Propiedades
magnéticas de la materia
- La ley de gauss
para el magnetismo
Anteriormente encontramos que el flujo del campo
eléctrico a través de una superficie cerrada
que rodea a una carga neta es proporcional a la carga (ley de gauss). En
otras palabras, el número de líneas de campo
eléctrico que salen de la superficie depende
sólo de la carga neta dentro de ella. Esta propiedad se
basa en parte en el hecho de que las líneas de campo
eléctrico se originan en cargas
eléctricas.
La situación es bastante diferente para campos
magnéticos, los cuales son continuos y forman lazos
cerrados. Las líneas de campo
magnético creadas por corrientes no empiezan o
terminan en ningún punto. Las líneas de campo
magnético del imán de barra, ilustran lo
anterior. Advierta que para cualquier superficie cerrada, el
número de líneas que entran en la superficie es
igual al número que sale de la misma, por lo que el flujo
magnético neto es cero. Esto contrasta con el caso de una
superficie que rodea a una carga de un dipolo eléctrico,
donde el flujo eléctrico neto no es cero.
La ley de gauss del magnetismo
establece que el flujo magnético a través de
cualquier superficie cerrada siempre es cero:
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Este enunciado se basa en el hecho experimental de que
polos magnéticos aislados (o monopolos) nunca se han
detectado e incluso no
existan.
La siguiente figura 1a muestra el campo
eléctrico asociado a una barra aislante que tiene
cantidades iguales de carga positiva y negativa situadas en los
extremos opuestos.
Éste constituye un ejemplo de dipolo
eléctrico.
La figura 1b muestra el caso
análogo de un dipolo
magnético, tal
como la familiar barra imantada, con un polo norte en un extremo
y un polo sur en el otro extremo.
En este nivel, los casos eléctrico y
magnético son muy similares.
De hecho, podríamos ser llevados a postular la
existencia de polos magnéticos individuales
análogos a las cargas eléctricas; tales polos, si
existiesen, producirían campos magnéticos
(semejantes a los campos eléctricos producidos por las
cargas) proporcionales a la intensidad de los polos e
inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia desde el
polo. Como veremos, esta hipótesis no concuerda con el
experimento.
Cortemos a la mitad los objetos de la
figura 1 y separémoslos en dos piezas. La
figura 2 muestra que los casos eléctrico y
magnético ya no son semejantes. En el caso
eléctrico, tenemos dos objetos que, si se les separa por
una distancia suficientemente grande, pudieran considerarse como
cargas puntuales de polaridades opuestas, cada una de las cuales
produciría un campo característico de una carga puntual. Sin
embargo, en el caso magnético no obtenemos polos norte y
sur aislados, sino un par de imanes, cada uno de ellos con sus
propios polos norte y sur.
Esto es una diferencia importante entre los dipolos
eléctricos y magnéticos: el
dipolo eléctrico puede separarse en cada
una de sus cargas (o "polos")
constituyentes, pero el dipolo magnético
no. Cada vez
que tratamos de dividir a un dipolo magnético en polos
norte y sur por separado, creamos un nuevo par de polos. Es un
poco parecido a la acción de cortar un tramo de cuerda con
dos extremos para tratar de obtener dos trozos de cuerda
¡cada uno de los cuales con sólo un
extremo.
Este efecto ocurre microscópicamente, hasta el
nivel de cada átomo.
Como lo veremos en la sección siguiente, cada átomo se
comporta como un dipolo magnético que tiene un polo norte
y un polo sur, y hasta donde todavía sabemos, el dipolo, y
no el solo polo aislado, parece ser la unidad fundamental
más pequeña de la estructura
magnética.
La figura 3 muestra una representación
más detallada de los campos magnéticos de una barra
imantada y de un solenoide, ambos de los cuales pueden ser
considerados como dipolos magnéticos.
Nótese en la figura 3a que las líneas de B
entran a la superficie gaussiana en el interior del imán y
salen de ella en el exterior del mismo. El flujo total hacia
adentro es igual al flujo total hacia afuera, y el flujo neto FB,
para la superficie es cero. Lo mismo es cierto para la superficie
gaussiana que atraviesa al solenoide mostrado en la figura 3b. En
ningún caso existe un solo punto del cual se originen las
líneas de B o al cual converjan; esto es, no existe
ninguna carga magnética aislada.
La existencia de cargas magnéticas aisladas
fue propuesta en 1931 por el físico teórico
Paúl Dirac sobre la base de
argumentos que emplean la mecánica cuántica y la
simetría.
Dirac llamó a aquellas cargas monopolos
magnéticos y dedujo algunas propiedades básicas que
cabía esperar de ellos, incluyendo la magnitud de la
"carga magnética" (análoga a la carga electrónica e). Siguiendo la
predicción de Dirac, se hicieron investigaciones
de monopolos magnéticos usando grandes aceleradores de
partículas además de examinar muestras de materia
terrestre y extraterrestre. Ninguna de estas primeras investigaciones
arrojó evidencia alguna de la existencia de los monopolos
magnéticos.
Los intentos recientes por unificar las leyes de la
física,
juntando a las fuerzas fuerte, débil y
electromagnética en un solo marco, han vuelto a despertar
el interés
en los monopolos magnéticos.
Estas teorías
predicen la existencia de monopolos magnéticos
extremadamente masivos, de aproximadamente 1016 veces la masa del
protón. Es en efecto demasiado masivo para producirlo en
cualquier acelerador en la Tierra; de
hecho, las únicas condiciones conocidas bajo las cuales
podrían obtenerse tales monopolos serían en la
caliente y densa materia del
universo
temprano. La búsqueda de los monopolos magnéticos
continúa, pero hasta ahora no se ha obtenido una evidencia
convincente de su existencia. Por el momento, suponemos o bien
que los monopolos no existen, de modo que la ecuación 2 es
exacta y universalmente válida, o bien que, si existen,
son tan excesivamente raros que la ecuación 2 es una
aproximación altamente precisa. La ecuación 2
asume, entonces, un papel
fundamental como descripción del comportamiento
de los campos magnéticos en la naturaleza, y
constituye una de las cuatro ecuaciones de
Maxwell del electromagnetismo.
- Magnetismo atómico y
nuclear
Las diferencias en el comportamiento
microscópico entre los campos eléctricos y
magnéticos pueden apreciarse mejor observando la estructura
atómica y nuclear fundamental que produce los
campos.
Consideremos el medio dieléctrico El medio consta
de dipolos eléctricos que están alineados dentro de
un campo eléctrico externo. Estos dipolos producen un
campo eléctrico inducido en el medio. Si cortamos al medio
en dos, suponiendo que no cortemos a ninguno de los dipolos,
obtenemos dos medios
dieléctricos semejantes; cada uno tiene una carga positiva
inducida en un extremo y una carga negativa inducida en el otro
extremo. Podemos seguir dividiendo al material hasta alcanzar el
nivel de un solo átomo o molécula, el o la cual
tiene una carga negativa en un extremo y una carga positiva en el
otro extremo.
Con un corte final podemos dividir y separar las cargas
positiva y negativa.
El medio magnético parece comportarse
microscópicamente de modo semejante. La figura 4
representa a un medio magnético como una colección
de dipolos magnéticos. Si cortamos al medio en dos sin
cortar a ninguno de los dipolos, cada una de las dos mitades
tiene un polo norte en un extremo y un polo sur en el otro.
Podemos continuar cortando únicamente hasta que lleguemos
al nivel de un solo átomo. Aquí descubriremos que
el dipolo magnético consta no de dos cargas individuales y
opuestas, como en el caso eléctrico, sino más bien
es una diminuta espira de corriente, en donde la corriente
corresponde, por ejemplo, a la circulación del
electrón en el átomo. Del mismo modo que en el caso
de los anillos o espiras de corriente considerados en el
capítulo 8, la corriente atómica tiene un momento
dipolar magnético asociado. No existe manera de dividir a
este dipolo en polos separados, de modo que el dipolo es la
unidad fundamental más pequeña del
magnetismo.
Magnetismo Nuclear
El núcleo, que está compuesto de protones
y neutrones en un movimiento
orbital bajo la influencia de sus fuerzas mutuas, tiene un
momento magnético con dos partes: una parte orbital,
debida al movimiento de
los protones (los neutrones, por no tener carga, no contribuyen
al momento magnético orbital, aunque pueden tener un
ímpetu angular orbital), y una parte intrínseca,
debida a los momentos magnéticos intrínsecos de los
protones y de los neutrones. (Puede parecer sorprendente que el
neutrón sin carga tenga un momento magnético
intrínseco distinto de cero. Si el neutrón fuese
realmente una partícula elemental sin una carga
eléctrica, no tendría, en efecto, un momento
dipolar magnético. El momento dipolar magnético
distinto de cero del neutrón nos da una pista sobre su
estructura interna y puede explicarse bastante bien al considerar
que el neutrón está compuesto de tres quarks
cargados.)
Los núcleos tienen momentos dipolares
magnéticos orbital y de espín que pueden expresarse
en la forma de las ecuaciones 7 y
10. Sin embargo, la masa que aparece en estas ecuaciones (la masa
del electrón) debe ser reemplazada por la masa de un
protón o de un neutrón, que es de unas 1800 veces
la masa del electrón. Los momentos dipolares
magnéticos nucleares típicos son menores que los
momentos dipolares atómicos por un factor del orden de
10-3, y su contribución a las propiedades
magnéticas de los materiales es
generalmente insignificante.
Los efectos del magnetismo nuclear son importantes en el
caso de la resonancia magnética nuclear, en donde el
núcleo está sometido a la radiación
electromagnética de una frecuencia precisamente definida,
y que corresponde a la necesaria para causar que el momento
magnético nuclear cambie de dirección. Podemos alinear los momentos
magnéticos nucleares en una muestra de material por medio
de un campo magnético estático; la dirección de los dipolos se invierte cuando
absorben la radiación
electromagnética variable con el tiempo. La
absorción de esta radiación puede detectarse
fácilmente. Este efecto es la base de la formación
de imágenes
por resonancia magnética (MRI), una técnica de
diagnóstico en que pueden obtenerse
imágenes de los órganos del cuerpo
usando una radiación mucho menos peligrosa para el
organismo humano que los rayos X (Fig.
5).
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- Magnetización
El estado
magnético de una sustancia se describe por medio de una
cantidad denominada vector de magnetización, M. La
magnitud del vector de magnetización es igual al momento
magnético por unidad de volumen de la
sustancia. Como tal vez usted esperaba, el campo magnético
total en una sustancia depende tanto del campo(externo) aplicado
como de la magnetización de la sustancia.
Considerando una región donde existe un campo
magnético 
producido por un conductor por el que circula corriente. Si
llenamos esa región con sustancia magnética, el
campo magnético total B en esa región es 
donde 
es el campo producido por
la sustancia magnética. Esta contribución puede
expresarse en términos del vector de magnetización
como 
por tanto,
el campo magnético total en región se convierte
en
Conviene introducir una cantidad de campo H, llamada la
intensidad de campo magnético. Esta cantidad
vectorial se define por medio de la relación 
, o
En unidades del SI, las dimensiones tanto de H como de M
son amperes por metro.
Para entender mejor estas expresiones, considere la
región dentro del espacio encerrado por un toroide que
conduce una corriente I. (llamaremos a este espacio el
núcleo del toroide) si este espacio es un vacío,
entonces 
y
. Puesto que
en el
núcleo, donde n es el número de vueltas por unidad
de longitud del toroide, entonces 
H = nI
Esto es, la intensidad de campo magnético en el
núcleo del toroide se debe a la corriente en sus
devanados.
Si el núcleo del toroide se llena ahora con
alguna sustancia y la corriente I se mantiene constante, entonces
H dentro de la sustancia permanece invariable y tiene la magnitud
nI. Esto se debe a que la intensidad de campo magnético H
es consecuencia exclusivamente de la corriente en el toroide. El
campo total B, sin embargo, cambia cuando se introduce la
sustancia. De acuerdo con la ecuación
, vemos
que parte de B surge del término 
asociado con la corriente en el toroide,
la segunda contribución a B es el Término 
debido a la
magnetización de la sustancia que llena el
núcleo.
- Materiales Magnéticos
Ahora estamos en posición de entender algunas
características de los tres tipos de
materiales
magnéticos. Como lo veremos, estas clasificaciones
dependen, en parte, de los momentos dipolares magnéticos
de los átomos del material y en parte de las interacciones
entre los átomos.
Los átomos tienen momentos dipolares
magnéticos debido al movimiento de los electrones y debido
al momento dipolar magnético intrínseco asociado al
espín de los electrones.
De acuerdo con el comportamiento de sus momentos
magnéticos en un campo magnético
externo:
El paramagnetismo:
Ocurre en materiales cuyos átomos tienen momentos
dipolares magnéticos permanentes; no hay diferencia si
estos momentos dipolares son del tipo orbital o del tipo de
espín.
Nace del alineamiento parcial de los momentos
magnéticos moleculares (mm) en presencia de un
Campo magnético externo. Los mm están en
estado normal
orientados al azar. Y en presencia del campo magnético
externo los dipolos se alinean parcialmente en la
dirección del campo, produciéndose un aumento total
del campo. A temperaturas ordinarias y con campos externos
normales, sólo una fracción muy pequeña se
orienta con el campo, por consiguiente el aumento del campo es
muy pequeño.
El ferromagnetismo:
El ferromagnetismo, al igual que el paramagnetismo, se
presenta en materiales en los que los átomos tienen
momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que
distingue a los materiales ferromagnéticos de los
materiales paramagnéticos es que, en los materiales
ferromagnéticos, existe una fuerte interacción
entre los momentos dipolares atómicos vecinos que los
mantiene alineados incluso cuando se suprime el campo
magnético externo.
El que esto ocurra o no depende de la intensidad de los
dipolos atómicos y también, puesto que el campo del
dipolo cambia con la distancia, de la separación entre los
átomos del material. Ciertos átomos podrían
ser ferromagnéticos en una clase de material pero no en
otra, porque su espaciamiento es diferente. Los materiales
ferromagnéticos más comunes a la temperatura
ambiente
incluyen a los elementos hierro,
cobalto y níquel. Los elementos ferromagnéticos
menos comunes, alguno de los cuales muestran su ferromagnetismo
sólo a temperaturas mucho menores que la temperatura
ambiente, son
los elementos de las tierras raras, como el gadolinio y el
disprosio. También pueden ser ferromagnéticos los
compuestos y las aleaciones,
por ejemplo, el CrO2, el ingrediente básico de las cintas
magnéticas, es ferromagnético aunque, ninguno de
los elementos, cromo u oxígeno, es ferromagnético a
temperatura ambiente.
Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre
átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al aumentar la
temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un
material ferromagnético se vuelve paramagnético se
le denomina temperatura Curie. La temperatura Curie del hierro, por
ejemplo, es de 770oC; arriba de esta temperatura, el hierro es
paramagnético. La temperatura Curie del metal gadolinio es
de 16oC; a la temperatura ambiente, el gadolinio es
paramagnético, mientras que a temperaturas por debajo de
los 16oC, el gadolinio se vuelve
ferromagnético.
Diamagnetismo:
En 1847, Michael Faraday descubrió que una
muestra de bismuto era repelida por un imán potente. A
tales sustancias las llamó diamagnéticas. (Por el
contrario, las sustancias paramagnéticas son
atraídas siempre por un imán.) El diamagnetismo se
presenta en todos los materiales. Sin embargo, generalmente es un
efecto mucho más débil que el paramagnetismo y, por
lo tanto, puede observarse más fácilmente
sólo en materiales que no sean paramagnéticos.
Tales materiales podrían ser aquellos que tienen momentos
dipolares magnéticos atómicos de valor cero,
originándose quizás de átomos que tienen
varios electrones con sus momentos magnéticos orbital y de
espín que al sumarse vectorialmente dan un valor de
cero.
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El diarnagnetismo es análogo al efecto de los
campos eléctricos inducidos en la electrostática. Un trozo de material no
cargado, como el papel, es
atraído hacia una barra cargada de cualquier polaridad.
Las moléculas del papel no tienen momentos dipolares
eléctricos permanentes pero adquieren momentos dipolares
inducidos por la acción del campo eléctrico, y
estos momentos inducidos pueden entonces ser atraídos por
el campo (véase la Fig. 14 del capítulo
5).
En los materiales diamagnéticos, los
átomos que no tienen momentos dipolares magnéticos
permanentes adquieren momentos dipolares inducidos cuando
están situados dentro de un campo magnético
externo. Consideremos que los electrones que giran en un
átomo se comporten como espiras de corriente. Cuando se
aplica un campo externo B0, el flujo a través del anillo
cambia. Según la ley de Lenz, el movimiento debe cambiar
de manera tal que un campo inducido se oponga a este aumento en
el flujo. Un cálculo
basado en las órbitas circulares demuestra que el cambio en el
movimiento se logra con un ligero aumento o disminución de
la velocidad del
movimiento orbital, de modo que la frecuencia circular asociada
con el movimiento orbital cambia según
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donde B0, es la magnitud del campo aplicado y m es la
masa del electrón. Este cambio en la
frecuencia orbital cambia en efecto el momento magnético
orbital de un electrón (véase la Ec. 5).
Si quisiéramos traer un solo átomo de un
material como el bismuto cerca del polo norte de un imán,
el campo (que apunta alejándose del polo) tiende a
aumentar el flujo a través de la espira de corriente que
representa al electrón circulando. De acuerdo con la ley
de Lenz, debe haber un campo inducido apuntando en la
dirección opuesta (hacia el polo). El polo norte inducido
está en el lado de la espira hacia el imán, y los
dos polos norte se repelen entre sí.
Este efecto ocurre sin importar cuál sea el
sentido de la rotación de la órbita original, de
modo que, en un material diamagnético, la
magnetización se opone al campo aplicado. La razón
de la contribución a la magnetización del campo m0
M al campo aplicado B0, dado por km – 1 de acuerdo con la
ecuación 16, llega a estar entre -10-6 y -10-5 para
materiales diamagnéticos típicos. La tabla 3
muestra algunos materiales diamagnéticos y sus constantes
de permeabilidad.
