Medidas de posición

Indice
1.
Introducción
2. Medidas de
Posición
3. Conclusión
4. Bibliografía

1.
Introducción

Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos
analizando.  La descripción de un conjunto de datos, incluye
como un elemento de importancia la ubicación de
éstos dentro de un contexto de valores
posible. Una vez definidos los conceptos básicos en el
estudio de una distribución de frecuencias de una
variable, estudiaremos las distintas formas de resumir dichas
distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error
cometido en el resumen mediante las correspondientes medidas de
dispersión.
Se trata de encontrar unas medidas que sinteticen las
distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos
sobre las variables,
tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante
algunos valores
numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central
alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de
la variable Son medidas estadísticas cuyo valor
representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la
distribución de frecuencia, por lo que también se
les llama "Medidas de Tendencia Central ".

2. Medidas de
Posición

Son indicadores
usados para señalar que porcentaje de datos dentro de una
distribución de frecuencias superan estas expresiones,
cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el
centro de la distribución de frecuencia, por lo que
también se les llama " Medidas de Tendencia Central
".

Pero estas medidas de posición de una
distribución de frecuencias han de cumplir determinadas
condiciones para que lean verdaderamente representativas de la
variable a la que resumen. Toda síntesis
de una distribución se considerara como operativa si
intervienen en su determinación todos y cada uno de
los valores de
la distribución, siendo única para cada
distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y
de fácil obtención. A continuación se
describen las medidas de posición más comunes
utilizadas en estadística, como lo son:

• Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una
  distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y
  tecer cuartil.
• Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes
  iguales: (primero al noveno decil).
• Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una
  serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve
  percentil).

Cuartiles (Q1, Q2,
Q3)

1. Aquel valor de una serie que supera al 25% de los
   datos y es superado por el 75% restante.
   Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en
   Clase.

   

   Donde:

   :
   posición de Q1, la cual se localiza en la
   primera frecuencia acumulada que la contenga, siendo la clase
   de Q1, la correspondiente a tal frecuencia
   acumulada.

   Li, faa, fi,
   Ic : idéntico a los conceptos vistos para
   Mediana pero referidos a la medida de la posición
   correspondiente.

2. Primer cuartil (Q1):
3. Segundo cuartil (Q2):

Coincide, es idéntico o similar al valor de la
Mediana (Q2 = Md). Es decir, supera y es
superado por el 50% de los valores de una Serie.

c) Tercer cuartil (Q3):

Aquel valor, termino o dato que supera al 75% y es
superado por el 25% de los datos restantes de la Serie.
Formula de Q3 para series de Datos Agrupados en
Clase.

Donde:

:
posición de Q3, todo idéntico al calculo
de la Mediana.

Deciles (D1, D2, …
D9)
Primer Decil (D1), Quinto Decil (D5) y
Noveno Decil (D9).
El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10
parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes
(respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es
superado por el 90% restante),

El D9 (noveno decil) supera al 90% y es
superado por el 10% restante.

• Como se observa, son formulas parecidas a la del
  calculo de la Mediana, cambiando solamente la respectivas
  posiciones de las medidas.

Percentiles (P1, P2, …
P99)
Primer Percentil (P1), Percentil 50 (P50) y
Percentil 99 (P99).
El primer percentil supera al uno por ciento de los valores y es
superado por el noventa y nueve por ciento restante.
Formulas de P1, P50, P99 para
series de Datos Agrupados en Clase.

El P99 (noventa y nueve percentil) supera al
99% de los datos y es superado a su vez por el 1%
restante.

• Idénticas formulas al calculo de la Mediana,
  cambiando obviamente las correspondientes posiciones de cada
  medida.

Para determinar estas medidas se aplicara el principio
de la mediana; así, el primer cuartil cereal valor por
debajo del cual se encuentra el 25 por ciento de los datos; bajo
el tecer cuartil se encuentra el 75 por ciento; el 80 decil
será el valor por encima del cual estará el 20 por
ciento de los datos, etc.
Como se observa, todas estas medidas no son sino casos
particulares del percentil ya que el primer cuartil no es sino el
25°
percentil, el tercer cuartil el 75° percentil, el cuarto decil
el 40°
percentil, etc.

Datos no agrupados:
Se hace difícil calcular estas medidas, sin embargo,
siguiendo los mismos principios
mencionados para la Mediana, se pueden localizar en la forma
siguiente:

Si tenemos una serie de valores X1,
X2, X3 … Xn, se localiza
el primer cuartil como el valor cuando n es par, y cuando n es impar. Para el tercer cuartil
será (n
par); (n
impar).

En caso de los textiles será o donde A representa el número del
textil.

Para los deciles será o siendo A el número del decil; y para los
percentiles o
.

Ejemplo:
En una serie de 32 términos se desea localizar el
4° sextil,
8° decil y
el 95°
percentil.

Esto significa que el 4° textil se encuentra localizado en el
termino numero 21, es decir, el que ocupa la 21° posición; el
8° decil se
encuentra localizado entre el termino numero 25° y 26° ; y el 95° percentil entre la
posición 30° y 31° .

