Organización

Organización

2. Conceptos
3. Organización del
   sector de la construcción
4. Gráficos y diagramas
   aplicados
5. Investigación
   operativa
6. Programación
   lineal
7. Teoría de los
   grafos
8. Ordenación de
   grafos
9. Programación
   por grafos, generalidades
10. Cálculo de
    tiempos en PERT y CPM
11. Holguras en PERT y
    CPM
12. Cálculo de
    tiempos y holguras en ROY
13. Probabilidad de los
    plazos en PERT
14. Nivelación de
    recursos
15. Relación
    Costo-Tiempo
16. Organización
    general de obras
17. Documentos
    de la organización
18. Seguridad e
    higiene (seguridad y salud laboral)
19. Estudio
    y plan de seguridad
20. Etapas de
    la obra
21. Programación
    general de obras
22. Estudio
    del tiempo
23. Estudio de las
    actividades
24. La
    empresa constructora
25. Control
    general
26. Control
    técnico y programación
27. Control
    económico y financiero
28. Control
    administrativo
29. Formularios de
    control

TEMA I: GENERALIDADES

LECCIÓN PRIMERA

INTRODUCCION.-

1.1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA
ORGANIZACIÓN.

La organización existe desde siempre y
considerada como ciencia desde
finales del siglo pasado y principios del
actual.

XIII (1240) WALTER OF HENLEY

Vigilancia.

Selección
– Adiestramiento:
de los trabajadores.

Rendimiento mínimo: trabajo a desarrollar en un
periodo de tiempo.

Recursos
apropiados.

Estos puntos venían expresados en una carta que un
padre le dejo a su hijo para que cuidara la finca.

XV (1452 – 1519) LEONARDO DA VINCI

Primer testimonio escrito sobre medición del trabajo.

La medición la hizo mediante la
descomposición del trabajo en partes.

XVIII (1760) PERRONET

Aparece por primera vez descrito un ciclo completo de
producción.

Ciclo completo de fabricación de
alfileres.

XIX (1800) FUNDICION DE
BOULTON WAT

Decoración (del centro de trabajo).

Obsequios navideños (como incentivo al
trabajador).

Viviendas (por empresa al
servicio del
trabajador cerca del centro de trabajo).

XIX (1832) CHARLES BABBAGE

División del trabajo en fases.

Bonificaciones, se maneja el concepto de la
incentivación por primera vez. (Actualmente el tope de
incentivación rentable "tiempo/
calidad" es
de 1/3, aunque esta cifra es orientativa. Esta cifra sale de la
demostración de que un trabajador incentivado incrementa
su rendimiento en 1/3 aproximadamente.

Cronometraje, se usan por primera vez aparatos de
medida del tiempo. (A principios del
siglo XX, se grabo por primera vez a un trabajador en su puesto
de trabajo para corregir sus defectos).

Hoy en día esta prohibido.

DURANTE EL SIGLO XIX

Salarios e
incentivos.

Participación de beneficios (ventajas e
inconvenientes: esto no da siempre el resultado
buscado).

XIX – XX (1856 – 1915) FREDERICK WINSLOW
TAYLOR

"Padre de la
organización científica del
trabajo".

Comenzó a estudiar rendimientos y
tiempos.

Distintos métodos de
trabajo.

Estudio de las dimensiones de la pala de carga de
minera y otros materiales.

XX FRANK BUNKER GILBRETH Y LILLIAN
MOLLER

Son contemporáneos de Taylor.

Aportación de criterios psicológicos al
estudio del trabajo.

El estudio del movimiento
lo realizaron descomponiéndolo en movimientos
elementales, ayudándose de filmaciones e incorporando el
cronómetro al campo de visión.

1.2. OBJETIVOS DE UNA ORGANIZACIÓN.-

Podemos analizarlo entorno a la productividad y
al nivel de vida.

Nivel de vida: cambia con el tiempo y es un
índice que mide el grado de bienestar de una empresa,
sociedad,
…

PRODUCTIVIDAD – NIVEL DE VIDA

NIVEL DE VIDA

PRODUCCION

PRODUCTIVIDAD = ——————–

RECURSOS

Al aumentar la productividad
conseguimos ser más competitivos en el mercado con
lo que conseguimos aumentar el nivel de vida.

"Para aumentar la productividad tenemos conseguir
mayor producción con menos recursos".

1.3. PRINCIPIOS BASICOS DE UNA
ORGANIZACIÓN.-

ESTUDIO DEL TIEMPO

METODOS DE TRABAJO.

CONTROL.

DIVISION DE TRABAJO (especialización: cada uno
trabaja en lo que esta más capacitado).