- El magnetismo de los planetas
El es un fenómeno extendido
a todos los átomos con desequilibrio magnético. La
agrupación de dichos átomos produce los
fenómenos magnéticos perceptibles, y los cuerpos
estelares, los
planetas entre ellos, son propicios a
tener las condiciones para que se desarrolle un [campo
magnético] de una cierta
intensidad. En el interior de los planetas, la
acumulación de materiales
ferromagnéticos (como hierro) y su
movimiento diferencial relativo respecto a otras capas del cuerpo
inducen un campo magnético de intensidad dependiente de
las condiciones de formación del planeta. En el mismo
siempre se distinguen los dos polos, equivalentes a los de un
imán normal. En el caso de la
Tierra, la zona en la que se mueve está
influenciada por el campo magnético solar, pero el propio
campo magnético terrestre crea como una burbuja, la
magnetosfera terrestre, dentro del
anterior. Dicha burbuja tiene una capa límite entre su
influencia y la solar (magnetopausa)
que es aproximadamente esférica hacia el Sol,
y alargada hacia el sistema solar
externo, acercándose a la superficie terrestre en los
[polos
magnéticos] terrestres. La
interacción en constante evolución entre ambos campos
magnéticos y las partículas magnéticas
provenientes del Sol produce fenómenos como las
auroras (boreales
o
australes) y la interferencia en las
comunicaciones
radioeléctricas. En la tierra, el
polo magnético norte está actualmente cercano al
sur geográfico, y el sur magnético, cercano al
norte geográfico. Dichos polos se están moviendo,
de forma que en años recientes el polo sur
magnético está desplazándose por la zona
norte canadiense moviéndose en dirección hacia el
norte de Alaska.
El campo de la Tierra
puede considerarse aproximadamente como el de un dipolo
magnético, con momento m = 8.0 x 1022 J/T. El campo en la
superficie tiene una magnitud que va desde unos 30, mT cerca del
Ecuador hasta
unos 60 mT cerca de los Polos. (Para un dipolo, esperamos que el
campo magnético en el eje sea el doble del campo a la
misma distancia a lo largo de la bisectriz; véase la tabla
1 del capítulo 9.) El eje del dipolo forma un
ángulo de unos 11.5o con el eje de rotación de la
Tierra (que a
su vez forma un ángulo de 23.5o con la normal al plano de
la órbita de la Tierra con respecto al Sol, como se
muestra en la Fig. 11.
Lo que comúnmente llamamos el polo norte
magnético, el cual se ubica al norte de Canadá, es
de hecho el polo sur del dipolo Tierra, como lo hemos definido
con la convergencia de las líneas del campo
magnético. El polo sur magnético, que se localiza
en la Antártida, está representado por el polo
norte de un dipolo, porque las líneas de B salen de
él. Dicho de otra manera, cuando usamos una brújula
magnética para indicar la dirección del extremo de
la brújula que apunta hacia el norte es un polo norte
verdadero del imán suspendido en la brújula; es
atraído hacia un polo sur verdadero, el cual está
cerca del polo norte geográfico de la Tierra.
El campo magnético de la Tierra tiene una
importancia práctica no solamente en la navegación
sino también en el levantamiento topográfico y en
las comunicaciones. Por lo tanto ha sido extensamente
estudiado durante muchos años, en la superficie midiendo
su magnitud y dirección y más arriba de su
superficie usando satélites
en órbita. Entre sus otros efectos están los
cinturones de radiación de Van Allen que rodean a la
Tierra (véase la Fig. 15 del capítulo 8) y las
llamadas "auroras boreales", el espléndido
espectáculo de la aurora (Fig. 12).
Puesto que encontramos rocas
magnetizadas en el suelo,
surgiría, quizás, la inclinación a imaginar
la existencia de un núcleo de rocas
magnetizadas permanentemente como la fuente del campo
magnético de la Tierra. Sin embargo, esto no puede ser
así, porque la temperatura del núcleo es de varios
miles de grados, muy por encima de la temperatura Curie del
hierro. Por lo tanto, el hierro que hay en el núcleo de la
Tierra no puede ser ferromagnético.
Además, de las mediciones realizadas desde hace
unos pocos siglos sabernos que el polo norte magnético se
desplaza en relación con el polo norte geográfico,
y sabemos por los registros
geológicos que los polos se invierten en una escala de
tiempo de
varios cientos de miles de años. (Además, como lo
veremos más adelante, algunos planetas del sistema solar que
tienen composiciones similares a la de la Tierra no tienen campo
magnético, mientras que otros planetas que ciertamente no
contienen material magnético tienen campos muy grandes.)
Tales observaciones son difíciles de explicar
basándose en la hipótesis de un
núcleo permanentemente magnetizado.
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La fuente exacta del magnetismo de la Tierra no
está del todo comprendida, pero probablemente implica
cierta clase de efecto de dínamo. La parte exterior del
núcleo contiene minerales en
estado líquido, que conducen la electricidad
fácilmente. Un pequeño campo magnético
inicial provoca que fluyan corrientes en este conductor en
movimiento, según la ley de la inducción de Faraday. Estas corrientes
pueden acrecentar el campo magnético y este campo
acrecentado es lo que observarnos como el campo de la Tierra. Sin
embargo, sabemos por nuestro estudio de la inducción que un conductor que se mueva
dentro de un campo magnético experimenta una fuerza de
frenado. La fuente de energía necesaria para vencer a la
fuerza de
frenado y mantener al núcleo en movimiento no ha podido
todavía comprenderse.
La Tierra contiene un registro de
cambios tanto en la dirección como en la magnitud del
campo. Por ejemplo, las muestras de alfarería antigua
contienen diminutas partículas de hierro, que resultaron
magnetizadas en el campo de la Tierra conforme la
alfarería fue enfriándose después de su
cocción. De la intensidad de la magnetización de
las partículas, podemos deducir la intensidad del campo de
la Tierra en el tiempo y lugar de la cocción. Un registro
geológico de origen similar se conserva en el fondo
oceánico (Fig. 13).
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Cuando el magma fundido brota de una grieta submarina y
se solidifica, las partículas de hierro resultan
magnetizadas. La dirección de la magnetización de
las partículas muestra la dirección del campo de la
Tierra. De los patrones de magnetización podernos deducir
que los polos de la Tierra se han invertido con mucha regularidad
a lo largo de la historia geológica.
Esta inversión ocurre cada 100,000 a 1,000,000
de años y ha sido más frecuente en tiempos
recientes. Las razones de estas inversiones y
su velocidad
creciente no se conocen, peto presumiblemente implican el efecto
de dínamo de alguna manera.
Conforme nos alejamos de la Tierra, su campo disminuye,
y comenzamos a observar modificaciones como consecuencia del
viento solar, una corriente de partículas cargadas que
llegan del Sol (Fig. 14). Como resultado, una larga cola asociada
al campo de la Tierra se extiende a lo largo de muchos miles de
diámetros terrestres. Puesto que el Sol tiene un
efecto tan grande sobre el campo magnético de la Tierra,
aun a distancias de unos cuantos radios terrestres, puede influir
en los fenómenos en los que intervienen el campo de la
Tierra, como la
comunicación por radio y la
aurora.
En los últimos años, las sondas del
espacio interplanetario han hecho posible la medición de la dirección y magnitud
de los campos magnéticos de los planetas. Estas
observaciones apoyan la teoría
del mecanismo de dínamo como la fuente de estos campos. La
tabla 4 muestra valores de los
momentos dipolares magnéticos y los campos
magnéticos en la superficie de los planetas.
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Venus, cuyo núcleo es similar al de la Tierra, no
tiene un campo porque su rotación es demasiado lenta (una
cada 244 días terrestres) para sostener el efecto de
dínamo. Marte, cuyo periodo de rotación es casi el
mismo que el de la Tierra, no tiene un campo porque su
núcleo es presumiblemente demasiado pequeño, un
hecho deducido de la medición de la densidad media de
Marte. Los planetas exteriores (Júpiter y más
allá) están compuestos en su mayoría de
hidrógeno y helio, los que ordinariamente no se cree que
sean magnéticos; sin embargo, a las altas presiones y
temperaturas cerca del centro de estos planetas, el
hidrógeno y el helio pueden comportarse como los metales,
mostrando en particular una gran conductividad eléctrica y
permitiendo el efecto de dinamo.
La figura 15 muestra el alineamiento del eje de
rotación y del eje del campo magnético de
Júpiter y de Urano; compárense con la Tierra que se
muestra en la figura 11. Nótese que el eje de
rotación de Urano es casi paralelo al plano de su
órbita, al contrario de los demás planetas.
Nótese también que el eje magnético de Urano
está muy desalineado con su eje de rotación y que
el dipolo está desplazado del centro del
planeta.
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- la inductancia
Calculo de la inductancia
Se llama inductancia al campo magnético que crea
una corriente
eléctrica al pasar a través de una bobina de
hilo conductor enrollado alrededor de la misma que conforma un
inductor. Un inductor puede utilizarse para diferenciar
señales cambiantes rápidas o lentas.
La inductancia depende de las características
físicas del conductor y de la longitud del mismo. Si se
enrolla un conductor, la inductancia aumenta. Con muchas espiras
(vueltas) se tendrá más inductancia que con pocas.
Además, si un arrollamiento se coloca alrededor de un
núcleo de hierro, su inductancia será mayor de lo
que era sin el núcleo magnético.
La polaridad de una FEM (Fuerza Electro Motriz) inducida
va siempre en el sentido de oponerse a cualquier cambio en la
corriente del circuito. Esto significa que cuando la corriente en
el circuito aumenta, se realiza trabajo contra la FEM inducida
almacenando energía en el campo magnético. Si la
corriente en el circuito tiende a descender, la energía
almacenada en el campo vuelve al circuito, y por tanto se suma a
la energía suministrada por la fuente de FEM. Esto tiende
a mantener a la corriente circulando incluso cuando la FEM
aplicada pueda descender o ser retirada.
La energía almacenada en el campo
magnético de un inductor se calcula según la
siguiente formula:
W = I² L/2
Siendo:
W = energía en Julios
I = corriente en Amperios
L = inductancia en Henrios
La unidad de inductancia es el Henrio
Cualquier conductor tiene inductancia, incluso cuando el
conductor no forma una bobina. La inductancia de una
pequeña longitud de hilo recto es pequeña, pero no
despreciable si la corriente a través de él cambia
rápidamente, la tensión inducida puede ser
apreciable. Este puede ser el caso de incluso unas pocas pulgadas
de hilo cuando circula una corriente de 100 MHz o más. Sin
embargo, a frecuencias mucho mas bajas la inductancia del mismo
hilo puede ser despreciable, ya que le tensión inducida
será despreciablemente pequeña.
La inductancia de un seloide
Apliquemos la ecuación
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para calcular L para una sección de longitud l de
un solenoide largo con área de sec-ción transversal
A; suponemos que la sección está cerca del centro
del solenoide de modo que no necesitan considerarse los efectos
de los bordes o extremos. En el capítulo 9 se
demostró que el campo magnético B dentro de un
solenoide que conduce una corriente i es
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donde n es el número de espiras por unidad de
longitud.
El número de eslabones (o enlaces) del flujo en la
longitud es
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lo cual, después de sustituir a B, nos
da
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La ecuación 6 da entonces la inductancia
directamente:
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La inductancia por unidad de longitud del solenoide
puede escribirse como
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Esta expresión contiene sólo factores
geométricos el área de sección transversal y
el número de espiras por unidad de longitud. La
proporcionalidad con n2 es la esperada; si duplicamos el
número de espiras por unidad de longitud, no sólo
se duplica el número N de espiras, sino que el flujo a
través de cada espira se duplica, y el número de
eslabones o enlaces del flujo aumenta según un factor de
4, como en el caso de la inductancia.
Las ecuaciones 9 y 10 son válidas para un solenoide de
longitud mucho mayor que su radio. Hemos
despreciado el esparcimiento de las líneas del campo
magnético cerca del extremo de un solenoide, al igual que
hemos despre-ciado el efecto de borde del campo eléctrico
cerca de los extremos de las placas de un capacitor.
La inductancia de un toroide
Calcularemos ahora la inductancia de un toroide de
sección transversal rectangular, como se muestra en la
figura 3. El campo magnético B de un toroide se
expresó por la ecuación 23 del capítulo
9,
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donde N es el número total de espiras en el
toroide. Nótese que el campo magnético no es
constante dentro del toroide sino que varía con el radio
r.
El flujo a través de la sección
transversal del toroide es
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donde h dr es el área de la laminilla o tira
elemental entre las líneas de trazos que se muestran en la
figura 3. La inductancia puede entonces determinarse directamente
de la ecuación 6:
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Una vez más, L depende sólo de factores
geométricos.
Inductores con materiales
magnéticos
hemos demostrado que la capacitancia C de un capacitor
lleno con una sustancia dieléctrica aumenta por un factor
ke, la constante dieléctrica, relativo a la capacitancia
Co cuando no hay un dieléctrico presente:
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Nos fue posible convertir las ecuaciones encontradas
para los capacitores
vacíos para explicar el caso con el dieléctrico
reemplazando la constante de permitividad co por el producto
kee0.
Cuando un campo magnético B0 actúa sobre
una sustancia, el campo total B (incluyendo el campo aplicado B0
más el campo debido a los dipolos del material) puede
escribirse
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como lo demostramos anteriormente. Aquí km es la
constante de permeabilidad del material. Puesto que el campo
aplicado B0 incluye el factor m0, podemos toman en cuenta el
efecto del material magnético al reemplazar m0 por la
cantidad kmm0, en analogía con la sustitución
similar que se hizo en el caso de los capacitores
que contienen dieléctricos.
En el caso de un inductor, el campo B0 aparecería
en el inductor si no hubiese presente ningún material
magnéti-co. El campo B aparece en el inductor cuando
está lleno con material magnético. En la
expresión para la inductancia, podemos explicar la
presencia de un material magnético que llene al inductor
sustituyendo m0 por kmm0 o, en analogía con la
ecuación 13,
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donde L es la inductancia con el material
magnético presente y L0 es la inductancia del inductor
vacío. En-tonces, un solenoide lleno con una sustancia
magnética de constante de permeabilidad km tiene una
inductancia dada por
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la cual hallamos al sustituir m0 por kmm0 en la
ecuación 9. Ya que las constantes de permeabilidad de las
sustancias paramagnéticas o diamagnéticas no
difieren sustancialmente de 1, las inductancias de los inductores
llenos con tales sustancias son casi iguales a sus valores cuando
están vacíos, y no se obtiene un cambio mayor en
las propiedades del inductor al llenar el inductor con un
material paramagnético o diamagnético. Sin embargo,
en el caso de un material ferromagnético, pueden ocurrir
cambios sustanciales. Si bien, la constante de permeabilidad no
está definida en general para los materiales
ferromagnéticos (porque el campo total no au-menta en
proporción lineal con el campo aplicado), en
circunstancias particulares B puede ser varios miles de veces B,
Entonces, la constante de permeabilidad "efectiva" de un
ferroimán puede tener valores del orden de 103 a 104, y la
inductancia de un inductor lleno con material
ferromagnético (esto es, aquel en el que los devanados
están sobre un núcleo de un material como el
hierro) puede ser mayor que la inductancia de un conjunto similar
de devanados sobre un núcleo vacío por un factor de
103 a 104. Los núcleos ferromagnéticos propocionan
el medio para obtener inductancias grandes, de igual manera que
los materiales dieléctricos permiten obtener capacitancias
grandes en los capacitores.
Podemos describir este circuito como cualquier circuito
que contiene una bobina, como un solenoide, tiene una
autoinductancia que evita que la corriente crezca o decrezca
instantáneamente. Un elemento de circuito que tiene una
gran inductancia se denomina inductor, símbolo de espiral
horizontal. Suponemos siempre que la autoinductancia del resto
del circuito es despreciable comparada con la del
inductor.
La tensión
en la bobina
está en fase con la
corriente que pasa por ella. (tienen sus valores
máximos simultáneamente), pero la tensión
en la bobina
está adelantada a la
corriente que pasa por ella en 90º (la
tensión tiene su valor máximo antes que la
corriente)
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El valor de la fuente de tensión
que alimenta este circuito esta dado por las siguientes
fórmulas:
Voltaje
(magnitud) VS = (VR2 +
VL2)1/2
Angulo = O = Arctang (Vl / VR).
La impedancia Z sería la suma (no suma directa)
de la resistencia
y la reactancia inductiva.
Y se puede calcular con ayuda de la siguiente
fórmula:
VS /0
Impedancia = Z /0 =
————-
I /0)
Para obtener la magnitud de Z de dividen los valores de
Vs e I
Para obtener /0 de Z se resta el ángulo de
la corriente del ángulo del voltaje
Circuitos RL paralelo
En un circuito paralelo, el valor de voltaje
es el mismo para la resistencia
y para la bobina.
VS = VR = VL
La
corriente que pasa por la resistencia
está en fase con el voltaje
aplicado (el valor máximo de voltaje
coincide sucede en le mismo momento que el valor
máximo de corriente), en cambio en la bobina
la corriente se atrasa 90º con respecto al
voltaje.
(el valor máximo de voltaje
sucede antes que el valor máximo de
corriente)
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La
corriente total que alimenta este circuito se
puede obtener con ayuda de las siguientes
fórmulas:
Corriente (magnitud) It = (IR2 + IL2
)1/2
Angulo O = Arctang (-IL / IR)
La impedancia (Z) se obtiene con ayuda de la siguiente
fórmula
Vs /0
Z /0 = ————-
It
/0
Cómo se hace esto?
Para obtener la magnitud de Z dividen las magnitudes de
Vs e It para obtener la magnitud de la impedancia
Para obtener el /0 de Z se resta el ángulo
de la corriente del de voltaje
para obtener el ángulo de la impedancia.
NOTA: lo que está incluido en
paréntesis elevado a la 1/2, equivale a la raiz
cuadrada
Almacenamiento de
energía en un campo magnético
Cuando se levanta de la Tierra una piedra, el trabajo
externo efectuado se almacena como energía potencial del
sistema
Tierra-piedra. Podemos ver a este proceso de
separación de los dos objetos como un modo de almacenar
energía en el campo gravitatorio. Cuando se suelta la
piedra, la energía puede recuperarse en forma de
energía cinética conforme la piedra se va acercando
a la Tierra. De forma similar, el trabajo
efectuado al separar dos cargas de signos diferentes se almacena
en forma de energía del campo eléctrico de las
cargas; esa energía puede recuperarse permitiendo que las
cargas se junten.
Técnicamente considerarla energía
almacenada en el campo (gravitatorio o eléctrico) que
rodea a un cuerpo aislado, como la Tierra o una sola carga. Vemos
a la energía almacenada en ese campo como representativa
de la energía consumida para armar al cuerpo a partir de
su masa constituyente o sus elementos de carga, suponiendo
inicialmente que están en reposo y con separaciones
infinitas.
La energía puede almacenarse en forma parecida en un campo
magnético.
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Por ejemplo, considérense dos alambres paralelos,
rígidos y largos, que conducen corriente en la misma
dirección. Los alambres se atraen entre sí, y el
trabajo efectuado para separarlos se almacena en el campo
magnético que los rodea. Podemos recuperar esa
energía magnética almacenada adicional dejando que
los alambres regresen a sus posiciones originales.
