relativo.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Mecanica para Ingenieros Dinamica Ferdinand L.
Singer

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_1.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_1_2.htm

Mecanica para Ingenieros Dinamica Ferdinand L.
Singer

ttp://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/Dinamica/Capitulo3/3SegNew.HTM

http://www.terra.es/personal3/iesuribarri/enlaces/ciencias.htm

Alejandro Hernandez Manzanarez