ESTIMULACION (incentivos).

DISMINUCION DE RESPONSABILIDADES (como consecuencia de
la especialización).

LECCIÓN SEGUNDA

CONCEPTOS.-

2.1. DEFINICIÓN DE PLANIFICACIÓN, ORGANIZACIÓN,
PROGRAMACIÓN, EJECUCIÓN, CONTROL Y
GESTIÓN
DE OBRAS.

Planificación: "Es el hecho de hacer el
plan o
proyecto de
una acción".

Planificar es el conjunto de organización,
planificación, ejecución y gestión.

Organización: "Es la acción de
establecer o reformar una cosa, sujetando a reglas el
número, orden, armonía y dependencia de las partes
que la componen o han de componerla".

Programación: "Es la acción de
coordinar en el tiempo y en el espacio las distintas partes que
intervienen y son necesarias para la realización de la
obra, fijando la interdependencia entre ellos".

Ejecución: "La acción de poner por
obra una cosa".

Es la acción de materializar lo que estamos
programando.

Control: "Inspección,
fiscalización, intervención".

Gestión: "Es la acción y efecto de
administrar".

2.2. TIPOS DE
ORGANIZACIÓN.

Todas las empresas tienen
un organigrama de
funcionamiento distinto, hay tantos tipos de
organización como empresas.

ORGANIZACIÓN REGLAMENTARIA

Reglamentos rígidos y preestablecidos. Es una
organización que obedece a unos reglamentos rígidos
establecidos de antemano de forma que esos reglamentos
condicionan la forma de actuación. Tiene una ventaja
importante que es la de dar la misma respuesta ante problemas
iguales planteados en sitios distintos. Su inconveniente es que
es un tipo de organización lento, torpe, difícil de
adaptarse a situaciones nuevas, etc. Ejemplo: el
Estado.

ORGANIZACIÓN LINEAL

Línea perfectamente establecida y clara en la
transmisión de ordenes, actuaciones, obligaciones y
responsabilidades. Ventajas: la rapidez, las ordenes se ejecutan
con muchas celeridad. Inconvenientes: en los altos mandos de esa
línea va a haber personas con un alto grado de responsabilidad de forma individual, teniendo que
ser muy especializadas. Ejemplo: el ejercito.

Dentro de la obra la organización es
lineal.

ORGANIZACIÓN FUNCIONAL

Aparición de asesores o consejeros. Es una
organización similar a la lineal pero para adaptarse a
situaciones no tan graves ni tan límites.
La modifica buscando grupos de
asesoramiento en los altos cargos. La empresa
constructora va a tener algo de los tres tipos de
organización, variando las proporciones de un tipo o de
otro.

2.3. VENTAJAS Y PROBLEMAS QUE
PRESENTA UNA ORGANIZACIÓN DE OBRAS.

VENTAJAS:

Económicas, temporales, de orden,
….

PROBLEMAS:

Unidad de producción: Cada unidad es
diferente. La unidad a producir es siempre distinta, no hay dos
obras iguales.

Emplazamiento: Diferente. No se hacen dos obras en el
mismo sitio.

Consideraciones climáticas: Trabajo
intemperie.

Formación del personal: Personal con
escasa cualificación profesional.

Proyecto: Incompleto y sujeto a continuos
cambios. El proyecto no suele
tener un nivel de definición suficiente a la hora de
comenzar la obra y se encuentra sujeto a continuos
cambios.

Conclusión

LECCIÓN TERCERA

ORGANIZACIÓN DEL SECTOR DE LA
CONSTRUCCIÓN.-

3.1. AGENTES QUE INTERVIENEN EN LA CONSTRUCCIÓN.

Promotor: Concibe, pone en marcha todo el
proceso. Es la
persona o
empresa que
tiene una necesidad constructiva y tiene capacidad
económica para realizarla.

Proyectista: Técnico competente, resuelve
aspectos técnicos y de diseño.

Contratista: Contrata la ejecución de la
obra.

Constructor: Ejecución material del
proyecto.

Dirección facultativa: Asesores
técnicos.

Arquitecto/s + Aparejador/es (en el caso de
edificación).

Normalmente el contratista y el constructor son la misma
persona.

En el año 1986 salió un decreto que
obligaba a realizar un estudio de seguridad en
obras cuyo presupuesto fuese
igual o superior a los cien millones de pesetas. En el año
1990 otro decreto definía la competencia de
este estudio de seguridad
asignándosela a un aparejador o a un arquitecto
técnico y dicho técnico se añadirá a
la dirección facultativa de la obra con
competencia es la
seguridad de la obra y capacidad para la paralización de
la obra.