También podemos ver a la energía como almacenada en
el campo magnético de un alambre aislado, en
analogía con la energía del campo eléctrico
de una carga aislada. Antes de considerar este tema es
útil, en general, considerar la energía almacenada
en el campo magnético de un inductor, como presentamos al
almacenamiento de
la energía en un campo eléctrico en la
sección 31-4 al considerar la energía almacenada en
un capacitor.
La densidad de
energía y el campo magnético
Ahora encontraremos una expresión para la
energía (la energía por unidad de volumen) uB en un
campo magnético. Consideremos un solenoide muy largo de
área de sección transversal A cuyo interior no
contiene ningún material. Una porción de longitud l
lejos de cualquier extremo encierra un volumen Al. La
energía magnética almacenada en esta porción
del solenoide debe estar por completo dentro de este volumen
porque el campo magnético en el exterior del solenoide es
esencialmente cero. Además, la energía almacenada
debe estar distribuida uniformemente en todo el volumen del
solenoide porque el campo magnético es uniforme en
cual-quier parte del interior. Entonces, podemos escribir la
densidad de energía como
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tenemos
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Para expresar esto en términos del campo
magnético, podemos resolver la ecuación 7
(B = moin) para i y susti-tuirla en esta ecuación.
También podemos sustituir a L usando la relación L
= mon2lA (Ec. 9). Al hacerlo tenemos finalmente
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Esta ecuación da la densidad de energía
almacenada en cualquier punto (en el vacío o en una
sustancia no magnética) en donde el campo magnético
es B. La ecuación se cumple para todas las configuraciones
del campo magnético, aun cuando la dedujimos considerando
un caso especial, el solenoide. La ecuación 32 debe
compararse con la ecuación 28 del capítulo
31,
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la cual da la densidad de energía (en un
vacío) en cualquier punto dentro de un campo
eléctrico. Nótese que tanto uB como ut. son
proporcionales al cuadrado de la cantidad de campo apropiada, B o
E.
El solenoide desempeña, en los campos magnéticos,
un papel semejante al del capacitor de placas paralelas en los
campos eléctricos. En cada caso tenemos un dispositivo
sencillo que puede usarse para generar un campo uniforme en una
región del espacio bien definida y para deducir, de manera
sencilla, las propiedades de estos campos.
Oscilaciones electromagnéticas análisis cualitativo
Ahora volvemos al estudio de las propiedades de los
circuitos que
contienen tanto un capacitor C como un inductor L. Tal circuito
forma un oscilador electromagnético, en donde la corriente
varía senoidalmente con el tiempo, en forma parecida a
como varía con el tiempo el desplazamiento de un oscilador
mecánico. De hecho, como veremos, existen varias
analogías entre los osciladores mecánicos y los
electromagnéticos. Estas analogías nos ayudan a
entender a los osciladores electromagnéticos basados en
nuestro estudio previo de los osciladores mecánicos
(capítulo 15).
Por el momento, suponemos que el circuito no incluye una
resistencia. El
circuito con resistencia, al
cual consideramos en la sección 38-7, es análogo al
oscilador amortiguado el cual lo consideramos en la
sección 15-8. Suponemos también que no está
presente en el circuito ninguna fuente de fem; los circuitos
oscilatorios con una fem presente, los cuales consideraremos
también en la sección 38-7, son análogos a
los osciladores mecánicos forzados como ya vimos en la
sección 15-9.
No estando presente ninguna fem, la energía en el circuito
proviene de la energía almacenada inicialmente en uno o
ambos de los componentes. Supongamos que el capacitor C se carga
(a partir de alguna fuente externa la cual no nos interesa) de
modo que contenga una carga qm, en cuyo momento se retira de la
fuente externa y se conecta al inductor L. En la figura 9a se
muestra el circuito LC. Al principio, la energía UF
almacenada en el capacitor es mientras que la energía UB =
zLi 2 almacenada en el inductor es inicialmente cero, porque la
corriente es cero.
El capacitor comienza ahora a descargarse a través del
inductor, moviéndose los portadores de carga positiva en
sentido contrario a las manecillas del reloj, como se muestra en
la figura 9b. Por el inductor fluye ahora una corriente i =
dq/dt, aumentando su energía almacenada desde cero. A1
mismo tiempo, al descargarse el capacitor se reduce su
energía almacenada. Si el circuito carece de resistencia,
no se disipa ninguna energía, y la disminución de
la energía almacenada en el capacitor se compensa
exactamente con un aumento en la energía almacenada en el
inductor, de modo que la energía total permanece
constante. En efecto, el campo eléctrico disminuye y el
campo magnético aumenta, transfiriéndose la
energía del uno al otro.
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En el tiempo correspondiente a la figura 9c, el
capacitor se ha descargado totalmente y la energía
almacenada en el capacitor es cero. La corriente en el inductor
ha alcanzado su valor máximo y toda la energía del
circuito está almacenada en el campo magnético del
inductor. Nótese que, aun cuando q = 0 en este instante,
dq/dt difiere de cero porque está fluyendo
carga.
La corriente en el inductor continúa
transportando carga de la placa superior del capacitor hacia la
placa inferior, como se muestra en la figura 9d; la
energía fluye ahora desde el inductor de vuelta al
capacitor a la vez que su campo eléctrico se acumula
nuevamente. Finalmente (véase la Fig. 9e), toda la
energía se transfiere de regreso al capacitor, el cual
está ahora plenamente cargado pero en el sentido opuesto
al de la figura 9a. La situación continúa ahora
mientras el capacitor se descarga hasta que la energía
haya regresado completamente al inductor, teniendo el campo
magnético y la energía correspondiente sus valores
máximos (Fig. 9g). Por último, la corriente en el
inductor carga al capacitor una vez más hasta que el
capacitor esté totalmente cargado y el circuito regresa a
su condición inicial (Fig. 9a). El proceso
comienza de nuevo, y el ciclo se repite indefinidamente. En
ausencia de resistencia, la cual causaría que se disipara
energía, la carga y la corriente regresan a sus mismos
valores máximos en cada ciclo.
La oscilación del circuito LC ocurre con una frecuencia
definida v (medida en Hz) correspondiente a una frecuen-cia
angular cv (= 2nv y medida en red/s). Como analizaremos en
la sección siguiente, co está determinada por L y
C. Mediante elecciones apropiadas de L y C podemos construir
circuitos oscilatorios con frecuencias que van desde abajo de las
frecuencias de audio (10 Hz) hasta arriba de las frecuencias de
las microondas (10
GHz). Para determinar la carga en función
del tiempo, podemos medir la diferencia de potencial variable V,
(t) que
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existe entre los extremos del capacitor C, la cual se
relaciona con la carga q según
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Podemos determinar la corriente insertando en el
circuito un resistor R tan pequeño que su efecto sobre el
circuito sea despreciable. La diferencia de potencial VR(t) en R
es proporcional a la corriente, de acuerdo con VR=iR. Si
quisiéramos exhibir Vc (t) y VR (t), como por ejemplo en
la pantalla de un osciloscopio,
el resultado podría parecerse al mostrado en la figura
10.
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oscilatorio LC, se presentan dos clases de
energía. Una es la energía potencial del resorte
comprimido o estirado; la otra es la energía
cinética del bloque al moverse. Estas se obtienen de las
fórmulas familiares en la primera columna de la tabla 1.
La tabla indica que un capacitor es en cierto modo como un
resorte, un inductor es como un objeto masivo (el bloque), y
ciertas cantidades electromagnéticas "corresponden" a
ciertas propiedades mecánicas, es decir,
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La comparación de la figura 9, que muestra las
oscilaciones de un circuito LC que carece de resistencia, con la
figura 6 del capítulo 8, la cual muestra las oscilaciones
en un sistema bloque-resorte carente de fricción, indica
cuán cercana es la correspondencia entre ambas.
Nótese cómo v e i corresponden en las dos figuras;
también x y q. Nótese también cómo en
cada caso la energía alterna entre dos formas, la
magnética y la eléctrica para el sistema LC, y
cinética y potencial para el sistema bloque-resorte.
En la sección 15-3 vimos que la frecuencia angular natural
de un oscilador armónico simple mecánico
es
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La correspondencia entre los dos sistemas sugiere
que para determinar la frecuencia de oscilación de un
circuito LC (sin resistencia), k debería ser reemplazada
por 1/C y m por L, lo cual da
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Esta fórmula también puede deducirse a
partir de un riguroso análisis de la oscilación
electromagnética, como se muestra en la siguiente
sección
Oscilaciones electromagnéticas análisis
cuantitativo
Ahora deducimos una expresión para la frecuencia
de oscilación de un circuito LC (sin resistencia) usando
el principio de conservación de la
energía.
La energía total U presente en cualquier instante
en un circuito oscilatorio LC es
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lo cual indica que, en cualquier tiempo arbitrario, la
energía se almacena parcialmente en el campo
magnético del inductor, y parcialmente en el campo
eléctrico del capacitor. Si suponemos que la resistencia
del circuito es cero, no se disipa energía, y U permanece
constante con el tiempo, aunque i y q varían. En lenguaje
más formal, dUJdt debe ser cero. Esto conduce a
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Dejamos que q represente a la carga en una placa en
particular del capacitor (por ejemplo, la placa superior en la
Fig. 9), e i representa entonces la velocidad a la que la carga
fluye dentro de esa placa (de modo que i > 0 cuando fluye
carga positiva en la placa). En este caso
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y al sustituir en la ecuación 38
obtenemos
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La ecuación 39 describe las oscilaciones de un
circuito LC (sin resistencia). Para resolverlo, notemos la
semejanza de la ecuación 4 del capítulo
15,
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la cual describe la oscilación mecánica de una partícula en un
resorte. Fundamentalmente, cuando se comparan estas dos
ecuaciones es cuando surgen las correspondencias de la
ecuación 35.
La solución de la ecuación 40 obtenida en el
capítulo 15 era
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donde x,, es la amplitud del movimiento- y ¢ es una
constante de fase arbitraria. Puesto que q corresponde a x,
podemos escribir la solución de la ecuación 39
como
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donde co es todavía la desconocida frecuencia
angular de las oscilaciones electromagnéticas.
Podemos probar si la ecuación 41 es realmente una
solución de la ecuación 39 al sustituirla junto con
su segunda derivada en aquella ecuación. Para hallar la
segunda derivada, escribimos
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y
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al sustituir a q y d Iq/dt Z en la ecuación 39
nos da
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Cancelando a q„, cos (cvt + ¢) y reordenando
llegamos a
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Así, si a w se le da el valor de 1J L , la
ecuación 41 es realmente una solución de la
ecuación 39. Esta expresión de ce concuerda con la
ecuación 36, a la cual llegamos por la correspondencia
entre las oscilaciones mecánicas y
electromagnéticas.
La constante de fase 0 en la ecuación 41 está
determinada por las condiciones en t = 0. Si la condición
inicial es como se representó en la figura 9a, entonces
ponemos 0 = 0 con objeto de que la ecuación 41 pueda
predecir que q = q,. en t = 0. ¿Qué
condición física inicial
está implicada por 0 = 90°? ¿180°?
¿270°? ¿Cuáles de los estados mostrados
en la figura 9 corresponden a estas elecciones de 0?
La energía
eléctrica almacenada en el circuito LC, usando la
ecuación 41, es
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y la energía magnética, usando la
ecuación 42, es
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A1 sustituir co por la ecuación 44 en esta
última ecuación da
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La figura 11 muestra gráficas de U, (t) y UB (t) para el caso de
0 = 0. Nótese que (1) los valores
máximos de UE y UB son los mismos (= qm/2C); (2) la suma
de UE y UB es una constante (= qm/2C); (3) cuando UE tiene su
valor máximo, U,g es cero y viceversa; y (4) UB y UE
alcanzan cada una su valor máximo dos veces durante cada
ciclo. Este análisis apoya el análisis cualitativo
de la sección 38-5. Compárese esta
explicación con la presentada en la sección 15-4
para las transferencias de energía en un oscilador
armónico simple mecánico.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas
En cualquier circuito LC real siempre está
presente una resistencia R. Cuando tomamos en cuenta esta
resistencia, hallamos que la energía
electromagnética total U no es constante sino que
disminuye, con el tiempo conforme se disipa como energía
interna en el resistor. Como veremos, la analogía con el
oscilador bloque-resorte amortiguado de la sección 15-8 es
exacta. Como antes, tenemos
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U ya no es constante sino más bien
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significando el signo menos que la energía
almacenada U disminuye con el tiempo, convirtiéndose en
energía interna en el resistor con una velocidad de PR. A1
derivar la ecuación 47 y al combinar el resultado con la
ecuación 48, tenemos
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Sise sustituye a i por dq/dt y a dildt por d Iq/dt 2 y
al dividir entre i, obtenemos
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q- la cual describe las oscilaciones LC amortiguadas. Si
R = 0, la ecuación 49 se reduce, como debe ser, a la
ecuación 39, la cual describe las oscilaciones LC no
amortiguadas.
Afirmamos sin demostrarlo que la solución general de la
ecuación 49 puede escribirse en la
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Donde
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Usando las analogías de la ecuación 35,
vemos que la ecuación 50 es la equivalente exacta de la
ecuación 38 del capítulo 15, la ecuación
para el desplazamiento en función
del tiempo en el movimiento armónico simple amortigua-do.
A1 comparar la ecuación 51 con la ecuación 39 del
capítulo 15, vemos que la resistencia R corresponde a la
constante de amortiguamiento b del oscilador mecánico
amortiguado.
La figura 12 muestra la corriente en un circuito LC amortiguado
en función del tiempo. (Compárese con la Fig. 19
del capítulo 15) La corriente oscila senoidalmente con una
frecuencia co', y la amplitud de la corriente disminuye
exponencialmente con el tiempo. La frecuencia co' es
estrictamente menor que la frecuen-cia co (= 1/ C) de las
oscilaciones no amortiguadas, pero en la mayoría de los
casos de interés
podemos poner co' = co con error despreciable.
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Oscilaciones forzadas y resonancia
Consideremos un circuito LC amortiguado que contiene una
resistencia R. Si el amortiguamiento es pequeño, el
circuito oscila con una frecuencia co = 1/ L , a la cual llamamos
la frecuencia natural del sistema.
Supongamos ahora que excitamos el circuito con una fem variable
en el tiempo dada por
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Usando un generador externo. Aquí w", que puede
variarse a voluntad, es la frecuencia de esta fuente externa.
Definimos tales oscilaciones como forzadas. Cuando la fem
descrita por la ecuación 52 se aplica por vez primera,
aparecen en el circuito corrientes transitorias variables en
el tiempo. Nuestro interés, sin embargo, está en
las corrientes senoidales que existen en el circuito
después de que estas transitorias iniciales han
desaparecido. Cualquiera que pueda ser la frecuencia natural t),
estas oscilaciones de la carga, la corriente, o la diferencia de
potencial en el circuito deben ocurrir a la frecuencia de
excitación externa c)".
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La figura 13 compara al sistema oscilatorio
electromagnético con un sistema mecánico
correspondiente. Un vibrador V, que imprime una fuerza externa
alterna, corresponde al generador V, el cual imprime una fem
externa alterna. Las demás cantidades "corresponden" como
antes (véase la tabla 1): el desplazamiento a la carga y
la velocidad a la corriente. La inductancia L, que se opone a los
cambios en la corriente, corresponde a la masa (inercia) m, la
cual se opone a los cambios en la velocidad. La constante k del
resorte y el recíproco de la capacitancia C-' representan
la "rigidez" de sus sistemas, dando,
respectivamente, la respuesta (desplazamiento) del resorte a la
fuerza y la respuesta (carga) del capacitor a la fem.
En el capítulo 39 dedujimos la solución para la
corriente en el circuito de la figura 13a, la cual podemos
escribir en la forma
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En la ecuación 53, 1a amplitud de la corriente im
es una medida de la respuesta del circuito de la figura 13a a la
fem de excitación. Es razonable suponer (por ejemplo, de
la experiencia de impulsar un columpio) que im es grande cuando
la frecuencia de excitación co" está cerca de la
frecuencia natural m del sistema. En otras palabras, esperamos
que una gráfica de i„, contra cv" exhiba un
máximo cuando
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a lo cual llamamos la condición de
resonancia.
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En la ecuación 53, 1a amplitud de la corriente im
es una medida de la respuesta del circuito de la figura 13a a la
fem de excitación. Es razonable suponer (por ejemplo, de
la experiencia de impulsar un columpio) que im es grande cuando
la frecuencia de excitación co" está cerca de la
frecuencia natural m del sistema. En otras palabras, esperamos
que una gráfica de i„, contra cv" exhiba un
máximo cuando
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a lo cual llamamos la condición de
resonancia.
La figura 14 muestra tres gráficas de i. en función de la
razón c)"/(», correspondiendo cada gráfica a
un valor diferente de la resistencia R. Vemos que cada uno de
estos picos tiene realmente un valor máximo cuando la
condición de resonancia de la ecuación 54 se
satisface. Nótese que, al disminuir R, el pico de la
resonancia se vuelve más agudo, como lo muestran las tres
flechas dibujadas en el nivel a la mitad del máximo de
cada curva.
La figura 14 indica la experiencia común de sintonizar un
aparato de radio. Al girar el botón de sintonía,
estamos ajustando la frecuencia natural co de un circuito LC
interno para que coincida con la frecuencia de excitación
w" de la señal transmitida por la antena de la
estación transmisora; estamos buscando la resonancia. En
un área metropolitana, donde existen muchas señales
cuyas frecuencias están a menudo muy cercanas entre
sí, la finura de la sintonización resulta
importante.
La figura 14 es semejante a la figura 20 del capítulo 15,
que muestra los picos de resonancia de las oscilaciones forzadas
de un oscilador mecánico como el de la figura 13b.
También en este caso, la respuesta máxima ocurre
cuando co " = co, y los picos de resonancia se vuelven más
agudos al reducirse el factor de amortiguamiento (el coeficiente
b). Nótese que las curvas de la figura 14 y de la figura
20 del capítulo 15 no son exactamente iguales. La primera
es una gráfica de la amplitud de la corriente, mientras
que la última es una gráfica de la amplitud del
desplazamiento. La variable mecánica que corresponde a la
corriente no es el desplazamiento sino la velocidad. Sin embargo,
ambos conjuntos de
curvas ilustran el fenómeno de resonancia.