Calculo para una distribución de
frecuencia

Para el calculo de esta medida en datos agrupados en una
distribución de frecuencia, se utiliza el mismo procedimiento
estudiado para el calculo de la Mediana, e; cual es:

1. Se efectúa la columna de las frecuencias
   acumuladas.
2. Se determina la posición del término
   cuyo valor se pretende calcular, en caso de ser el primer
   cuartil será , si fuese el 95° centil … etc.
3. Se verifica cual es la clase que lo contiene; para
   ello se utiliza la columna de las frecuencias
   acumuladas.
4. Se hace la diferencia entre el número que
   representa el orden de posición cuyo valor se pretende
   calcular y la frecuencia acumulada de la clase anterior a la
   que lo contiene.
5. Se calcula la medida solicitada de acuerdo a la
   siguiente fórmula:

Donde:
1i: limite inferior de la clase que lo contiene.
P: valor que representa la posición de la medida.
fi: la frecuencia de la clase que contiene la medida
solicitada.
fa-1: frecuencia acumulada anterior a la que contiene
la medida solicitada.
Ic: intervalo de clase.
Ejemplo:
Determinación del primer cuartil, el cuartil textil, el
séptimo decil y el 30° percentil.

Estos resultados nos indican que el 25 por ciento de los
empleados ganan salarios por
debajo de Bs. 334; que sobre Bs. 519,51 ganan el 33,33 por ciento
de los empleados; que bajo 541,57 gana el 57 por ciento de los
empleados y sobre Bs. 359,88 gana el 70 por ciento de los
empleados.
Muchas veces necesitamos conocer el porcentaje de valores que
esta por debajo o por encima de un valor dado; lo que representa
un problema contrario al anterior, esto es, dado un cierto valor
en la abscisa determinar en la ordenada el tanto por ciento de
valores inferiores y superiores al valor dado. Operación
que se resuelve utilizando la siguiente formula
general:

Donde:
P: lugar percentil que se busca.
P: valor reconocido en la escala X.
fa-1: frecuencia acumulada de la clase anterior a la
clase en que esta incluida P.
fi: frecuencia de la clase que contiene a p.
Li: limite inferior de la clase que contiene a P.
Ic: intervalo de clase.
N: frecuencia total.

Ejemplo:
Utilizando la distribución anterior, determinar que
porcentaje de personas ganan salarios
inferiores a Bs. 450,00

El 50,75 por ciento de las personas ganan salarios
inferiores a Bs. 450.

Método gráfico para fraccionar la
distribución
Se pueden obtener en forma gráfica, a través de la
curva de la frecuencia acumulada (ojiva).
Para ello basta después de trazar la ojiva, llevar el
orden de posición de la medida que se quiere sobre la
ordenada, trazar por ese punto una perpendicular toca a la ojiva,
baja una paralela a la ordenada hasta tocar la abscisa; en el
punto donde toque a dicho eje, se encontrará el valor
buscado.

Obtención gráfica de las medidas de
posición
Similar o idéntico a la distribución grafica de la
Mediana con la sola excepción de que se llevaría al
eje vertical (frecuencias acumuladas) las especificas posiciones
de cada indicador de posición en particular.

Ejemplo:
Forma de obtener los indicadores de
posición (cuartiles, deciles y percentiles) para series de
datos agrupados en clases:
Supongamos la siguiente distribución de frecuencias
referidas a las estaturas que representaban 40 alumnos de un
curso.

Q3=?

La cual se ubica en la primera fa que la
contenga

Esta estatura de Q3 = 1,73 mts. Supera en la
distribución de frecuencia al 75% de los alumnos del curso
y es superada por el 25% de los mismos.

D8 = ?

supera esta estatura de 1,736 mts a 8/10 partes de curso
y es superado por las 2/10 partes restantes.

P55 = ?

Esta estatura supera al 55% de los alumnos del curso y
es superada por el 45% restante.

Calcular de cada uno de los intervalos de clases
cuartiles, deciles y percentiles.

Datos agrupados

n = 66

Cuartiles:

Deciles:

Percentiles:

3.
Conclusión

Las medidas de posición en un conjunto de datos
están diseñadas para proporcionar al analista
algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de
los datos en una muestra.
En las medidas de posición se trata de encontrar medidas
que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de
manejar todos los datos sobre las variables,
tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su
distribución de frecuencias mediante algunos valores
numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor
central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores
de la variable. La descripción de un conjunto de datos,
incluye como un elemento de importancia la ubicación de
éstos dentro de un contexto de valores
posibles.

4.
Bibliografía

Armando, Soto Negrin. Principios de
Estadística. Editorial Panapo. 1999.
Pág.: 71-81.
Ernesto, Rivas González. Estadística General.
Ediciones de la Biblioteca.
Caracas. 2000. Pág.: 164-169.

Autor:

Belda, María

Puerto La Cruz, JULIO de 2003.