Un individuo que posea las dos titulaciones de
arquitecto y aparejador o arquitecto técnico no
podrá ejercer la dirección facultativa de ambas titulaciones
en la misma obra.

El arquitecto puede ser promotor, proyectista, director
de obra, contratista y constructor de la misma obra mientras el
aparejador puede ser todo menos proyectista (aunque puede
realizar proyectos de
reforma siempre y cuando no toque elementos
estructurales).

ORGANIGRAMA GENERAL

 Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior

 POSIBLE ORGANIGRAMA ,
OBRAS OFICIALES

  Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

3.2. INTERVENCIÓN DEL ARQUITECTO
TÉCNICO EN EL PROCESO
CONSTRUCTIVO.

Promotor

Proyectista: "puede actuar como colaborador en la
realización del proyecto pero nunca firmándolo o
desarrollándolo por solitario, aunque puede desarrollar
proyectos en
los que no halla que modificar ni tocar elementos
estructurales".

Dirección facultativa

Contratista

Constructor

3.3. CARACTERÍSTICAS DEL SECTOR.

LECCIÓN CUARTA

GRÁFICOS
Y DIAGRAMAS
APLICADOS.-

4.1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE GRÁFICOS.

Es un gran medio de comunicación, basado en el poder y
rapidez de captación del ojo.

Es conveniente utilizar un método
gráfico que sea capaz de transmitir una gran información, en lugar de darlo todo por
escrito ya que es más engorroso.

Condiciones para que cumpla lo mejor posible su función de
instrumento de información:

4.1.1. INFORMACION debe ser de
clasificarse, relacionarse, …

Se debe de poder
representar gráficamente.

4.1.2. CENTRAR LA ATENCIÓN en la
información a trasmitir.

4.1.3. CLARIDAD Y SENCILLEZ sin acumular
información.

4.1.4. COMBINACIÓN DE
GRÁFICOS cuidadosa para no deformar o falsear la
información.

4.1.5. LEYENDA mínima, necesaria,
clara y simple.

4.1.6. ILUSTRATIVO del texto a que
acompaña.

4.1.7. ADECUADO elección apropiada
del gráfico.

4.2. GRÁFICOS SIMPLES.

4.2.1. ORGANIGRAMA

  Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

El organigrama relaciona elementos de un conjunto como
puede ser la estructura de
organización de una
empresa.

Siempre puede establecer una gerarquización
cuando se emplea en una estructura
empresarial.

4.2.2. PLANES DE
CLASIFICACIÓN

GRÁFICOS

  Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

SIMPLES ESPECIALES ESPECIFICOS

  Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

Los planes de clasificación sirven para
establecer la clasificación de un conjunto.

4.2.3. GRÁFICO SAGITAL

  Para ver el
gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior

Los gráficos sagitales relacionan elementos de
dos conjuntos.

4.2.4. HISTOGRAMA

 Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior

El histograma es un gráfico de coordenadas
cartesianas y la relación que existe entre los elementos
de los dos conjuntos
viene dada por el área del rectángulo.

4.2.5. CUADRO DE DOBLE ENTRADA

El cuadro de doble entrada es una matriz que
define un conjunto por filas y otro por columnas.

4.2.6. GRÁFICOS LINEALES

En gráficas lineales se establece la
relación entre los elementos de ascisas con las ordenadas
por la longitud de la barra.

4.2.7. GRÁFICAS DE SUPERFICIE

Las gráficas de superficie son aquellas en las
que la superficie o área en cuestión representa la
totalidad del conjunto y luego esta la dividimos en los
porcentajes correspondientes a cada fracción. Es
aconsejable indicar el porcentaje que le pertenece a cada
fracción.

TIPOLOGIA :

4.2.7.1. RECTANGULAR un rectángulo
representa el conjunto y se divide a este en
porcentaje.

4.2.7.2. SEMICIRCULAR el área del
semicírculo representa el 100 % del conjunto y se divide
en porcentajes.

4.2.7.3. CIRCULAR el área del circulo
representa el 100 % del conjunto y se divide en
porcentajes.

4.2.8. GRÁFICAS DE VOLUMEN

   Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

  En gráficas de volumen su
relación viene dada por el volumen de la
figura geométrica.

4.2.9. SERIES TEMPORALES

En las series temporales una de las variables
evoluciona o varía en función
del tiempo, pueden ser o no representados en ejes
cartesianos.

4.3. GRÁFICAS ESPECIALES.

4.3.1. GRÁFICAS LOGARÍTMICAS /
SEMILOGARÍTMICAS

Las gráficas logarítmicas /
semilogarítmicas son gráficos cartesianos que
relacionan elementos de dos conjuntos a través de sus
ejes, los dos conjuntos crecen de forma exponencial y se
representan sobre los ejes en la escala
logarítmica de los números naturales.