- Los circuitos de corriente
alterna
Corrientes alternas
Los circuitos de corrientes alternas (término
comúnmente abreviado corno CA) se basan en los sistemas de
distribución de energía
eléctrica, en la radio, en
la
televisión, y en otros dispositivos de comunicación, así como en una amplia
variedad de motores
eléctricos. El calificativo de "alterna" significa que
la corriente cambia de dirección, alternando
periódicamente de una dirección a la otra. Por lo
general, trabajamos con corrientes que varían de forma
senoidal con el tiempo; sin embargo, como hemos visto previamente
en el caso del movimiento ondulatorio, las formas de onda
complejas pueden considerarse como combinaciones de ondas senoidales
(por medio del análisis de Fourier) y, por
analogía, podemos entender el comportamiento de los
circuitos que tienen corrientes que dependen de modo arbitrario
del tiempo entendiendo primero el comportamiento de los circuitos
que tienen corrientes que varían senoidalmente con el
tiempo.
Previamente hemos analizado la corriente producida
cuando se aplica una fem que varia con el tiempo en formas
distintas a circuitos que contienen elementos individuales o
combinados de resistencia R, inductancia L y capacitancia C. En
el capítulo 7 hemos estudiado las corrientes estacionarias
resultantes de la aplicación de fem estacionaria a
redes puramente
resistivas. También vimos la respuesta de un circuito RC,
de una sola malla cuando se aplica súbitamente una fem y,
por otra parte, en el capítulo 12 se consideró de
manera similar el circuito LR. En el capítulo 12
también se analiza el comportamiento de un circuito LC sin
una fuente de fem y el comportamiento de un circuito RLC frente a
una fem senoidal muy próxima a la resonancia.
Ahora consideraremos el comportamiento de la corriente alterna
en un circuito RLC de una sola malla cuando éste se excita
por una fuente de fem que varía con el tiempo
según
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donde em es la amplitud de la fem variable. La
frecuencia angular w (en rad/s) se relaciona con la frecuencia v
(en Hz) de acuerdo con w = 2pv. En la figura 1 se indica una
manera posible de producir una fem alterna senoidal. Al girar la
bobina en un campo magnético uniforme, se induce una fem
senoidal de acuerdo con la ley de Faraday. Éste es un
ejemplo sencillo de generador de CA, del cual podría
encontrarse una versión más compleja en una planta
de suministro de energía. En un circuito, el
símbolo de una fuente de fem alterna, como la de la figura
1, es Nuestro objetivo en
este capítulo es entender el resultado de aplicar una fem
alterna de la forma de la ecuación 1, a un circuito que
contiene elementos resistivos, inductivos y capacitivos. Existen
muchas maneras de conectar estos elementos en un circuito; como
ejemplo del análisis de los circuitos de CA, en este
capítulo consideraremos el circuito en serie RLC que se
muestra en la figura 2, donde están conectados en serie un
resistor R, un inductor L y un capacitor C a una fem alterna de
la forma de la ecuación, 1.
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Durante un breve espacio, una vez que se aplica la fem
inicialmente, la corriente varía en forma errática
con el tiempo. Estas variaciones, llamadas transitorios,
desaparecen rápidamente, después de lo cual vemos
que la corriente varía senoidalmente con la misma
frecuencia angular que la fuente de fem. Suponemos que analizamos
el circuito después de que se ha llegado a esta
condición, en la que la corriente puede escribirse
como
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donde im es la amplitud de la corriente (la magnitud
máxima de la corriente) y f es una constante de fase o
ángulo de fase que indica la relación de fases
entre e e i. (Nótese que en la Ec. 1 hemos supuesto una
constante de fase de 0 para la fem. Adviértase
también que en la Ec. 2 escribimos la constante de fase
con un signo menos; esta elección es la acostumbrada al
considerar la relación de fases entre la corriente y la
fem.) En la ecuación 2, la frecuencia angular w es igual
que en la ecuación 1. Supongamos que em, w, R, L y C son
conocidas. El objetivo de
nuestro cálculo es
encontrar im y f, de modo que la ecuación 2 caracterice
completamente a la corriente. Usamos un método
general para el circuito RLC en serie; puede emplearse un
procedimiento
similar para analizar circuitos más complicados (que
contengan elementos en varias combinaciones en serie y en
paralelo). También puede aplicarse a una fem no senoidal,
porque pueden escribirse fem más complicadas en
términos de las fem senoidales al aplicar las técnicas
del análisis de Fourier y puede considerarse, en forma
semejante, que la corriente resultante es la superposición
de muchos términos de la forma de la ecuación 2.
Por lo tanto, es esencial la comprensión del
circuito RLC en serie
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para entender el comportamiento que depende del tiempo
en todos los circuitos. En este capítulo no nos ocuparemos
específicamente del fenómeno de la resonancia, el
cual vimos en el capítulo 12. La frecuencia angular w es
completamente arbitraria y no está necesariamente
relacionada con la frecuencia de oscilación angular
natural del circuito. Nuestra deducción general de la
ecuación 2 en las dos secciones siguientes abarca la
resonancia como un caso especial, pero el resultado general
permanece válido para cualquier w.
Tres elementos por separado
Antes de analizar el circuito de la figura 2 es
útil analizar la respuesta de cada uno de los tres
elementos por separado cuando se aplica una corriente alterna de
la forma de la ecuación 2. Suponemos que tratamos con
elementos ideales; por ejemplo, el inductor tiene sólo
inductancia y no tiene resistencia ni capacitancia.
Un elemento resistivo
La figura 3a muestra un resistor en una sección
de un circuito en el que la corriente i (dada por la Ec. 2) se
estableció por medios no
ilustrados en la figura. Al definir VR (= Va – Vb) como la
diferencia de potencial en el resistor, podemos
escribir
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La comparación entre las ecuaciones 2 y 3
demuestra que las cantidades VR e i variables con
el tiempo están en fase: alcanzan sus valores
máximos al mismo tiempo. Esta relación de fases se
ilustra en la figura 3b. La figura 3c muestra otra manera de ver
la situación. Se le llama diagrama
fasor, donde los fasores, representados por las flechas
vacías, giran en el sentido contrario a las manecillas del
reloj con una frecuencia angular w alrededor del origen. Los
fasores tienen las propiedades siguientes. (1) La longitud del
fasor es proporcional al valor máximo de la cantidad
alternante que interviene: para la diferencia de potencial,
(VR)max = imR de la ecuación 3, y para la corriente, im de
la ecuación 2. (2) La proyección de un fasor sobre
el eje vertical da el valor instantáneo de la cantidad
alternante considerada. Las flechas sobre el eje vertical
representan a las cantidades VR e ¡variables con el tiempo,
como en las ecuaciones 2 y 3, respectivamente. El hecho de que VR
e i estén en fase es consecuencia de que sus fasores
estén a lo largo de la misma línea en la figura
3c.
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En el diagrama de
fasores establecíamos la relación entre el
movimiento circular uniforme y el movimiento armónico
simple. Se recordará que la proyección sobre
cualquier eje de la posición de una partícula que
se mueva con un movimiento circular uniforme da un desplazamiento
que varía senoidalmente, en analogía con el
movimiento armónico simple. Aquí, al girar los
fasores, sus proyecciones sobre el eje vertical dan una corriente
o un voltaje que varían senoidalmente. Siga usted la
rotación de los fasores en la figura 3c y
convénzase por sí mismo de que este diagrama de
fasores describe a las ecuaciones 2 y 3 completa y
correctamente.
Un elemento inductivo
La figura 4a muestra la parte de un circuito que
contiene sólo un elemento inductivo. La diferencia de
potencial VL (= Va – Vb) en el inductor se relaciona con la
corriente según la ecuación 3 del capítulo
12:
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usando la ecuación 2 para la corriente. La
identidad
trigonométrica cos q = sen (q + p/2) nos permite escribir
la ecuación 4 como
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La comparación entre las ecuaciones 2 y 5
demuestra que las cantidades VL e i variables con el tiempo no
están en fase; Están un cuarto de ciclo fuera de
fase, con VL adelante de i (o i atrás de VL ). Se dice
comúnmente que, en un inductor, la corriente se atrasa con
respecto a la diferencia de potencial en 90°. Esto se muestra
en la figura 4b, la cual es una gráfica de las ecuaciones
2 y 5. Obsérvese que, en el transcurso del tiempo, i
alcanza su máximo un cuarto de ciclo después de que
VL lo hace. En el diagrama de fasores de la figura 4c se indica
esta relación de fase entre i y VL. Al girar los fasores
en el sentido contrario a las manecillas del reloj, es evidente
que el fasor i sigue (es decir, se atrasa) al fasor VL un cuarto
de ciclo después. Al analizar circuitos de CA, es
conveniente definir la reactancia inductiva XL:
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en cuyos términos podemos reescribir la
ecuación 5 como
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Al comparar las ecuaciones 3 y 7 vemos que la unidad del
SI para XL debe ser la misma que la de R, es decir, el ohm. Esto
puede verse directamente al comparar la ecuación 6 con la
expresión para la constante inductiva de tiempo, TL = L/R.
Si bien ambas se miden en ohms, una reactancia no es lo mismo que
una resistencia. El valor máximo de VL es, de la
ecuación 7,
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Un elemento capacitivo
La figura 5a muestra la sección de un circuito
que contiene sólo un elemento capacitivo. Una vez
más, se ha establecido una corriente i dada por la
ecuación 2 por medios no ilustrados aquí. Sea q la
carga en la placa que está a la izquierda, de modo que una
corriente positiva en esa placa provoca un aumento en q; esto es,
i = dq/dt implica que dq > 0 cuando i > 0. La diferencia de
potencial VC (= Va – Vb) en los extremos del capacitor
está dada por
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Al integrar la corriente i dada por la ecuación
2, obtenemos
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donde hemos usado la identidad
trigonométrica cos q = – sen (q – p/2). Al comparar las
ecuaciones 2 y 10, vemos que i y Vc están a 90° fuera
de fase, con i adelante de Vc. La figura 5b muestra a i y Vc
graficadas en función del tiempo; nótese que i
alcanza su máximo un cuarto de ciclo ante: que Vc, o sea
90°. De igual manera podemos decir que, en un capacitor, la
corriente se adelanta a la diferencia de potencial en 90°. En
el diagrama de fasores de la figura 5c se muestra la
relación de fase. Al girar los fasores en el sentido
contrario a las manecillas del reloj, es evidente que el fasor i
se adelanta al fasor Vc en un cuarto de ciclo. En analogía
con la reactancia inductiva, es conveniente definir a la
reactancia capacitiva Xc,
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en cuyos términos podemos rescribir la
ecuación 10 como
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Al comparar las ecuaciones 3 y 12, vemos que la unidad
de Xc debe ser el ohm. Esta conclusión se deduce
también cuando se compara a la ecuación 11 con la
expresión tc = RC para la constante capacitiva de tiempo.
El valor máximo de Vc es, de la ecuación
12
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La tabla 1 resume los resultados encontrados de los tres
elementos individuales del circuito.
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Circuito RLC de una sola maya
Una vez concluido nuestro análisis de los
elementos R, L y C por separado, volvamos ahora al
análisis del circuito de la figura 2, en el cual
están presentes los tres elementos. La fem está
dada por la ecuación 1
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y la corriente en el circuito tiene la forma de la
ecuación 2,
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Nuestro objetivo es determinar im y f.
Comenzamos aplicando el teorema del circuito cerrado al
circuito de la figura 2, obteniendo 
o sea
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La ecuación 14 puede resolverse para la amplitud
de la corriente im y la fase f usando una variedad de técnicas:
análisis trigonométrico, análisis
gráfico usando fasores y análisis
diferencial.
Análisis trigonométrico
Ya hemos obtenido las relaciones entre la diferencia de
potencial entre cada elemento y la corriente por cada elemento.
Por tanto, sustituyamos las ecuaciones 3, 7 y 12 en la
ecuación 14, de lo cual obtenemos
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donde hemos sustituido la ecuación 1 para la fem.
Si utilizamos identidades trigonométricas, la
ecuación 15 puede escribirse
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Llevando a cabo algunos pasos trigonométricos
más, la ecuación 16 puede reducirse a
toda vez que hemos elegido
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La amplitud de la corriente se determina directamente de
la ecuación 17:
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Esto completa el análisis del circuito RLC en
serie, porque hemos alcanzado nuestro objetivo de expresar la
amplitud de la corriente im y la fase f en términos de los
parámetros del circuito (em, w, R, L y C). Nótese
que la fase f no depende de la amplitud em donde la fem aplicada;
al cambiar em cambia im pero no f: la escala del
resultado cambia, pero no su naturaleza. La
cantidad en el denominador de la ecuación 19 se llama la
impedancia Z del circuito RLC en serie:
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y por lo tanto, la ecuación 19 puede
escribirse
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lo que nos recuerda la relación i = e/R para
redes resistivas
de una sola malla con fem estacionaria. La unidad en el SI de la
impedancia es, evidentemente, el ohm. La ecuación 19 da la
amplitud de la corriente, y la figura 14 del capítulo 12
es una gráfica de la ecuación 19. La corriente im
tiene su valor máximo cuando la impedancia Z tiene su
valor mínimo R, lo cual ocurre cuando XL = Xc o
sea
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que es la condición de la resonancia dada en la
ecuación 54 del capítulo 12. Si bien la
ecuación 19 es un resultado general válido para
cualquier frecuencia de excitación, ésta incluye la
condición de resonancia como un caso especial.
Análisis gráfico
Es instructivo usar un diagrama de fasores para analizar
el circuito RLC en serie. La figura 6a muestra un fasor que
representa a la corriente. Tiene la longitud im y su
proyección sobre el eje vertical es im sen (wt -f), que es
la corriente i variable con el tiempo. En la figura 6b hemos
dibujado fasores que representan a las diferencias de potencial
individuales entre los extremos de R, L y C. Nótense sus
valores máximos y las proyecciones variables con el tiempo
sobre el eje vertical. Debemos asegurarnos de que las fases
estén de acuerdo con nuestras conclusiones del
capítulo 13: VR está en fase con la corriente, VL
se adelanta a la corriente en 90°, y Vc se atrasa de la
corriente en 90°. De acuerdo con la ecuación 14, la
suma algebraica de las proyecciones (instantáneas) de VR,
VL y VC sobre el eje vertical da el valor (instantáneo) de
e. En cambio, insistimos en que la suma vectorial de las
amplitudes de los fasores (VR)max, (VL)máx, y
(VC)máx da un fasor cuya amplitud es la em de la
ecuación 1. La proyección de em sobre el eje
vertical es la e variable con el tiempo de la ecuación 1;
esto es, es VR + VL + VC como lo asevera la ecuación 14.
En las operaciones con
vectores, la suma
(algebraica) de las proyecciones de cualquier número de
vectores en una
línea recta dada es igual a la proyección sobre esa
línea de la suma (vectorial) de esos vectores. En la
figura 6c, hemos obtenido primero la suma vectorial de (VL)max, y
(VC)max, que es el fasor (VR)max, – (VC)max. En se-guida
obtenemos la suma vectorial de este fasor con (VR)máx.
Puesto que estos dos fasores están en ángulo recto,
la amplitud de su suma, la cual es la amplitud del fasor em,
es
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usando las ecuaciones 3, 8, y 12 para reemplazar a las
amplitudes de los fasores. La ecuación 23 es
idéntica a la ecuación 19 que obtuvimos del
análisis trigonométrico. Como se muestra en la
figura 6c, f es el ángulo entre los fasores im y em y de
la figura vemos que
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la cual es idéntica a la ecuación
18.
La figura 6b se dibujó arbitrariamente con XL
> Xc; esto es, supusimos que el circuito de la figura 2 es
más inductivo que capacitivo. En esta hipótesis, im se atrasa de em (si bien no
tanto como un cuarto de ciclo como lo hizo en el elemento
puramente inductivo mostrado en la Fig. 4). El ángulo de
fase f en la ecuación 23 (así como en la Ec. 2) es
positivo pero menor de + 90°. Si, por otra parte, tenemos que
XC > XL el circuito sería más capacitivo que
inductivo e im se adelantaría a em (si bien no tanto como
un cuarto de ciclo, como lo hizo en el elemento puramente
capacitivo mostrado en la Fig. 5). Consistente con este cambio de
atrasado a adelantado, el ángulo f en la ecuación
23 (así como en la Ec. 2) resultaría negativo
automáticamente. Otra manera de interpretar la
condición de resonancia hace uso del diagrama de fasores
de la figura 6. En la resonancia, XL = Xc y, de acuerdo con la
ecuación 23, f = 0. En este caso, los fasores
(VL)máx, y (VC)máx en la figura 6 son iguales y
opuestos, y así im está en fase con em. Una vez
más, téngase presente que, mientras que las
técnicas que hemos demostrado aquí son
válidas para cualquier circuito de CA, los resultados son
válidos únicamente para el circuito RLC en serie.
Además, recuérdese que estamos examinando al
circuito sólo en la situación de estado
estacionario, o sea una vez que hayan desaparecido las
variaciones transitorias breves.
Análisis diferencial
Con VC = q/C y VL = di/dt , la ecuación 14 puede
escribirse
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o, usando i = dq/dt,
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Llevando a cabo las analogías
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que ya habíamos usado en el capítulo 12,
podemos adaptar inmediatamente el resultado dado para el
oscilador mecánico amortiguado y forzado, al oscilador
electromagnético amortiguado (esto es, resistivo) y
excitado:
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donde, como puede usted demostrarlo, wZ es G. Al derivar
la ecuación 27 para hallar la corriente, obtenemos la
ecuación 2, i = im sen (wt – f), siendo im = em /Z. Se
encomienda también al lector demostrar que la fase f dada
se reduce a la ecuación 18 cuando reemplazamos las
cantidades mecánicas con sus análogas
electromagnéticas. Es una buena técnica buscar las
analogías, como lo hicimos aquí, entre la
resonancia mecánica y la electromagnética, lo cual
no sólo proporciona un mayor acercamiento a los
fenómenos nuevos sino que también ahorra trabajo en
su análisis, puesto que podemos adaptar los resultados
matemáticos obtenidos de un sistema al análisis del
otro. Reconocemos las características comunes de los dos
sistemas: un elemento excitador senoidal; un elemento inercial,
que se resiste a los cambios de movimiento (m, que se resiste a
los cambios en v, y L, que se resiste a los cambios en i); un
elemento disipante (b y R, donde cada parte de los
términos es lineal en cuanto a la velocidad de cambio de
la coordenada); y un elemento de restitución (k y 1/C,
donde cada parte de los términos es lineal en cuanto a la
coordenada). Las características comunes de ambas soluciones
son: una oscilación senoidal estable a la frecuencia de
excitación después de un periodo inicial de
transitorios rápidamente decadentes; una diferencia de
fase entre el excitador y la coordenada oscilatoria que es
independiente de 1a amplitud de excitación; y la
resonancia a una frecuencia en particular cuyo valor está
determinado sólo por los elementos inercia] y de
restitución.
Potencia en los
circuitos de CA
En un circuito eléctrico, la energía se
suministra por la fuente de fem, almacenada por los elementos
capacitivos e inductivos, y se disipa en los elementos
resistivos. La conservación de la energía requiere
que, en un tiempo en particular, la velocidad a la que se
suministra la energía por la fuente de fem debe ser igual
a la velocidad a la cual se almacena en los elementos capacitivos
e inductivos más la velocidad a la que se disipa en los
elementos resistivos. (Suponemos elementos capacitivos e
inductivos ideales que carezcan de resistencia interna.)
Consideremos un resistor como un elemento aislado (como se
muestra en la Fig. 3) en un circuito de CA en el que la corriente
está dada por la ecuación 2. (Examinamos al
circuito en su estado estacionario, un tiempo suficientemente
largo después de que la fuente de fem haya sido conectada
al circuito.) De igual modo que en un circuito de CC, la
velocidad de disipación de energía (el
calentamiento de Joule) en un resistor de un circuito de CA
está dado por
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La energía disipada en el resistor fluctúa
con el tiempo, de igual modo que la energía almacenada en
los elementos inductivos o capacitivos. En la mayoría de
los casos de corrientes alternas, no merece atención la forma cómo varía
la potencia durante
cada ciclo; el interés principal está en la
potencia
promedio disipada durante cualquier ciclo en particular. La
energía promedio almacenada en los elementos inductivos o
capacitivos permanece constante durante cualquier ciclo completo;
en efecto, la energía se transfiere de la fuente de fem a
los elementos resistivos, en donde se disipa. Por ejemplo, la
compañía de suministro de energía
proporciona una fuente de fem de CA a nuestros hogares que
varía con una frecuencia de v = 60 Hz. Se nos cobra
dé acuerdo con la energía promedio que consumimos;
a la compañía no le preocupa si estamos operando un
aparato puramente resistivo, en el que se disipa la potencia
máxima en fase con la fuente de fem, o un aparato
parcialmente capacitivo y parcialmente inductivo como un motor, en donde
la corriente máxima (y por lo tanto, la potencia
máxima) puede ocurrir fuera de fase con la fem. Si la
compañía que suministra la energía
midió el uso de ésta en un tiempo menor que 1/60 s,
ellos observarán variaciones en la velocidad a la que
usamos la energía, pero al medirla durante un tiempo mayor
que 1/60 s sólo la velocidad promedio del consumo de
energía será de importancia. Escribimos la potencia
promedio P al considerar el valor promedio de la ecuación
28. El valor promedio del sen2 durante cualquier número
completo de ciclos es de _, independientemente de la constante de
fase. La potencia promedio es, entonces,
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lo cual podemos escribir también como
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La cantidad
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es igual al valor de la raíz media
cuadrática (rms, de root-mean-square) de la
corriente:
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Es el resultado que se obtendría al elevar
primero al cuadrado la corriente, luego considerar su promedio (o
media) durante un número completo de ciclos, y luego
extraer la raíz cuadrada. Es conveniente escribir la
potencia en términos de los valores rms, porque los
medidores del voltaje y de la corriente de CA están
diseñados para indicar los valores rms. La
instalación común de 120 V en el hogar es un valor
rms; el voltaje de pico es 
En términos de i, la ecuación 31 puede
escribirse
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La ecuación 32 es semejante a la expresión
P = i2rmsR, la cual describe la potencia disipada en un resistor
en un circuito de CC. Si reemplazamos a las corrientes y voltajes
de CC con los valores rms de las corrientes y voltajes de CA,
pueden emplearse las expresiones de la disipación de
potencia de CC para obtener la disipación promedio de
potencia de CA. Hasta ahora sólo hemos considerado la
potencia disipada en un elemento resistivo aislado dentro de un
circuito de CA. Consideremos ahora un circuito de CA completo
desde el punto de vista de la disipación de potencia. Para
este propósito elegimos de nuevo el circuito RLC en serie
como ejemplo. El trabajo dW efectuado por una fuente de fem e
sobre una carga dq está dado por dW = e dq. La potencia P
(= dW/dt) es, entonces, e dq/dt = e i, o, usando las ecuaciones 1
y 2,
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Rara vez estamos interesados en esta potencia
instantánea que, por lo general, es una función de
tiempo rápidamente fluctuante. Para hallar la potencia
promedio, usemos primero una identidad trigonométrica para
desarrollar el factor sen (w t – f ):
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Al promediar ahora para un ciclo completo, el
término sen2 w t da el valor, _ mientras que el
término sen w t cos w t da 0, como puede demostrarse
(véase el problema 22. La potencia promedio es,
entonces
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Reemplazando tanto em como im por sus valores
rms
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podemos escribir la ecuación 35 como
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La cantidad cos f en la ecuación 36 se llama
factor de potencia del circuito de CA. Calculemos el factor de
potencia para el circuito RLC en serie. De la ecuación 18,
tan f = (XL – XC)/R, podemos demostrar que
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De acuerdo con la ecuación 36, la potencia
entregada al circuito por la fuente de fem es máxima
cuando cos f = 1, lo cual sucede cuando el circuito es puramente
resistivo y no contiene capacitores ni inductores, o en la
resonancia cuando XL = XC de modo que Z = R. En este caso la
potencia promedio es
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Si la carga es fuertemente inductiva, como lo es a
menudo en el caso de los motores, los
compresores,
etcétera, la potencia entregada a la carga puede llevarse
al máximo aumentando la capacitancia del circuito. Las
compañías de suministro de energía colocan a
menudo capacitores a lo largo de sus sistemas de
transmisión para conseguirlo.
En los circuitos de CC la disipación de la
potencia en una carga resistiva. Para determinada demanda de
potencia, tenemos nuestra elección de una corriente i
relativamente grande y una diferencia de potencial V
relativamente pequeña, o a la inversa, siempre que su
producto
permanezca constante. Del mismo modo, en circuitos de CA
puramente resistivos (en los que el factor de potencia, cos f en
la ecuación 36, es igual a 1), la disipación de la
potencia promedio está dada por la ecuación 38 (P =
irms erms) y tenemos la misma elección en cuanto a los
valores relativos de irms y erms
En los sistemas de distribución de energía
eléctrica es deseable, tanto por razones de seguridad como de
diseño
eficiente del equipo, tener voltajes relativamente bajos tanto en
el extremo generador (la planta de energía
eléctrica) como en el extremo receptor (el hogar o la
fábrica). Por ejemplo, nadie quiere que un tostador
eléctrico o un tren eléctrico de juguete opere a,
digamos, 10 kV.
Por otra parte, en la transmisión de la
energía eléctrica desde la planta generadora hasta
el consumidor,
deseamos la corriente mínima práctica (y por tanto
la diferencia de potencial máxima práctica) de tal
modo que sea mínima la disipación i2R de la
energía en la línea de transmisión. Valores
tales como erms = 350 kv son típicos. Así, existe
una desproporción fundamental entre los requisitos para
una transmisión eficiente, por un lado, y la
generación segura y eficiente y el consumo, por
otro lado.
Para superar este problema, necesitamos un dispositivo
que sea capaz, según lo requieran las consideraciones del
diseño,
de elevar (o bajar) la diferencia de potencial en un circuito,
manteniendo al producto irms erms esencialmente constante. Tal
dispositivo es el transformador de corriente alterna mostrado en
la figura 7. Operando sobre la base de la ley de la
inducción de Farad ay, el transformador no tiene un
equivalente para corriente continua, lo cual explica el por
qué los sistemas de distribución de CC,
vehementemente defendidos por Edison, han sido hoy día
completamente reemplazados por sistemas de CA,
sólida-mente defendidos por Tesla y otros.
En la figura 7 se muestran dos bobinas devanadas
alrededor de un núcleo de hierro. El devanado primario, de
NP vueltas, está conectado a un generador de corriente
alterna cuya fem está dada por e = em sen wt. El devanado
secundário, de NS vueltas, es un circuito abierto en tanto
esté abierto el interruptor S, lo cual suponemos por el
momento. Entonces, no existe corriente en el devanado secundario.
Suponemos además que podemos despreciar a todos los
elementos de disipación, como las resistencias
de los devanados del primario y del secundario. En realidad, los
transformadores de alta capacidad, bien
diseñados, pueden tener pérdidas de energía
tan bajas como el 1%, de modo que nuestra hipótesis de un
transformador ideal no es irrazonable.
Para las condiciones anteriores, el devanado del
primario es una inductancia pura, como en la figura 4a. La
corriente en el primario (muy pequeña), llamada la
corriente magnetizante imag(t), se atrasa con respecto a la
diferencia de potencial del primario Vp(t) en 90°; el factor
de potencia (= cos f en la ecuación 36) es cero, de modo
que no hay una entrega de potencia del generador al
transformador.
Sin embargo, la pequeña corriente alterna en el
primario imag(t) induce un flujo magnético alternante
FB(t) en el núcleo de hierro, y suponemos que este flujo
eslabona o enlaza a las vueltas de los devanados del secundario.
(Esto es, suponemos que todas las líneas del campo
magnético forman anillos cerrados dentro del núcleo
de hierro y que ninguna "escapa" a los alrededores.) De la ley de
la inducción de Faraday la fem por vuelta eT(igual a
-dFB/dt) es la misma para ambos devanados, tanto para el primario
como para el secundario, porque los flujos en el primario y en el
secundario son iguales. A1 considerar valores rms, podemos
escribir
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En cada devanado, la fem por vuelta es igual a la
diferencia de potencial dividida entre el número de
vueltas en el devanado; la ecuación 40 puede
escribirse
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Aquí Vp y Vs se refieren a cantidades rms. Al
despejar Vs, obtenemos
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Si Vs > Vp (en cuyo caso Vs > Vp), nos referimos a
un transformador elevador; si Vs < Vp, nos referimos a un
transformador reductor. En todo lo anterior hemos supuesto un
circuito secundario abierto de modo que no se transmite ninguna
potencia por el transformador. Sin embargo, si ahora cerramos el
interruptor S en la figura 7, tenemos una situación
más práctica en la que el devanado del secundario
está conectado a una carga resistiva R En el caso general,
la carga contendría también elemento inductivos y
capacitivos, aunque por ahora sólo nos concreta-remos a
este caso especial de una carga puramente resistiva.
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Suceden varias cosas al cerrar el interruptor S. (1) En
el circuito del secundario surge una corriente i, rms, con una
disipación promedio de potencia i2sR (= V2s /R) en la
carga resistiva. (2) La corriente alterna en el secundario induce
su propio flujo magnético alterno en el núcleo de
hierro, y este flujo induce (según las leyes de Farad ay
y de Lenz) una fem en oposición en los devanados del
primario. (3) Sin embargo, VP no puede cambiar su respuesta a
esta fem de oposición porque siempre debe ser igual a la
fem proporcionada por el generador; el cierre del interruptor S
no puede cambiar este hecho. (4) Para asegurar esto, debe surgir
en el circuito del primario una nueva corriente alterna ip, siendo
constantes su magnitud y fase precisamente en lo necesario para
cancelar la fem de oposición generada en los devanados del
primario por is.
En lugar de analizar el proceso anterior más bien
complejo en detalle, tomamos ventaja de la visión general
proporcionada por el principio de conservación de la
energía. Éste nos dice que, en un transformador con
una carga resistiva
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Puesto que la ecuación 42 es válida ya sea
que el interruptor S de la figura 7 esté cerrado o no,
tenemos entonces
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como la relación de transformación de las
corrientes.
Por último, sabiendo que is = Vs /R, podemos usar
las ecuaciones 42 y 44 para obtener
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que nos indica que, desde el punto de vista del circuito
primario, la resistencia equivalente de la carga no es R
sino
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La ecuación 46 sugiere otra función
más del transformador. Vemos que, para una transferencia
de energía máxima de una fuente de fem hacia una
carga resistiva, la resistencia del generador y la resistencia de
la carga deben ser iguales. La misma relación se cumple en
los circuitos de CA excepto que la impedancia (en lugar de la
resistencia) del generador debe igualarse a la de la carga.
Sucede a menudo —como cuando desearnos conectar un altavoz
a un amplificador— que esta condición está
lejos de cumplirse, siendo el amplificador de una impedancia
más elevada y el altavoz de una impedancia baja. Podemos
igualar las impedancias de los dos dispositivos
acoplándolos por medio de un transformador con una
razón, de vueltas apropiada.
Ecuaciones básicas del
electromagnetismo
En este capitulo buscaremos identificar un grupo
básico de ecuaciones para el electromagnetismo. Consideraremos diferentes
etapas para alcanzar este objetivo. Mostramos primero, en la
tabla 1, un grupo
tentativo de ecuaciones. Estas se obtuvieron en los
capítulos anteriores. Téngase en cuenta que cada
una de estas cuatro ecuaciones es una enunciado de un grupo
diferente de resultado experimentales. Después de estudiar
estas tablas, concluiremos, partiendo de un argumento basado en
la simetría, que estas ecuaciones no son aun completas y
debe existir (y en realidad existe) un termino faltante en unas
de ellas.
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El término faltante demuestra de no ser una
corrección insignificante: completa la descripción del electromagnetismo. En
particular, nos permite predecir que la velocidad de la luz ( y de todas
las ondas
electromagnéticas) en él vació se relaciona
con cantidades puramente eléctricas y magnéticas
mediante.
Esta relación, junto con las predicciones
adicionales de las ecuaciones electromagnéticas, fue mas
tarde comprobada por experimentación con la luz, las ondas de
radio y otras ondas electromagnéticas.
Ya hemos vistos que el principio de la simetría
esta aunado con la física y como condujo a menudo a nuevos
conocimientos y descubrimiento. Por ejemplo, si el cuerpo A atrae
al cuerpo B con una fuerza magnitud F, entonces cabe de esperar,
por simetría, que el cuerpo B atraiga al cuerpo A con una
fuerza de la misma magnitud. Sucede que así en la
realidad, en otro ejemplo, la simetría de la teoría
que se describe a los electrones ordinarios cargados
negativamente sugerida que el electrón tendría una
contra parte carga positivamente; el posterior descubrimiento del
positron demostró que esta preedición era
correcta.
Examinemos la tabla 1 desde el punto de vista de la
simetría.
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Haremos caso omiso de cualquier falta de simetría
en las ecuaciones que provienen de e0 y m0; estas constantes son
resultado de nuestra elección de los sistemas de unidades
y no desempeñan un papel en las consideraciones de las
simetrías. ( De hecho existen sistema de unidades en los
quee0 y m0 =1.)
Teniendo esto en cuenta vemos que los miembros izquierdos de las
ecuaciones de las tablas 1 son completamente simétricos,
en parejas. Las ecuaciones I y II son integrales de
la superficie de E y de B, respectivamente, calculada por la
superficie cerrada. Las ecuaciones III y IV son integrales de
las líneas de E y de B, respectivamente, respectivamente,
calculadas para las trayectorias cerradas.
Por otro lado, los miembros derechos de estas
situaciones no son simétricos.
Existen dos clases de asimetrías:
1. La primera asimetría, que en realidad no es de
interés este capítulo, trata del hecho evidente de
que no existen centros de cargas magnéticas aislados
análogos a los centros de cargas eléctrica ( por
ejemplo, los electrones)aislados. Así, podemos explicar la
q del miembro derecho de la ecuación modo, él
termino i(= dq½dt ), que representa la corriente de las
cargas eléctrica, aparece en el miembro derecho de la
ecuación IV, pero no existe un termino correspondiente que
represente una corriente de las cargas magnéticas en el
miembro derecho de la ecuación III. El deseo de la
simetría en estas ecuaciones condujo a la
predicción de que los monopolos magnéticos
deberían existir. A pesar de muchas investigaciones
experimentales para descubrir los monopolos, todavía no
existe una confirmación de su existencia. Mas adelante, en
este mismo capitulo, veremos como convertir en simetría
las ecuaciones de Maxwell en caso de probarse que los monopolos
magnéticos existen.
2. La segunda asimetría, que es la más
significativa en el estudio de este capítulo, es
igualmente prominente. En el miembro derecho de la
ecuación III hallamos él termino -dFB½dt.
Esta ecuación. Conocida también como la ley de la
inducción de Faraday, puede interpretarse vagamente
diciendo: si un campo magnético cambia (dFB½dt), se
produce un campo eléctrico (E_dS) Según el
principio de la simetría estamos obligados a pensar que la
relación analógica es cierta, esto es: Si un campo
eléctrico (dFE½dt) cambia, se produce un campo
magnético (B_dS)
Esta hipótesis, la cual estudiaremos mas plenamente en la
sección siguiente, nos proporciona él termino
faltante en la ecuación IV y resultado satisfacer la
prueba del experimento.
Campos
magnéticos inducidos y la corriente de
desplazamiento
Aquí veremos en detalle la prueba de la
hipótesis de la sección anterior: es decir, un
campo eléctrico variable induce un campo magnético.
Si bien nos guiamos primordialmente por consideraciones de
simetría, también hallamos una verificación
experimental directa.
La figura 1» muestra un capacitor circular de
placas paralelas. En la placa de la izquierda ( que suponemos
contiene una carga negativa) entre una corriente i. Y de la placa
de la derecha sale una corriente igual i. Un anillo amperiano
rodea al conductor en la figura 1» y forma los limites de
una superficie que es atravesada por el conductor. La corriente
en el conductor crea un campo magnético; en la
sección 35-5 vimos que el campo magnético y la
corriente se relaciona con la ley de Ampere,
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Es decir, la integral de la línea del campo
magnético que rodea al anillo es proporcional a la
corriente total que pasa por la superficie limitada por el
anillo.
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En la figura 1b, hemos conservado el mismo anillo pero
hemos estirado a la superficie limitada por el anillo, de modo
que encierre toda la placa del lado izquierdo del capacitor.
Puesto que el anillo no ha cambiado ( como tampoco el campo
magnético), el lado izquierdo de la ley de Ampere da el
mismo resultado, pero el lado derecho da un resultado diferente,
es decir, cero, porque no pasa ningún alambre conductor a
través de la superficie. Esto parece todas las luces una
violación a la ley de Ampere.
Para restituir la ley de Ampere, de modo que describa
correctamente la situación de la figura 1b, confiamos en
la conclusión basada en la simetría: un campo
eléctrico variable crea un campo magnético.
Consideremos con mayor detalle la situación de la figura
1. Cuando la carga de carga al capacitor, el campo
eléctrico en su interior cambia con cierta velocidad
dE½dt. Las líneas del campo eléctrico
atraviesan la superficie en términos del flujo
eléctrico FE, y un campo eléctrico variable debe
dar un flujo eléctrico variable correspondiente,
dFE½dt.