Cuanto mayor es un número menor es su logaritmo
por lo tanto podemos representar números muy
altos.

Los gráficos semilogarítmicos utilizan
en un eje una escala normal y
sobre el otro eje la serie logarítmica de los
números naturales.

4.3.2. GRÁFICOS
MULTIDIMENSIONALES

El gráfico multidimensional es un
gráfico que es capaz de relacionar muchas variables de
un mismo conjunto, son interesantes hasta dieciséis
variables.

4.3.3. GRÁFICO POLAR

El gráfico polar es un gráfico en el que
mediante la distancia al centro y el ángulo que forma a
un radio fijo nos
relaciona los dos conjuntos, es similar al de las series
temporales.

Se emplean cuando las variables evolucionan a
través del tiempo de una forma acumulable al
origen.

 Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior

4.3.4. SOCIOGRAMA

El sociograma es un cuadro de doble entrada con una
aplicación muy especifica.

En las filas se representan aspectos o características sociológicas y en
las columnas se representa la escala de valores o
baremo.

NIVEL ÓPTIMO *

NIVEL CANDIDATO 1 *

NIVEL CANDIDATO 2 *

NIVEL CANDIDATO 3 *

4.4. GRÁFICOS ESPECIFICOS EN CONSTRUCCIÓN.

En construcción se pueden emplear todos los
gráficos expuestos en los apartados anteriores aunque
los de este apartado 4.4. son más
específicos.

4.4.1. DIAGRAMA DE
GANTT

Es un diagrama de
tipo lineal en el que las barras se dibujan en horizontal
indicándose las actividades de un proyecto, los tiempos de
comienzo de cada uno de ellos y su duración.

No es ningún método de
programación, solo transmite la
información que con otros métodos
hemos realizado.

El diagrama de Gantt sirve para llevar un control temporal
de la obra.

Para ver el gráfico seleccione la
opción ¨Bajar trabajo¨ del menú
superior

4.4.2. DIAGRAMA DE ETAPAS

Es una variante del diagrama de Gantt, en este diagrama
de etapas para cada actividad se indican varias barras
correspondientes a las etapas en que se haya dividido la
actividad o la obra, se usa poco ya que es difícil dividir
la obra en etapas claramente diferenciadas.

4.4.3. DIAGRAMA DE ESCALONES

Es un diagrama en el que existen dos dimensiones,
indicando en horizontal el tiempo y en vertical los costos de cada
una de las actividades.

Habitualmente se dibuja de abajo a arriba para trabajar
con la zona positiva del eje Y.

Forma de medir el tiempo:

1. Tiempo aritmético:

1.1. Día: 1º, 2º, …

1.2. Semana: 1ª, 2ª, … 1 semana
® 5
días.

2. Tiempo calendario:

2.1 Días: día del calendario (18 de
Marzo).

2.2. Semana: máximo de 5 días (dura menos
si hay fiestas).

2.3. Meses

LECCIÓN QUINTA

INVESTIGACIÓN
OPERATIVA.-

5.1. INTRODUCCIÓN.

Nace y se desarrolla en el contexto militar (Segunda Guerra
Mundial), y luego pasa a aplicarse en la industria.
Tiene gran aplicación en política, medicina,
cualquier rama de las ciencias,
etc.

La investigación operativa consiste
fundamentalmente en la aplicación de métodos y
técnicas matemáticas a la hora de tomar
decisiones, podrá resolver cualquier problema cuyos
objetivos y
condicionantes puedan traducirse a expresiones matemáticas.

Antes de la investigación operativa la
decisión se tomaba de forma intuitiva y por una sola
persona, ahora también se toma individualmente pero hay
asesoramiento por equipos multidisciplinares para tomar la
decisión.

5.2. MODELOS
MATEMÁTICOS DE LA INVESTIGACIÓN
OPERATIVA.

La investigación operativa utiliza tres modelos:

5.2.1. Determinísticos: Parten de
datos
establecidos y fijados de antemano y en consecuencia nos
conducen a resultados ciertos.

5.2.2. Probabilísticos: Parten de
datos
estadísticos y nos conducen a resultados
probables.

5.2.3. Simulación: Reproducen o simulan
mediante maquetas, programas de
ordenador, etc. el objeto a estudiar y al someterlo a las
acciones a
las que va a estar expuesto vemos cuales son sus respuestas y
en función de esto modificamos aquello.

La simulación se puede determinar de forma
física o
matemáticamente.