Para describir cuantitativamente, este nuevo efecto, nos
guiamos por la analogía con la ley de la inducción
de Faraday,
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Que afirma que un campo magnético variable (lado
derecho) produce un campo eléctrico (lado izquierdo). Para
la contraparte simétrica escribimos
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La ecuación 4 afirma que un campo
eléctrico variable (termino derecho) puede producir un
campo magnético (termino izquierdo).
La situación mostrada en al figura 1» se describe
según la ley de Ampere en la forma de la ecuación
1, mientras que la situación en la figura 1b esta descrita
por la ecuación 4. en el primer caso, es al corriente que
se atraviesa la superficie el que da el campo magnético.
En general, debemos tener en cuentas ambas
maneras de producir un campo magnético: (a) por medio de
una corriente y (b) por medio de un flujo eléctrico
variable, y así debemos modificar la ley de Ampere para
modificar
E·ds = m0 i + m0Œ0 dFB (5)
dt
Maxwell es el responsable de esta importante
generalización de la ley de Ampere. Es una
contribución central y vital, como ya lo habíamos
señalado.
En él capitulo 35 supusimos que no había campo
eléctrico variables representantes de modo que él
término dFE½dt en la ecuación 5 era cero. En
el análisis en la figura 1b supusimos que no
existían corrientes de conducción en el espacio que
contiene el campo eléctrico. Entonces él
término i en la ecuación 5 es cero en ese caso.
Vemos ahora que cada unas de estas situaciones es un caso
especial. Si hubiera alambres delgados conectados a las dos
placas en la figura 1b, no habría contribuciones a partir
de ambos términos en la ecuación 5.
La figura 2 indica una manera alternativa de interpretar la
ecuación 5; esa figura muestra el campo eléctrico
en la región situada en las placas del capacitor en la
figura 1. Consideremos ahora que nuestro anillo amperiano es una
trayectoria circular en esa región. En el lado derecho de
la ecuación 5, él término i es cero, pero el
termino dFE½dt no lo es. De hecho, el flujo que atraviesa
la superficie es positivo si las líneas del campo son como
se muestra, y el flujo esta aumenta (en correspondencia con el
campo eléctrico que aumenta) cuando las cargas positiva es
transportadas a la placa de la izquierda en la figura 1. la
integral de línea de B calculada para el anillo debe ser
también positiva, y las direcciones B deben de ser como se
muestra en la figura 2.
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La figura 2 sugiere un bello ejemplo de la
simetría de la naturaleza. Un campo magnético
variable induce un campo eléctrico (ley de Faraday); vemos
ahora que un campo eléctrico variable induce un campo
magnético. Comparece cuidadosamente la figura 2 con la
figura 12 del capitulo 36, la cual ilustra la producción de un campo eléctrico
mediante un campo magnético variable. En cada caso el
flujo dFB o dFE apropiado esta aumentando. Sin embargo, la
experimentación de muestra que las líneas de E en
la figura 12 del capitulo 36 están en el sentido contrario
al movimiento de las manecillas del reloj, mientras que las de B
en la figura 2 están en el sentido del movimiento de las
manecillas del reloj. Esta diferencia requiere que el signo menos
de la ecuación 3 se omita de la ecuación
4.
Corrientes de desplazamiento
En la ecuación 5 muestra que l termino
Œ0dFE½dt tiene las dimensiones de una corriente.
Aunque no este implicado un movimiento de cargas, existen
ventajas a dar este termino los nombres de corriente de
desplazamiento. La corriente de desplazamiento id se define
dé acuerdo con
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Entonces podemos decir que se puede crearse un campo
magnético ya sea por medio de una corriente de
conducción i o por medio de una corriente de
desplazamiento id, y podemos rescribir la ecuación 5
así:
El concepto de
corriente de desplazamiento nos permiten conservar la
noción de que la corriente tiene continuidad, un principio
establecido en la sección 32-1 para las corrientes de
conducción estacionarias. En la figura 1b, por ejemplo,
entra una corriente de conducción i en la placa positiva y
sale por la placa negativa. Esta corriente de conducción
no es continua en el espacio entre las placas del capacitor por
que por el espacio no pasa ninguna carga. Sin embargo, la
corriente de desplazamiento id, en el espacio prueba ser
exactamente igual a i, conservando así el concepto de la
continuidad de la corriente.
Calculemos la corriente de desplazamiento id, en el espacio del
capacitor de la figura 1b. La carga q en la placa se relacionan
con el campo eléctrico E en el espacio por medio de la
ecuacion3 del capitulo 31,
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Al derivar nos da
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La cantidad EA es el flujo eléctrico FE, y
entonces
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La comparación con la ecuación 6 demuestra
que
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Entonces, la corriente de desplazamiento en el espacio
entre las placas es igual a la corriente de conducción por
alambres, lo que demuestra que la corriente tiene
continuidad.
Cuando el capacitor esta correctamente cargado, la corriente de
conducción cae a cero (no influye corriente por alambres).
El campo eléctrico entre las placas se vuelve constante;
entonces dE½dt = 0, y por lo tanto, la corriente
desplazamiento cae también a cero.
La corriente de desplazamiento id, dad por la ecuación 6,
tiene tanto dirección como magnitud. La dirección
de la corriente de la conducción i es la del vector j de
la densidad de la corriente de la conducción. De manera
similar, la dirección de la corriente de desplazamiento
id, es el vector jd de la densidad de la corriente de la
conducción, el cual, como se refiere a la ecuación
6, es precisamente Œ0(dE½dt). La regla de la mano
derecha, aplica ha jd da la dirección del campo
magnético asociado, de igual manera como lo hace el vector
j de la densidad de la corriente de la
conducción.
Ecuaciones de MAXWELL
La ecuación 5 completa nuestras presentaciones de
nuestras ecuaciones básicas del electromagnetismo,
llamadas ecuaciones de Maxwell. Se resumen en la tabla 2, la cual
sustituye al grupo "tentativo" de al tabla1, siendo la diferencia
entre los dos grupos él
termino de la corriente de desplazamiento "faltante" en la
ecuación IV de la tabla1. Maxwell describió su
teoría de electromagnetismo en un extenso tratado de
electricidad y
magnetismo, publicado en 1873, seis años ante de su
muerte. El
tratado no contiene las cuatros ecuaciones en la forma en la que
hemos presentado. Fue el físico ingles Oliver Heaviside
(1850-1925), descrito como "un antiguo telegrafista, desempleado,
en buen grado autodidacta", quien señaló la
simetría entre E y B en las ecuaciones y expreso las
cuatro ecuaciones en la forma en la que la conocemos hoy
día.
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Consideremos algunas características de estas
notables ecuaciones.
1. La simetría. La inclusión del termino
de la corriente de desplazamiento en la ecuación IV de la
tabla2 ciertamente hace parecer a las ecuaciones III y IV
más semejante, mejorando por ello la simetría del
grupo de ecuaciones. Sin embargo, todavía no son
completamente simétricas. Resultaría un grupo
completamente simétrico si se confirmase la existencia de
cargas magnéticas individuales (monopolos). De descubrirse
tales cargas tales cargas magnéticas seria posible
experimentar con ellas. Acuden en la mente dos experimentos por
analogía con nuestro desarrollo
previo del electromagnetismo. Un experimento, similar al
experimento original de Coulomb, seria la medición de la
fuerza entre los monopolos para determinar si obedecen una ley
del inverso de los cuadrados. De ser así, entonces de la
ecuación II se podría escribir à@B_dA =
m0qm. Esta forma la ley de Gauss para el magnetismo
afirmaría que el flujo del campo magnético que
atraviesa a cualquier superficie cerrada es proporcional a la
carga magnética neta qm en cerrada por la superficie. En
este caso las ecuaciones I y II serian más
simétrica.
El segundo experimento, similar al que realizo Oersted, seria
para demostrar que una corriente de cargas magnéticas
produce un campo eléctrico. En este caso se sumaria al
lado derecho de la ecuación III un termino que incluya im
= dqm½dt, la corriente de las cargas magnéticas.
Con esta adición, las ecuaciones III y IV serían
más simétricas.
Hasta ahora no existe una prueba concluyente de los monopolos
magnéticos, así que los experimentos
descritos permanecen como especulaciones, y el grupo de
ecuaciones de la tabla 2 es muestra mejor de descripción
de las propiedades de los campos eléctricos y
magnéticos. Sin embargo, nótese cuan difícil
podría incorporarse un descubrimiento tan importante como
el de monopolo magnético en las ecuaciones básicas
del electromagnetismo.
2. Las ondas electromagnéticas. Las cuatro
ecuaciones de la tabla 1 se conocían, por supuesto, mucho
antes de los tiempos de Maxwell (él nació en el
año en que Faraday descubrió la ley de la
inducción). Consideradas juntas, no surgieron nuevos
efectos mas allá de los experimentos originales que
representan. Es solo al sumar la corriente de desplazamiento
cuando emerge la nueva física. Esta nueva física
incluye la predicción de la existencia de las ondas
electromagnéticas, que fueron descubiertas
experimentalmente por Heinrich Hertz en 1888, 15 años
después de haberse publicado el tratado de Maxwell. En
él capitulo siguiente demostramos como se conduce las
ecuaciones de Maxwell las ondas electromagnéticas, las
cuales transporta energía y cantidad de movimiento a
través del espacio vació mediante campos
electromagnéticos.
3. El electromagnetismo y la relatividad. Ya hemos dicho
en la introducción de este capitulo que las
ecuaciones de Maxwell son para el electromagnetismo lo que las
leyes de
Newton son para la mecánica. Sin embargo, existe una
diferencia importante. La teoría de la relatividad de
Einstein fue presentada en 1905, mas 30 años des pues del
trabajo de Maxwell y más de 200 años después
del de Newton. La
relatividad requiere cambios importantes en las leyes de
Newton para el movimiento velocidades cercanas a la de la
luz, pero no se requirió cambios algunos en las ecuaciones
de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell son totalmente consistentes
con la teoría especial de la relatividad, y de hecho la
teoría de Einstein se originó sus reflexiones sobre
las ecuaciones de Maxwell. En el lenguaje de
al física decimos que las ecuaciones de Maxwell son
invariantes conforme a una transformación de Lorentz, pero
las leyes de Newton
no.
Ecuaciones de MAXWELL y oscilaciones en
cavidades
Existen muchas situaciones en las que intervienen campos
magnéticos que podemos usar como una demostración
de las ecuaciones de Maxwell. Dejamos hasta el capitulo 41
cualquier consideración de la pruebas que
implican ondas magnéticas. Aquí veremos una cavidad
resonante, la cual podemos considerar que es un oscilador
electromagnético con elementos distribuidos.
A modo de analogía consideramos la cavidad resonante
acústica de la figura 3. (Un tubo de órgano cerrado
en ambos extremos, es un ejemplo de tal resonador
acústico.) En un oscilador simple, como un bloque unido a
un resorte o un circuito LC, podemos "concentrar" la
energía almacenada en elementos por separado: la
energía cinética del bloque y la energía
potencial del resorte, o la energía magnética
almacenada en el inductor y la energía eléctrica
almacenada en el capacitor. En el resonador acústico no es
posible esta división. Cada diminuto elemento de gas dentro del
tuvo tiene tanto energía potencial como energía
cinética; se dice que tal sistema tiene elementos
distribuidos. La cavidad resonante electromagnética tiene
igualmente elementos distribuidos.
Una característica de un sistema distribuido es que tiene
un gran numero de modos resonantes (en contraste, el sistema
concentrado tiene pocos a menudo apenas uno.) La figura tres
muestra el modo fundamental de la cavidad acústica.
Ilustra una serie de "instantáneas" de variaciones de la
presión
y la velocidad a través de un ciclo. Nótese que la
presión
y la velocidad varían con el tiempo y con la
ubicación a lo largo del tuvo. En cada extremo de un tuvo
cerrado existe un antinodo de presión. Donde la
variación de la presión es máxima, la
velocidad es cero (Fig. 3a y 3e), en analogía con el
sistema bloque-resortea su máximo desplazamiento. Cuando
la presión es uniforme las velocidades tienen sus valores
máximos (Fig. 3c y 3g).
Como lo muestran la gráficas de barras que
acompañan a cada "instantánea" de la figura 3, la
energía del resonador oscila entre la energía
sintética del gas en movimiento
y la energía potencial asociada con la compresión y
el enrarecimiento del gas.
La energía puede ser totalmente potencial(Fig. 3a y 3e),
totalmente cinética (Fig. 3e y 3g), o una
combinación de ambas.
Por analogía con la cavidad acústica, podemos
considerar una cavidad resonante electromagnética
cilíndrica. En lugar de la presión y la velocidad,
describimos el estado del
resonador mediante sus campos eléctrico y
magnético. Para iniciar las oscilaciones del campo,
conectamos una fuente de fem que varia senoidalmente. Esto da
lugar a un campo eléctrico variable en la cavidad. Como
era el caso de la figura 2, el campo eléctrico variable
provoca un campo magnético, y así dentro de la
cavidad existen campos magnéticos y eléctricos que
varían con la posición y con el tiempo.
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Al igual que el resonador acústico, el resonador
electromagnético almacena su energía en dos formas;
en este caso las energías están asociadas con el
campo magnético y el campo eléctrico. Cada elemento
de volumen de la cavidad contribuye a ambas clases de
energía, y así la cavidad electromagnética
tiene elementos distribuidos.
La figura 4 muestra de manera semejante a la figura 3, una serie
de "instantáneas" de la cavidad que ilustran los campos
eléctrico y magnético en un instante de la
oscilación del modo fundamental. Nótese la
oscilación de la energía entre las dos
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formas, correspondientes a las densidades de la
energía eléctrica y magnética, Al integrar
para el volumen de la cavidad, hallamos la energía total
en cada una de las dos formas.
La figura 5 muestra una representación mas detallada de
los campos eléctrico y magnético en n instante de
la oscilación en particular, correspondiendo a la figura
4d. Note en la figura 4d que el campo magnético esta
disminuyendo, y que el campo eléctrico esta creciendo.
Apliquemos la ley de Faraday,
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al rectángulo de trazos de dimensiones h y a -r.
Existe un campo magnético definido _B en esta área
rectangular, y este flujo esta disminuyendo con el tiempo porque
B esta disminuyendo.
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En una cavidad hecha de un material conductor,
podemos hacer que E sea cero en la pierna superior de la
trayectoria de integración, la cual se encuentra dentro de
las paredes de la cavidad. También, E y ds están en
ángulo recto en las dos piernas laterales, de modo que E
· ds = 0 en esta parte de la trayectoria rectangular. La
única contribución a la integral de línea de
E alrededor del perímetro del rectángulo se deduce
del segmento inferior, y así
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donde E(r) es el valor de E en un radio de r desde el
eje de la cavidad. Al incorporar este resultado de la integral de
línea en la ley de Faraday , obtenemos
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La ecuación 8 muestra que E(r) depende de la
velocidad a la que el _B que atraviesa la trayectoria mostrada
esta cambiando con el tiempo y que tiene su magnitud
máxima cuando d _B /dt es máxima. Esto ocurre
cuando B es cero, esto es, cuando B esta cambiando su
dirección; recordemos que un seno o un coseno cambia mas
rápidamente (tiene la pendiente mas pronunciada) en el
instante en que cruza el eje entre los valores positivo y
negativo. El patrón del campo eléctrico en la
cavidad tiene su valor máximo cuando el campo
magnético es cero en todas partes, consistente con las
figuras 4a y 4e y con el concepto de intercambio de la
energía entre los campos magnético y
eléctrico. Al aplicar la ley de Lenz puede demostrarse que
el campo eléctrico en la figura 5 apunta realmente hacia
la derecha, como se muestra, si el campo magnético esta
disminuyendo.
Apliquemos la ley de Ampere en la forma
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a la trayectoria circular de trazos de radio r que se
muestra en la figura. No se transporta ninguna carga a
través del área limitada por la trayectoria
circular, de modo que la corriente de conducción i es
cero. La integral de línea de la izquierda es
(B)(2õr), y por lo tanto la ecuación se reduce
a
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La ecuación 9 muestra que el campo
magnético B(r)es proporcional a la velocidad a la que el
flujo eléctrico _E a través del anillo esta
cambiando con el tiempo. El campo B(r) tiene su valor
máximo cuando d _E/dt esta en su máximo; esto
ocurre cuando E = 0, esto es, cuando E esta invirtiendo su
dirección. Así pues, vemos que B tiene un valor
máximo cuando E es cero en todos los puntos de la cavidad.
Esto es consistente con las figuras 4c y 4g y con el concepto del
intercambio de la energía entre las formas
eléctrica y magnética. Una comparación con
la figura 2, la cual, al igual que la figura 5, corresponde a un
campo eléctrico creciente, muestra que las líneas
de B giran en el sentido del movimiento de las manecillas del
reloj vistas a lo largo de la dirección del campo
eléctrico.
La comparación entre las ecuaciones 8 y 9 indica la
completa interdependencia de B y E en la cavidad. El campo
magnético, al cambiar con el tiempo, induce el campo
eléctrico de un modo descrito por la ley de Faraday.
El campo eléctrico que también cambia con el
tiempo, induce el campo magnético de un modo descrito por
la generalización de Maxwell a la ley de Ampere.
Las oscilaciones, una ves establecidas, se soportan una a la otra
y continuarían indefinidamente si no fuera por las
perdidas debidas a la producción de energía interna en las
paredes de la cavidad conductora o la perdida de energía
en las aberturas que pudiera haber en las paredes. En el capitulo
41 demostramos que ocurre una acción reciproca entre B y E
no solo en ondas electromagnéticas estacionarias en las
cavidades sino también en las ondas
electromagnéticas viajeras, como las ondas
electromagnéticas viajeras, como las ondas de radio de luz
visible.
En una cavidad acústica resonante, como un tubo de
órgano, proporcionaremos una fuente de energía (por
ejemplo, dirigiendo un chorro de aire contra un
borde agudo), dejamos que se establezca una onda estacionaria en
la cavidad una frecuencia determinada por la geometría
de la cavidad, y hacemos que una porción de energía
de la onda salga del tubo, donde es oída por un oyente. La
secuencia de los sucesos es semejante en una cavidad
electromagnética. Las oscilaciones deben estimularse
externamente, como por una corriente.
Se establece una onda electromagnética estacionaria cuya
frecuencia depende de las dimensiones de la cavidad
cilíndrica. Así se permite que una porción
de la onda deje la cavidad. Un uso común de tales
cavidades resonantes se tiene en los aceleradores que producen
haces de partículas cargadas con alta energía. La
figura 6 muestra el interior del acelerador de electrones de dos
millas en Stanford, en donde una serie de cientos de cavidades
resonantes (llamadas klistrones) alimentan ondas
electromagnéticas en el acelerador.