5.3. CAMPOS DE ACTUACIÓN DE LA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA.

Desde el punto de vista que nos interesa
actúa en dos frentes:

5.3.1. Proyecto:

5.3.1.1. Diseño del proyecto.

5.3.1.2. Vida probable de los componentes.

5.3.1.3. Normalización o estandarización de
elementos.

5.3.2. Producción:

5.3.2.1. Productos a
fabricar, tipos y cantidad.

5.3.2.2. Planificación y
programación.

5.3.2.3. Disposición en planta.

5.3.2.4. Mantenimiento.

5.4. MÉTODOS UTILIZADOS EN LA
ORGANIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN DE
OBRAS.

5.4.1. PROGRAMACIÓN
MATEMÁTICA:

5.4.1.1. Programación lineal:

5.4.1.1.1. Gráfico.

5.4.1.1.2. Matricial.

5.4.1.1.3. Simplex.

5.4.1.2. Problema de
asignación.

5.4.1.3. Problema del transporte.

5.4.1.4. Programación no
lineal.

5.4.1.5. Otras programaciones.

5.4.2. TEORÍA DE LOS GRAFOS:

5.4.2.1. CPM.

5.4.2.2. PERT.

5.4.2.3. PERT – CPM / COSTOS.

5.4.2.4. ROY.

LECCIÓN SEXTA

PROGRAMACIÓN LINEAL.-

6.1. PROGRAMACIÓN LINEAL.

Es una parte de la investigación operativa que la
podremos aplicar cuando el problema que tratamos se puede
traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que
las limitaciones o restricciones que tenga el sistema
productivo se pueda también traducir en expresiones
matemáticas de tipo lineal.

Un problema de programación lineal tendrá
la siguiente forma:

Función Objetivo: Es una expresión
matemática
lineal que representa el objetivo del
problema. Es la expresión que tendremos que maximizar o
minimizar.

Función Objetivo:

(Max. ó Min.) Z = c1x1 +
c2x2 + … +
cnxn

Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción:
Expresiones matemáticas, ecuaciones o
inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del
problema.

a11x1 +
a12x2 + … +
a1nxn £ b1

a21x1 +
a22x2 + … +
a2nxn ³ b2

a31x1 +
a32x2 + … +
a3nxn £ b3

………………………………

am1x1 +
am2x2 + … +
amnxn = bm

Aunque el problema no lo diga llevara las
restricciones:

x1³ 0; x2 ³ 0; … ;
xn ³
0

Las variables no tomaran valores
negativos.

Conceptos propios de la programación
Lineal:

Solución Posible: Es cualquier conjunto de
valores de la variable que satisface el sistema de
ecuaciones de
la restricción.

Solución Posible Básica: Es aquella
solución posible en la que ninguna variable toma valores
negativos.

Solución Básica Posible Degenerada:
Solución básica posible en la que al menos una
variable toma el valor
cero.

Solución Óptima: Es aquella
solución básica posible que optimiza a la
función objetivo.

6.2. MÉTODO GRÁFICO.

Solo resuelve problemas de dos variables.

El punto A maximiza la función objetivo y el
punto B la minimiza.

Para ver el gráfico
seleccione la opción "Descargar" del menú
superior

El método gráfico va a utilizar el plano y
un sistema de ejes cartesianos sobre el que se representan cada
una de las ecuaciones de restricción. Para ello llevaremos
cada inecuación al caso límite de ser una igualdad,
cualquier punto de esa recta satisface a esa ecuación.
Como sabemos a que punto de la recta satisfacer si para
³ ó
£ , para ello
comprobamos con un punto conocido el (0,0) y si satisface
para £ los
puntos estarán de la recta hacia el origen y hacemos lo
mismo con todas las restricciones quedándonos un
polígono de manera que cualquier punto de ese
polígono cumple todas las restricciones y además es
básica.

Cualquier punto que este fuera del polígono no
puede ser solución del problema ya que incumple alguna
restricción o todas.

Ahora vamos a ver cual es la solución
óptima, ningún punto del polígono interior
puede ser la solución óptima ya que siempre
encontraremos otro que maximice o minimice mas la función.
La solución óptima del problema se obtiene de las
líneas perimetrales del polígono, pero existe
siempre otro punto que maximice o minimice más la
función, por lo tanto la solución óptima del
problema se tiene que encontrar en un vértice.

Para obtener cual es el vértice que de la
solución óptima igualaremos a cero la
función objetivo y se le hace pasar por el origen,
trazando una paralela a la recta así obtenida y
llevándola hasta el último vértice ese es el
punto que optimiza la función y el punto más
cercano es el que minimiza la función.

Casos Particulares:

En este primer caso la solución óptima
serán todos los puntos comprendidos entre A y B,
pertenecientes a la recta r.

Aunque nos quedaríamos con A ó B para
maximizar y con el (0,0) para minimizar la función
objetivo.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

 En este caso en el que no nos cierra el
polígono, solo consideramos los vértices A, B, y C
y nos quedaríamos con el último por el que pase la
recta que se forma con la función objetivo para maximizar
y el primero para minimizar.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

En este próximo caso particular el punto (0,0)
minimiza la función y como esto no es lógico nos
indica que falta alguna restricción.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

No existe polígono de posibles soluciones
luego el problema no tiene solución.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

6.3. PREPARACIÓN PARA LOS METODOS MATRICIAL Y
SIMPLEX.

Este método no tiene limitación en cuanto
al número de variables. Hace lo mismo que el método
gráfico pero en Rn.

La forma del problema sería la
siguiente:

Función objetivo:

(Max. ó Min.) Z = c1x1 +
c2x2 + … +
cnxn

Restricciones:

a11x1 +
a12x2 + … +
a1nxn £ b1

a21x1 +
a22x2 + … +
a2nxn ³ b2

a31x1 +
a32x2 + … +
a3nxn £ b3

………………………………

am1x1 +
am2x2 + … +
amnxn = bm

Procedimiento:

Primer paso variables de holgura, son variables
ficticias que se introducen en las restricciones para convertirlo
en un sistema de ecuaciones. Pasan a la función objetivo
con coeficiente cero.

(Max. ó Min.) Z = c1x1 +
c2x2 + … +
cnxn + 0xn+1 + 0xn+2
+ … + 0xn+m

a11x1 +
a12x2 + … +
a1nxn + xn+1 =
b1

a21x1 +
a22x2 + … +
a2nxn – xn+2 =
b2

a31x1 +
a32x2 + … +
a3nxn – xn+3 =
b3

………………………………

am1x1 +
am2x2 + … +
amnxn + xn+m =
bm

Segundo paso variables de penalización,
son variables ficticias que se introducen en el sistema de
ecuaciones de restricción en todas aquellas ecuaciones en
las que no exista una variable única (que este en esa
ecuación y no en ninguna otra) y que además tenga
el mismo signo que el termino independiente.

Las variables de penalización pasan a la
función objetivo con coeficiente – M si se trata de
maximizar y con + M en el caso de que se este minimizando, siendo
M un valor que
tiende a infinito pero sin llegar a serlo.

(Max. ó Min.) Z = c1x1 +
c2x2 + … +
cnxn + 0xn+1 + … +
0xn+m ± Mxn+m+1 ± …
± M x
n+2m

a11x1 +
a12x2 + … +
a1nxn + xn+1 + xn+m+1
= b1 xn+m+1 = 0

a21x1 +
a22x2 + … +
a2nxn – xn+2 + xn+m+2
= b2 en nuestro caso

a31x1 +
a32x2 + … +
a3nxn – xn+3 + xn+m+3
= b3

………………………………

am1x1 +
am2x2 + … +
amnxn + xn+m + x n+2m
= bm xn+m = 0

en nuestro caso

6.4. PROBLEMA DE ASIGNACIÓN.

Es un problema de programación lineal que tiene
una manera especial de resolverse.

Consiste en buscar la relación entre dos
conjuntos de forma que el rendimiento de dicha relación
sea el optimo posible.

En nuestro caso uno de los conjuntos serán
personas y el otro de los conjuntos serán puestos de
trabajo, maquinas, etc. y habremos de buscar la asignación
en la que cada persona de el rendimiento optimo.

x (x1, x2, …,
xn) 1er conjunto

y (y1, y2, …,
yn) 2º conjunto

El método de asignación se basa en
establecer una asignación de tipo biyectivo o biunivoco
entre ambos conjuntos.

aij es el rendimiento que cada uno de los
elementos del 1er conjunto tiene con cada uno
de los elementos del 2º conjunto y vamos a formar una
matriz de
rendimientos.

y1 y2 y3 …
y1n a11 ® rendimiento que obtiene el
1er elemento

x1 a11 a12
a13 … a1n del 1er
conjunto al relacionarse con el 1er

x2 a21 a22
a23 … a2n elemento del 2º
conjunto

x3 a31 a32
a33 … a3n

……………………….

Xn an1 an2
an3 … ann

 La relación que buscamos lo que hará
será maximizar o minimizar la
asignación.