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Los electrones viajan a lo largo de la trayectoria recta
de 2 millas, sometidos a una secuencia de campos
eléctricos acelerantes, que disparan la energía de
los electrones a cerca de 50 GeV.
La figura 7 muestra dos vistas de la cavidad, en un instante
correspondiente al de la figura 5. Para simplificar, no mostramos
los campos E y B; las flechas representan a las corrientes.
Puesto que E esta creciendo en las figuras 5 y 7, la carga
positiva en la tapa del lado izquierdo debe estar creciendo.
Entonces, debe haber corrientes de conducción en las
paredes que apuntan de derecha a izquierda en la figura 7b. Estas
corrientes se muestran también mediante puntos (que
representan las puntas de las flechas) cerca de las paredes de la
cavidad en la figura 7a .
Teniendo en mente que _0d _e /dt es una corriente de
desplazamiento, podemos escribir la ecuación 9
como
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Esta ecuación recala que B en la cavidad esta
asociada con una corriente de desplazamiento; comparece con la
ecuación 11 del capitulo 35, B = _0 i /2õr. Al
aplicar la regla de la mano derecha en la figura 5 se muestra que
la corriente de desplazamiento id debe estar dirigida hacia el
plano de la figura 7a si ha de estar asociada con las
líneas de B que están presentes y que siguen el
movimiento de las manecillas del reloj.
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gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
La corriente de desplazamiento se representa en la
figura 7b por medio de flechas que apuntan hacia la derecha y en
la figura 7a por medio de cruces que representan a flechas que
entran en la pagina. La figura 7 muestra que la corriente tiene
continuidad, se dirige hacia arriba de las paredes como una
corriente de conducción y luego regresa a través
del volumen de la cavidad como una corriente de desplazamiento.
Al aplicar la ley de Ampere generalizada por Maxwell,
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a la trayectoria circular de radio r, en la figura 7a
vemos que B en esa trayectoria se debe por completo a la
corriente de desplazamiento, siendo cero la corriente de
conducción i dentro de la trayectoria.
En la trayectoria de radio r2, la corriente neta encerrada es
cero porque la corriente de conducción en las paredes es
exactamente igual y opuesta a la corriente de desplazamiento en
el volumen de la cavidad. Puesto que i es igual a id en magnitud,
pero su dirección es opuesta, se deduce de la
ecuación 10 que B debe de ser cero en todos los puntos de
la cavidad, de acuerdo con la observación.
El espectro electromagnético
En tiempos de Maxwell la luz y las radiaciones
infrarrojas y ultravioletas que la acompañan eran los
únicos tipos de radiaciones electromagnéticas
conocidos.
Hoy en día el espectro electromagnético,
que se muestra en la figura 1, abarca una amplia gama de
diferentes clases de radiaciones provenientes de una variedad de
fuentes. De
acuerdo con la teoría de Maxwell concluimos que, si bien
estas radiaciones difieren en gran manera en cuanto a sus
propiedades, sus medios de producción, y las maneras en
que las observamos, comparten otras características en
común: todas pueden describirse en términos de
campos eléctricos y magnéticos, y todas viajan a
través del vacío con la misma velocidad (la
velocidad de la luz).
De hecho, desde el punto de vista fundamental, difieren
sólo en la longitud de onda o en la frecuencia. Los
nombres dados a las diversas regiones del espectro en la figura 1
tienen que ver únicamente con la manera en que se producen
u observan los diferentes tipos de onda; no tienen nada que ver
con cualquier propiedad
fundamental de las ondas. Aparte de la diferencia en sus
longitudes de onda, no existe una manera experimental de
distinguir una onda en la región visible de otra en la
región infrarroja; las ondas tienen formas
idénticas y descripciones matemáticas idénticas. No existen
espacios en el espectro, como tampoco límites
bien definidos entre las diversas categorías. (Ciertas
regiones del espectro están asignadas por la ley para usos
comerciales u otros usos, tales como la transmisión por
TV, AM o FM.)
* El término espectro procede del latín spectrum,
que significa "forma" o "apariencia". Entre las muchas otras
palabras que provienen de la misma raíz se encuentran:
"espectáculo" y "especie". Newton introdujo el
término para describir la imagen
iridiscente que resultaba cuando un haz de luz solar atravesaba
un prisma de vidrio. Hoy
día nos referimos al espectro electromagnético para
indicar las muchas clases diferentes de radiación
electromagnética, clasificadas de acuerdo con su
frecuencia o longitud de onda en una escala de pequeña a
grande. Hablamos también del espectro político, que
indica similarmente la amplia gama de puntos de vista
políticos en una escala que va desde lo ultraconservador
hasta lo ultraliberal.
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Consideremos algunos de estos tipos de radiación
electromagnética con más detalle.
1. La luz. La región visible del espectro es la
más familiar para nosotros, porque como especie hemos
adaptado receptores (los ojos) que son sensibles a la
radiación electromagnética más intensa
emitida por el Sol, la fuente
extraterrestre más cercana. Los límites de
la longitud de onda de la región visible van desde 400 nm
(el violeta) hasta unos 700 nm (el rojo).
La luz se emite a menudo cuando los electrones exteriores (o de
valencia) de los átomos cambian su estado de movimiento;
por esta razón, estas transiciones en el estado del
electrón se llaman transiciones ópticas. El
color de la
luz nos dice algo acerca de los átomos o del objeto del
cual se emitió. El estudio de la luz emitida desde el Sol
y desde las estrellas distantes da una información con respecto a su
composición.
2. Infrarrojos. La radiación infrarroja, que tiene
longitudes de onda mayores que la de lo visible (desde 0.7 pm
hasta 1 mm aproximadamente), se emite comúnmente por
átomos o moléculas cuando cambian su movimiento
vibratorio o rotatorio. Este cambio ocurre a menudo corno un
cambio en la energía interna del objeto emisor y se
observa como un cambio en la energía interna del objeto
que detecta la radiación. En este caso, la
radiación infrarroja es un medio importante de
transferencia de calor, y a
veces se le llama radiación térmica. El calor que
sentimos al acercar la mano a un foco encendido es
primordialmente resultado de la radiación infrarroja
emitida por el bulbo y absorbida por la mano. Todos los objetos
emiten radiación electromagnética (llamada
"radiación térmica"; véase el
capítulo 49) a causa de su temperatura. Los objetos de
temperaturas en la zona que encontramos normalmente (digamos, de
3 K a 3000 K) emiten su radiación térmica
más intensa en la región infrarroja del espectro.
Un mapa de la radiación infrarroja que procede del espacio
nos ha dado la información que suplementa la obtenida de
la radiación visible (Fig. 2).
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4. Ondas de radio. Las ondas de radio tienen longitudes
de onda mayores de 1 m. Se producen a partir de terrestres
mediante electrones que oscilan en circuitos
eléctricos. Mediante una elección cuidadosa de
la geometría
de estos circuitos, como en una antena podemos controlar la
distribución en el espacio de la radiación emitida
(si la antena actúa como transmisor) o la sensibilidad del
detector (si la antena actúa como receptor). Viajando al
exterior a la velocidad de la luz, el frente expansivo de las
ondas de las señales de TV transmitidas en la Tierra desde
alrededor de 1950 ha llegado ahora a 400 estrellas
aproximadamente, portando información a sus habitantes, de
haberlos, con respecto a nuestra civilización.
De fuentes
extraterrestres nos llegan ondas de radio, siendo el Sol una
fuente principal que a menudo interfiere con la recepción
de radio o de TV en la Tierra. Júpiter es también
una fuente activa de emisiones de radio. El trazado de mapas de las
emisiones de radio procedentes de fuentes extraterrestres, una
ciencia
conocida como radioastronomía, ha proporcionado
información acerca del Universo que no
suele obtenerse mediante el uso de telescopios ópticos.
Además, puesto que la atmósfera de la
Tierra no absorbe mucho las longitudes de onda de radio, la
radioastronomía proporciona ciertas ventajas sobre la
astronomía óptica,
o infrarroja, o de microondas en
la Tierra. La figura 4 muestra un ejemplo de un radiotelescopio,
y la figura 5 ofrece un resultado típico de las
observaciones de nuestra galaxia para las longitudes de onda de
radio.
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Uno de los descubrimientos más sorprendentes de
la radioastronomía fue la existencia de fuentes pulsadas
de ondas de radio, observada por primera vez en 1968. Estos
objetos, conocidos como pulsares, emiten ráfagas muy
cortas de ondas de radio separadas en tiempo por intervalos del
orden de segundos. Este intervalo de tiempo entre pulsaciones es
extremadamente estable, variando en menos de 10-9 s. Se cree que
los pulsares se originan de estrellas de neutrones en
rotación, en donde los electrones atrapados por el campo
magnético experimentan aceleraciones centrípetas
grandes debidas a la rotación. Las emisiones de radio
altamente direccionales barren a la Tierra como si fuesen un faro
buscador cuando la estrella gira. Los pulsares se han observado
dentro de toda la zona del espectro, incluyendo longitudes de
onda visibles y de rayos
X.
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5. Ultravioleta. Las radiaciones de longitudes de onda
más cortas de lo visible comienzan con la ultravioleta (1
nm a 400 nm), la cual puede producirse por las transiciones
atómicas de los electrones exteriores así como en
la radiación que parte de fuentes térmicas como el
Sol. Puesto que nuestra atmósfera absorbe
fuertemente las longitudes de onda ultravioletas, poca de esta
radiación del Sol llega a la superficie. Sin embargo, el
principal agente de esta absorción es el ozono
atmosférico, que en años recientes se ha estado
agotando como resultado de las reacciones
químicas con los fluorocarbonos liberados de los
rociadores con aerosoles, los equipos de refrigeración y otras fuentes. Una exposición
breve a la radiación ultravioleta provoca quemaduras
comunes en la piel, pero la
exposición prolongada puede producir
efectos más graves, entre los que se encuentra el cáncer
de la piel. La
astronomía del ultravioleta se lleva a cabo
usando observatorios transportados por satélites
a la órbita terrestre.
6. Rayos X. Los rayos X (con longitudes de onda típicas
entre 0.01 nm y 10 nm) pueden producirse con longitudes de onda
discretas en transiciones individuales entre los electrones
interiores (los más fuertemente ligados) de un
átomo, y también pueden producirse al desacelerar
partículas cargadas (como los electrones). Las longitudes
de onda de los rayos X corresponden aproximadamente al
espaciamiento entre los átomos de los sólidos; por
lo tanto la dispersión de los rayos X de los materiales es
una manera útil de estudiar su estructura. Los rayos X
pueden penetrar fácilmente en tejidos blandos
pero son detenidos por los huesos y otras
materias sólidas; por esta razón han encontrado un
uso amplio en los diagnósticos médicos.
La astronomía de rayos X, al igual que el astro del
ultravioleta, se efectúa con observatorios en
órbita. La mayoría de las estrellas, como el Sol,
no son en potentes de rayos X; sin embargo, en ciertos sistemas
que constan de dos estrellas vecinas que giran alrededor de su
centro de masa común (llamado sistema
binario), el material de una estrella puede calentarse y
acelerarse mientras cae en la otra, emitiendo rayos X en el
proceso, bien no se dispone aún de una prueba que lo
confirme, cree que el miembro más masivo de ciertas
binarias de rayos X debe ser un hoyo negro.
7. Rayos gamma. Los rayos gamma son radia
electromagnéticas con las longitudes de onda más
cortas (menos de 10 pm). Son las más penetrantes en
radiaciones electromagnéticas, y la exposición a
una radiación gamma intensa puede tener un efecto
perjudicial sobre el cuerpo humano.
Estas radiaciones pueden emitir en las transiciones de un
núcleo atómico de un estado a otro y también
pueden ocurrir en las desintegraciones de ciertas
partículas elementales; por ejemplo, un pion neutral puede
desintegrarse en dos rayos gamma de acuerdo con
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y un electrón y un positrón (la
antipartícula del electrón pueden aniquilarse
mutuamente en dos rayos gamma;
Para ver la fórmula seleccione la
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En general, cada uno de tales procesos emite
rayos gamma de una longitud de onda única. En la
astronomía de rayos gamma, la detección de tales
radiaciones (y las mediciones de su longitud de onda) sirve como
prueba de procesos
nucleares particulares en el Universo.
Con base en las descripciones anteriores puede que existen
fuentes, tanto naturales como artificiales, de todos los tipos de
radiaciones electromagnéticas, y también que el
estudio de las radiaciones electromagnéticas de todas las
longitudes de onda se ha empleado en años recientes para
proporcionar una imagen más
precisa de la estructura y evolución del Universo.
Al describir las emisiones de radiación
electromagnética como un fenómeno ondulatorio, nos
estamos concentrando en un aspecto particular. Consideramos los
átomos del sistema que emite la radiación como si
se comportasen cooperativamente; por ejemplo, se necesita la
participación de los electrones de muchos átomos
para la emisión de la luz a partir del filamento caliente
de un foco. Como alternativa, podemos estudiar la emisión
de radiación electromagnética por un solo
átomo. En este caso centraremos nuestra atención en un paquete de energía
electromagnética (llamado cuanto), y observaremos
generalmente la radiación no como una onda que
varía suavemente sino como un paquete concentrado de
energía electromagnética. Ciertos experimentos
parecen inconsistentes con la interpretación de la onda y
pueden explicarse en términos de partículas o
cuantos de radiación electromagnética. En el
presente capítulo hacemos hinca-pié en los aspectos
de onda y hacemos caso omiso de los aspectos de la
partícula.
Generación de una onda
electromagnética
Una carga eléctrica en reposo crea un
patrón de líneas de campo eléctrico. Una
carga en movimiento a velocidad constante genera un patrón
de líneas de un campo magnético, además de
las líneas del campo eléctrico. Una vez que se haya
alcanzado una condición estacionaria (esto es,
después de que la carga está en movimiento y se han
creado los campos en el espacio), existe una densidad de
energía en el espacio asociada con los campos
eléctrico y magnético, pero la densidad de
energía permanece constante en el tiempo. No se transporta
ninguna señal, tan sólo la prueba de su presencia,
de la carga a puntos distantes; existe un transporte de
energía o de cantidad de movimiento y tampoco
radiación electromagnética.
Si, por otra parte, moviéramos rápidamente la carga
de un lado a otro, podríamos enviar señales a una
persona
distante que tuviera el equipo necesario para detectar cambios en
los campos eléctrico y magnético. Con un código
preconcertado, usted podría enviar información al
menear rápidamente la carga a determinada velocidad o en
cierta dirección. En este caso, usted estaría
emitiendo señales por medio de una onda
electromagnética. Para producir esta onda es necesario
acelerar la carga. Esto es, las cargas estáticas y las
cargas en movimiento a velocidad constante no se radian; se
radian las cargas aceleradas. Dicho de otro modo, el movimiento
uniforme de la carga es una corriente que no cambia con el
tiempo, y el movimiento acelerado de la carga es, por
consiguiente, una corriente que varía con el tiempo;
entonces, podemos considerar igualmente a la radiación
como si fuese producida por corrientes variables con el
tiempo.
En el laboratorio,
una manera conveniente de generar una onda
electromagnética es hacer que las corrientes en los
conductores varíen con el tiempo. Para simplificar,
suponemos una variación senoidal del tiempo. La figura 6
muestra un circuito que puede emplearse con este
propósito. Consta de un circuito RLC oscilatorio, con una
fuente externa que restituye la energía que se disipa en
el circuito o se escapa como radiación. La corriente en el
circuito varía senoidalmente con la frecuencia circular
resonante w, la cual es, aproximadamente, cuando la carga
resistiva es pequeña (véase capítulo 12). El
oscilador se acopla con un transformador a una línea de
transmisión, la cual sirve para conducir la corriente a
una antena. (Los cables coaxiales que conducen señales de
TV a muchos hogares son ejemplos comunes de líneas de
transmisión.)
La geometría de la antena determina las propiedades
geométricas de los campos eléctricos y
magnéticos radiados. Suponemos una antena de dipolo, la
cual, como lo muestra la figura 6, puede considerarse simplemente
co-mo dos conductores rectos. En estos dos conductores fluyen
cargas que oscilan a la frecuencia w, excitadas por el oscilador.
Podemos ver a la antena como un dipolo eléctrico
oscilatorio, en donde una rama conduce una carga
instantánea q, y la otra rama conduce -q. La carga q
varía senoidalmente con el tiempo y cambia de signo en
cada semiciclo. Las cargas se aceleran ciertamente al mo-verse de
un lado al otro en la antena, y como resultado la antena es una
fuente de radiación dipolar eléctrica. En cualquier
punto en el espacio existen campos eléctricos y
magnéticos que varían senoidalmente con el
tiempo.*
* La mayoría de las radiaciones que encontramos, desde las
ondas de radio hasta la de la luz, los rayos X y los rayos gamma,
son del tipo dipolar. Las antenas de radio
y TV se diseñan generalmente para transmitir una
radiación dipolar. Los átomos y núcleos
individuales pueden considerarse a menudo como dipolos
oscilatorios desde el punto de vista de la radiación
emisora.
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La figura 7 muestra una serie de "instantáneas"
que dan una representación esquemática de
cómo se forma el campo de radiación. Se muestra
únicamente el campo eléctrico; el campo
magnético correspondiente puede inferirse a partir de la
corriente en los conductores, usando la regla de la mano derecha.
La figura 8 da una imagen más completa de la onda
electromagnética que podría generarse por la
antena. La figura es un corte a través del plano xy; para
obtener un cuadro más completo del campo, debemos imaginar
que la figura gira alrededor del eje y. Suponemos que observamos
el campo a distancias del dipolo grandes comparadas con sus
dimensiones y con la longitud de onda de la radiación; el
campo observado en estas condiciones se llama campo de
radiación. A distancias más pequeñas,
observaríamos el campo vecino más complicado, el
cual no se verá aquí. Nótese que el campo
"se desprende" de la antena y forma anillos cerrados, en
contraste con el campo estático de un dipolo
eléctrico, donde las líneas de campo comienzan
siempre en cargas positivas y terminan en cargas negativas.
En la figura 9 se ofrece una visión alternativa del campo
de radiación; esta figura representa una serie de
"instantáneas" de los campos eléctrico y
magnético que pasan barriendo a un observador ubicado en
el punto P sobre eje x de la figura 8. Suponemos que el
observador está ubicado tan lejos del dipolo que los
frentes de onda pueden considerarse como planos. Como es siempre
el caso, la densidad de las líneas de campo indica la
intensidad campo. Nótese especialmente que (1) E y B
están en fase (ambos alcanzan sus máximos en el
mismo instante, ambos son cero en el mismo instante), y (2) E y B
son perpendiculares entre sí. Estas conclusiones se
deducen de un análisis de las ondas
electromagnéticas que viajan en el vacío usando las
ecuaciones de Maxwell, las cuales se tratan más
adelante.