En el segundo conjunto no tiene porque ser igual que el
primero ya que podemos tener más candidatos que puestos y
en eses caso creamos un puesto de trabajo ficticio (para que la
matriz siga siendo cuadrada) y asignar un rendimiento igual y
constante para todas las personas en ese puesto de trabajo y el
más desfavorable posible.

y1 y2 y3 …
y1n yn+1

x1 a11 a12
a13 … a1n 0

x2 a21 a22
a23 … a2n 0

x3 a31 a32
a33 … a3n 0

…………………………………………..

xn an1 an2
an3 … ann0

xn+1 a(n+1)1 a(n+1)2
a(n+1)3 … a(n+1)n0

  yn+1 ® no existe en realidad, es ficticio y
representa el stock. La columna yn+1 = 0 si se esta
maximizando en el caso de estar minimizando se le pone a todos
los elementos de la columna yn+1 el mismo valor pero
ligeramente superior al mayor valor que haya en la matriz de
rendimientos.

Teorema fundamental de la
asignación: Si a todos los elementos de una fila o
de una columna de una matriz de rendimientos se le suma o se le
resta una cantidad constante la asignación optima no
varia.

Algoritmo Húngaro: (Anexo II del
librillo de practicas), el algoritmo
Húngaro esta destinado para minimizar si tenemos que
maximizar tendremos previamente que darle la vuelta a la matriz
restándole el mayor elemento de toda la matriz a cada uno
de los elementos de la misma de manera que el elemento que era
más pequeño pasara a ser el más grande y a
la inversa.

El Algoritmo
Húngaro se debe a D. König y E. E
Egervóry.

Cuando hay que pasar de maximizar a minimizar en lugar
de operar con el mayor de toda la matriz podemos ir tomando el
mayor de cada fila o columna e ir restándole todos los
elementos de esa fila o columna con lo cual conseguiremos de
camino obtener por lo menos un cero como mínimo en cada
fila o columna. Si en alguna columna no hubiera ceros le quitamos
el mayor a la columna.

6.5. PROBLEMA DEL TRANSPORTE

Es un problema similar al de la asignación con la
diferencia de que no se asignan elementos de un conjunto a otro
sino cantidades de producto que
normalmente vienen representadas por costos de
transporte.

A diferencia del problema de asignación la matriz
no tiene por que ser cuadrada, pueden existir mas destinos que
orígenes, también pueden no coincidir las
cantidades que se fabrican o almacenan con los pedidos que se
reciben pudiendo estos ser menores o iguales, en ese caso
deberá crearse un mercado ficticio
que absorba esa producción en exceso.

En la matriz de rendimientos los elementos
aij indicaran en este caso los costos o
relación directa, nos aparecerán unos elementos
Cj que indicaran las cantidades a almacenar o
fabricar, otros elementos Bj que indicaran las
necesidades de los destinos y otros elementos Zij que
indicaran las cantidades enviadas de cada origen a cada
destino.

y1 y2 y3 …
ym

x1 a11z11
a12z12 a13z13
… a1mz1m c1

x2 a21z21
a22z22 a23z23
… a2nz2m c2

x3 a31z31
a32z32 a33z33
… a3nz3m c3

…………………………………………

Xn an1zn1
an2zn2 an3zn3
… annznm cn

b1 b2 b3
bm

  Si S
cj ³ S
bj tiene solución el sistema

Si S
cj < S
bj no tiene solución el
sistema.

EJEMPLOS DE ASIGNACIÓN

1) min. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 SOLUCIÓN

A 3 2 1 A 2 1 0 A 2 0 0 A ® 2

B 4 5 7 B 0 1 3 B 0 0 3 B ® 1

C 6 5 2 C 4 3 0 C 4 2 0 C ® 3

MARCO TACHO

2) min. 1 2 3 1 2 3 1 2 3

A 3 7 1 A 2 6 0 A 2 5 0 *

B 4 5 7 B 0 1 3 B 0 0 3

C 6 5 2 C 4 3 0 C 4 2 0 *

*

1 2 3 SOLUCIÓN.1:

A 0 3 0 A ® 1 = 3

B 0 0 5 B ® 2 = 5

C 2 0 0 C ® 3 = 2

10 =

1 2 3 SOLUCIÓN.2:

A 0 3 0 A ® 3 = 1

B 0 0 5 B ® 1 = 4

C 2 0 0 C ® 2 = 5

10

EJEMPLO DE TRANSPORTE

MIN. 1 2 3

A 25 28 17 10 CAPACIDADES = S C = 30

B 20 29 15 12

C 22 27 15 8

10 11 9

NECESIDADES = S N = 30 

1 2 3 1 2 3

A 8 11 0 10 A 3 010 0 10, 0

B 5 14 0 12 B 010 3 0112, 2,
1*

C 7 12 0 8 C 2 1 08 8, 0 *

10 11 9 10 11 9

0 1 1

0

* *

SOLUCIONES:

1 2 3 A – 2 – 10

A 4 010 1 10, 0 B – 1 – 10

B 010 2 0212, 2, 0 B – 3 –
2

C 2 01 07 8, 7, 0 C – 2 –
1

10 11 9 C – 3 – 7

0 1 7

0 0

  TEMA II: SISTEMAS DE
PROGRAMACIÓN POR GRAFOS

LECCIÓN SEPTIMA

TEORÍA DE
LOS GRAFOS.-

7.1. INTRODUCCIÓN.

Es la base de todos los sistemas de
programación que estudiaremos: PERT, CPM y
ROY.

7.2. CONCEPTOS Y DEFINICIONES.

Grafo: Es el conjunto de elementos entre
los que existen ligaduras orientadas.

Suponemos un conjunto x = {A, B, C, D, E,
F} y una
relación G = (x, T) de manera que:

TA = {B, C, D}

TB = {A}

TC = {B, D, F}

TD = {D, E}

TE = {0}

TF = {0}

Lo representamos mediante un diagrama
sagital.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Cuadro de doble entrada.

Definiciones:

Vértice: Elemento de un conjunto que constituye
un grafo.

Arco: Par de elementos entre los que existe
relación teniendo en cuenta la orientación, es
decir que exista relación orientada: (A, B); (A, C); (B,
A); …

Camino: Es una sucesión de arcos adyacentes que
nos permiten pasar de un vértice a otro: (A, C, D,
E).

Circuito: Es un camino en el que el vértice
inicial y final coinciden: (A, C, B, A); (A, B, A).

Bucle: Es un arco en el que el vértice origen y
final coinciden: (D)

Arista: Relación entre dos vértices sin
atender a la orientación: (C, A); (A, C).

Cadena: Sucesión de aristas adyacentes: (F, C,
B, A).

Longitud de un camino o circuito: Se mide por el
número de arcos que constituyen el camino o
circuito.

Grafo conexo: Entre todo par de vértices
podemos establecer al menos una cadena.

A Grafo no conexo ya que E no se relaciona

con nadie y nadie se relaciona con
él.

Para ver el gráfico seleccione la
opción "Descargar" del menú superior

Grafo fuertemente conexo: Es aquel que entre cualquier
par de vértices podemos establecer al menos un
camino.

Grafo sin circuitos:
Es aquel que no tiene circuitos.

A nosotros nos interesan los grafos sin
circuitos y conexos.

7.3. RELACIÓN DE ORDEN ESTRICTO EN UN GRAFO
CONEXO SIN CIRCUITOS.

Si un grafo es conexo y sin circuitos se puede
establecer una relación de orden si cumple las siguientes
propiedades:

1. Antisimétrica: A se relaciona con B
entonces B no puede preceder a A.

A y B son vértices del grafo

A <
B Þ
B no puede preceder a A.

< no significa menor sino sentido,
dirección.

2. Transitiva: A precede a B y B precede a C
entonces A precede a C.

A < B

A < C

B < C

LECCIÓN OCTAVA

ORDENACIÓN DE
GRAFOS.-

8.1. INTRODUCCIÓN.

Necesidad de ordenar.

8.2. DESCOMPOSICIÓN DE UN GRAFO CONEXO SIN
CIRCUITOS EN NIVELES.

Establecimiento convencional de niveles

Situar los vértices de manera que ningún
vértice de un determinado nivel precede a un
vértice situado en un nivel anterior. (A su izquierda)
Entre los vértices de un mismo nivel no existirá
relación.

Pasos a seguir:

1. Sumamos por filas el número de veces que cada
vértice precede a otro.

2. Vértices situados en el último nivel
son aquellos que no preceden nunca a nadie.

3. Restamos a cada elemento el número de veces
que precedía a los situados en el último
nivel.

4. Así sucesivamente hasta que todos los
vértices tengan asignado un nivel.

Ejemplo:

V IV III II I

Nota.- En este tipo de ejercicios no es conveniente
hacer diagramas de tipo
sagital ya que resultarían muy confusos de
interpretar.

8.3. CONSIDERACIONES PARA EL DIBUJO DE
GRAFOS.

1. Las precedencias serán inmediatas.

2. La longitud del arco no representa nada.

3. Evitar longitudes de arcos
desproporcionadas.

4. Evitar el trazado de arcos curvos.

5. Evitar el cruce entre arcos.

6. Evitar ángulos pequeños entre
arcos.

7. Dos arcos distintos no podrán tener el mismo
vértice inicial y final.