Una característica más de esta radiación, es
que está polarizada linealmente; es decir, el vector E
apunta e todas partes a lo largo de la misma línea, en
este caso en la dirección y. Esto sigue siendo así
en todos los puntos sobre el eje x y en todo momento. Esta
dirección de la polarización está
determinada por la dirección del eje del dipolo. La luz
emitida por un conjunto desordenado de átomos: como el
filamento de un foco eléctrico ordinario, no está
polarizada; en efecto, los dipolos atómicos individuales
están orientados al azar en el espacio. En un láser, los
átomos se estimulan para que emitan radiación con
sus ejes dipolares alineados; por lo tanto, la luz láser
está polarizada.
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Ondas viajeras y las ecuaciones de
MAXWELL
El estudio precedente nos ofreció un cuadro
cualitativo de un tipo de onda viajera electromagnética.
En esta sección consideramos ahora la descripción
matemática
de la onda y demostramos que es consistente con las ecuaciones de
Maxwell. Al hacerlo, demostraremos también que la
velocidad de tales ondas por el espacio vacío es la misma
que la velocidad de la luz, lo cual nos lleva a concluir que la
luz es, en sí misma, una onda
electromagnética.
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Supongamos que el observador en la figura 8 está
a una distancia tan grande del dipolo oscilatorio que los frentes
de onda que pasan por el punto P (mostrados en la Fig. 9) son
planos. Las líneas de E son paralelas al eje y, y las
líneas de B son paralelas al eje z. Escribimos los campos
E y B en la forma matemática
usual de una onda viajera senoidal:
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Aquí w es la frecuencia angular asociada con el
dipolo oscilatorio, y el número de onda k tiene su
significa-do usual de 2p/l. Si la onda se propaga a una velocidad
de fase c, entonces w y k se relacionan de acuerdo con c = w/k.
La figura 10 representa la oscilación senoidal de los
campos E y B en función de x en un instante de tiempo en
particular.
Más adelante se demostrará que las amplitudes Em y
Bm se relacionan entre sí. Nótese que al escribir
estas ecuaciones para las magnitudes de E y B hemos supuesto que
E y B están en fase, esto es, las constantes de fase en
las ecuaciones 1 y 2 tienen el mismo valor (el cual hemos
considerado como cero). Más adelante demostraremos que
esta elección se deduce de las ecuaciones de
Maxwell.
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La figura 11 muestra una "instantánea"
tridimensional de una onda plana que viaja a lo largo de la
dirección x. Representa una manera diferente de mostrar a
la misma onda ilustrada en la figura 10. Consideremos a la onda
al pasar a través de la caja rectangular delgada situada
en el punto P en la figura 11. En la figura 12 hemos vuelto a
dibujar dos secciones a través de la onda tridimensional.
La figura 12a muestra una sección paralela al plano xy;
las líneas de E se encuentran en esta sección,
mientras que las líneas de B son perpendiculares a ella.
La figura 12b muestra una sección paralela al plano xz;
aquí las líneas de B se encuentran en la
sección, y las líneas de E son perpendiculares.
A medida que la onda pasa por el rectángulo fijo de la
figura 12a, el flujo magnético a través del
rectángulo cambia, lo cual debe dar origen a un campo
eléctrico inducido alrededor del rectángulo, de
acuerdo con la ley de la inducción de Faraday. Este campo
eléctrico inducido es simplemente el campo
eléctrico asociado con la onda viajera.
Para ver esto con más detalle apliquemos la ley de Lenz al
proceso de inducción. El flujo FB en el rectángulo
sombreado de la figura 12a está disminuyendo con el
tiempo, porque la onda se mueve a través del
rectángulo hacia la derecha, y una región del campo
magnético, más débil, se mueve dentro del
rectángulo. El campo inducido actúa
oponiéndose a este cambio, lo que significa que, si
imagináramos al límite del rectángulo
sombreado como un anillo conductor, aparecería en
él una corriente inducida en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. Esta corriente induciría un campo B
que, dentro del rectángulo, apuntaría hacia afuera
de la página, oponiéndose así a la
disminución en FB. Por supuesto, no existe un anillo
conductor, pero el campo eléctrico inducido neto
sería consistente con esta explicación, porque el
campo más grande E + dE en el lado derecho del anillo
originaría una corriente neta en dirección
contraria a las manecillas. Así pues, la
configuración del campo eléctrico en la figura 12a
es consistente con el concepto de que se induce en virtud del
campo magnético cambiante.
De una manera parecida, a medida que la onda pasa por el
rectángulo sombreado en la figura 12b, el flujo
eléctrico a través del rectángulo cambia,
por tanto originando un campo magnético inducido. (Este
efecto depende del término de la corriente de
desplazamiento en la ecuación IV de la tabla 2 en el
capítulo 14, y puede verse ahora su importancia en la
forma de la ley de Ampére modificada por Maxwell.) El
campo magnético inducido es simplemente el campo
magnético .asociado con la onda viajera.
Puede verse que las variaciones en E y B están
estrechamente relacionadas entre sí: un campo E variable
genera un campo B variable, el que a su vez origina un campo E
variable, y así sucesivamente. De este modo los campos
eléctrico y magnético de la onda se sostienen entre
sí a través del vacío, y no se requiere
ningún medio para que la onda se propague.
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Descripción matemática
Para un análisis más detallado, apliquemos
la ley de la inducción de Faraday,
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girando hacia la izquierda alrededor del
rectángulo sombreado de la figura 12a. No existe una
contribución a la integral desde la parte superior o la
parte inferior del rectángulo porque E y ds están
en ángulo recto aquí. La integral es,
entonces,
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El flujo FB, para el rectángulo es*
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donde B es la magnitud de B en el elemento rectangular y
dx h es el área del elemento. Al derivar tenemos
que
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De la ecuación 3 tenemos
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o sea
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En realidad, tanto B como E son funciones de x y
t; véanse las ecuaciones 1 y 2. Al calcular dE/dx,
suponemos que t es constante porque la figura 12a es una
"instantánea". Igualmente, al calcular dB/dt suponemos que
x es constante puesto que lo que se requiere es la velocidad a la
que B cambia en el tiempo en un lugar en particular, el elemento
de la figura 12a. En estas circunstancias, las derivadas son
derivadas
parciales, y se emplea una notación un tanto diferente
para ellas. Al utilizar esta notación la ecuación 4
es
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Usamos la regla de la mano derecha para el signo del
flujo: si los dedos de la mano derecha apuntan en la
dirección en que integramos alrededor de 1a trayectoria,
entonces el pulgar indica la dirección en que el campo a
través del área encerrada da un flujo positivo.
El signo menos en esta ecuación es apropiado y necesario,
ya que, si bien E está aumentando con x en el lugar del
rectángulo sombreado en la figura 12a, B está
disminuyendo con t. Puesto que E(x,t) y B(x,t) son conocidas
(véanse las ecuaciones 1 y 2), la ecuación 5 se
reduce a
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Si hubiésemos empleado constantes de fase
diferentes en las ecuaciones 1 y 2, los términos de coseno
en esta ecuación estarían fuera de fase, y los dos
miembros no podrían ser iguales a x y t en lo absoluto. La
ecuación 5, que se deduce directamente de la
aplicación de las ecuaciones de Maxwell, demuestra que E y
B deben estar en fase.
Al eliminar el término de coseno, obtenemos
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La razón de las amplitudes de las componentes
eléctrica y magnética de la onda es la velocidad c
de la onda. De las ecuaciones 1 y 2 vemos que la razón de
las amplitudes es la misma que la razón de los valores
instantáneos, o sea
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Este importante resultado será útil en
secciones venideras.
Ahora volvamos nuestra atención a la figura 12b,
en la que el flujo eléctrico FE para el rectángulo
sombreado está disminuyendo con el tiempo conforme la onda
se mueve a través de ella. De acuerdo con la forma de la
ley de Ampére modificada por Maxwell (con i = 0, porque no
existe una corriente de conducción en la onda
electromagnética viajera),
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este flujo cambiante induce un campo magnético en
los puntos que rodean la periferia del rectángulo.
La comparación de los rectángulos sombreados en la
figura 12 muestra que en cada uno el flujo apropiado, FB o FE,
está disminuyendo con el tiempo. Sin embargo, si
procedemos en sentido contrario al de las manecillas del reloj
alrededor de los rectángulos sombreados superior e
inferior, vemos que es positiva, mientras que es negativa, como
lo veremos en seguida. Así es como debe ser. Al comparar
la figura 12b del capítulo 10 con la figura 2 del
capítulo 14, observamos que, si bien los flujos FB y FE en
aquellas figuras están cambiando con el tiempo de igual
forma (ambos están aumentando), las líneas de los
campos inducidos E y B circulan en direcciones opuestas.
La integral en la ecuación 8, valuada al proceder en
sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del
rectángulo sombreado de la figura 12b, es
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donde B es la magnitud de B en el borde izquierdo del
elemento y B + dB es su magnitud en el borde derecho.
El flujo FE a través del rectángulo de la
figura 12b es
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Al derivar tenemos
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Así, podemos escribir la ecuación 8
como
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o, sustituyendo por derivadas parciales,,
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Nuevamente, el signo menos en esta ecuación es
apropia-do y necesario, ya que, si bien B está aumentando
con x en el lugar del rectángulo sombreado en la figura
12b, E está disminuyendo con t.
Al combinar esta ecuación con las ecuaciones 1 y 2,
hallamos que
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o sea
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Al suprimir Em/Bm entre las ecuaciones 6 y 10 tenemos
que
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Si sustituimos los valores numéricos,
obtenemos
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¡que es la velocidad de la luz en el vacío!
Este surgimiento de la velocidad de la luz a partir de
consideraciones puramente electromagnéticas es un logro
culminante, la teoría electromagnética de Maxwell.
Maxwell hizo predicción antes de que las ondas de radio se
conociesen y antes de que se creyera que la luz era de naturaleza
electromagnética. Su predicción condujo al concepto
del espectro electromagnético y al descubrimiento de las
ondas de radio por Heinrich Hertz en 1890. Permitió que la
óptica
se estudiara como una rama del electromagnetismo y que sus leyes
fundamentales se obtuvieran de las ecuaciones de MaxweIl.
Puesto que m0 se define exactamente como 4p x 10-7 H/m, y que a
la velocidad de la luz se le da ahora el valor exacto de
299,792,458 m/s, la ecuación 11 nos pe obtener un valor
definido de e0:
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Curiosamente, el propio Maxwell no vio la
propagación de las ondas electromagnéticas y los
fenómenos el magnéticos en general en los
términos sugeridos por, digamos, la figura 11. Al igual
que todos los físicos de tiempo, él creía
firmemente que el espacio estaba impregnado de una sustancia
sutil llamada éter y que los fenómenos
electromagnéticos podían explicarse en
términos de vórtices girando en este
éter.
Es un tributo al genio de Maxwell que, con tales modelos
mecánicos en su mente, haya sido capaz de deducir leyes
del electromagnetismo que llevan su nombre. Estas leyes, como lo
hemos señalado, no sólo no requirieron
ningún cambio cuando se introdujo la teoría
especial de la relatividad tres décadas más tarde
sino que, en realidad quedaron sólidamente confirmadas por
esa teoría. Hoy día, ya no es necesario considerar
el concepto del éter para explicar la propagación
de las ondas electromagnéticas.
Al igual que cualquier otra forma de onda, una onda
-electromagnética puede transportar energía de un
lugar a otro. La luz de un foco eléctrico y el calor que
se irradia de una hoguera son ejemplos comunes de energía
que fluye por medio de ondas electromagnéticas.
El flujo de energía en una onda electromagnética se
mide comúnmente en términos de la velocidad a la
que fluye la energía por unidad de área (o, lo que
es igual, la potencia electromagnética por unidad de
área). Describimos la magnitud y dirección del
flujo de energía en términos de un vector llamado
vector de Poynting* S, definido como
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Los vectores E y B se refieren a los campos de una onda
en un punto del espacio en particular, y S indica el vector de
Poynting en ese punto. Nótese que, de acuerdo con nuestras
reglas usuales para el producto cruz de dos vectores, S debe ser
perpendicular al plano formado por E y B, y la dirección
de S está determinada por la regla de la mano derecha.
Compruébense estas relaciones direccionales con la onda
plana mostrada en las figuras 10 y 11; obsérvese que,
aunque las direcciones de E y B pueden cambiar, su producto cruz
apunta siempre en la dirección x positiva, que es la
dirección de propagación de la onda.
Una onda electromagnética puede especificarse en forma
única dando su campo E y su dirección de
propagación (que es la misma que la dirección de
S). No es necesario especificar B, porque la magnitud de B se
determina de la magnitud de E usando la ecuación 7, y la
dirección de B puede encontrarse de las direcciones de E y
S con base en la ecuación 12.
La dimensión de B es la misma que la dimensión de
E/c. Usando este resultado y las dimensiones de E y m0, podemos
demostrar que la dimensión de S es de potencia por unidad
de área. Su unidad en el SI es watts/metro2.
Para la onda electromagnética plana de la figura 10, la
ecuación 12 se reduce a
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la cual puede también escribirse, usando la
ecuación 7,
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donde S, E y B son valores instantáneos en el
punto de observación. Demostremos que estos
resultados son consistentes con nuestros resultados previos para
la densidad de energía asociada con los campos
eléctricos y magnéticos en el caso especial de una
onda plana. Consideremos la energía
electromagnética en la caja rectangular de la figura 11 al
pasar la onda por ella. En cualquier instante, la energía
electromagnética en la caja es
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donde A dx es el volumen de la caja, y uE y uB son, las
densidades de energía eléctrica y magnética,
respectiva-mente. Usando la ecuación 28 del
capítulo 5 para uE y la ecuación 32 del
capítulo 11 para uB, obtenemos
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La ecuación 7 (E = cB) puede emplearse para
eliminar una E en el primer término y una B en el segundo
término, lo cual da
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De la ecuación 11, sin embargo, m0e0c2 = 1, de
modo que
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Esta energía dU pasa a través de la caja
en un tiempo dt igual a dx/c. La magnitud de S, dada en
términos del flujo de energía por unidad de tiempo
y por unidad de área, es
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en acuerdo con la ecuación 13.
* El vector de Poynting se llama así en honor de John
Henry Poynting (1852-1914), quien fue el primero en analizar sus
propiedades. Poynting fue un físico inglés
conocido por sus estudios sobre el electromagnetismo y de la
gravitación.
Esta expresión relaciona las magnitudes de E, B y S en un
instante de tiempo en particular. Las frecuencias de muchas ondas
electromagnéticas (por ejemplo, las ondas de luz) son tan
grandes que E y B fluctúan demasiado rápidamente
para que su variación de tiempo pueda me-dirse
directamente. Por lo tanto, en muchos experimentos nos interesa
más conocer el tiempo promedio de S, considerado en uno o
más ciclos de la onda. El tiempo promedio S se conoce
también como la intensidad I de la onda. De la
ecuación 14 y de la ecuación 1,
obtenemos
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El tiempo promedio del sen2 durante cualquier
número entero de ciclos es _, y así
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La intensidad puede expresarse también en
términos de las magnitudes rms (raíz media
cuadrática) de los campos.
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Ímpetu y presión de la
radiación
Además de transportar energía, las ondas
electromagnéticas pueden también transportar un
ímpetu lineal. En otras palabras, es posible ejercer una
presión (presión de radiación) sobre un
objeto, apuntando un rayo de luz sobre él. Tales fuerzas
deben ser pequeñas en relación con las fuerzas de
nuestras experiencias diarias porque no nos percatamos de ellas
ordinariamente. Después de todo, no nos caemos de espaldas
al subir la persiana en un cuarto oscuro y dejar que la luz nos
inunde. Sin embargo los efectos de la presión de
radiación son importantes en los ciclos de vida de las
estrellas a causa de las temperaturas increíblemente
elevadas (2 x 107 K en nuestro Sol) que asociamos con los
interiores estelares. Las primeras mediciones de la
presión de radiación se llevaron a cabo en
1901-1903 por Nichols y Hull en Estados Unidos y
por Lebedev en Rusia, unos 30 años después de que
la existencia de tales efectos habían sido predichos
teóricamente por Maxwell.
Hagamos que un haz paralelo de luz incida sobre un objeto durante
un tiempo t, siendo la luz incidente completamente absorbida por
el objeto. El campo eléctrico de la luz provoca que las
cargas (electrones) del material se muevan en una
dirección transversal a la dirección del haz. La
fuerza qv x B sobre esas cargas en movimiento debida al campo
magnético de la luz actúa en la dirección
del haz. La absorción de la luz transfiere, en
correspondencia, en ímpetu en la dirección del haz
a las partículas del absorbedor. Si la energía U se
absorbe, el ímpetu p transmitido al objeto durante este
tiempo está dado, de acuerdo con la predicción de
Maxwell, por
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en donde c es la velocidad de la luz. La
dirección de p es la dirección del haz incidente.
Más adelante, en esta sección, deduciremos
rigurosamente este resultado.
Si la energía U de la luz se refleja por completo, el
ímpetu transmitido será el doble del dado arriba, o
sea
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Del mismo modo, se comunica el doble de ímpetu a
un objeto cuando desde éste rebota una pelota de tenis
perfectamente elástica al ser golpeada por una pelota
perfectamente inelástica (una bola de plastilina, por
ejemplo) de la misma masa y a la misma velocidad. Si la
energía U de la luz en parte se refleja y en parte se
absorbe, el ímpetu transmitido está entre U/c y
2U/c.
Nichols y Hull, en 1903, midieron las presiones de
radiación y verificaron la ecuación 21 usando la
técnica de una balanza de torsión. Hicieron que la
luz incidiera sobre un espejo M como se muestra en la figura 13;
la presión de radiación causó que el brazo
de la balanza girara en un ángulo q medido, retorciendo la
fibra de torsión F. Al conocer la constante de
torsión de la fibra, los experimentadores pudieron
calcular un valor numérico para esta presión.
Nichols y Hull midieron la intensidad de su haz de luz haciendo
que incidiera sobre un disco de metal ennegrecido de poder de
absorción conocido y midiendo la elevación de
temperatura resultante del disco. En una corrida en particular
estos experimentadores midieron una presión de
radiación de 7.01 x 10-6 N/m2; en cuanto al haz de luz, el
valor predicho, usando la ecuación 21, fue de 7.05 x 10-6
N/m2, en excelente concordancia. Suponiendo un área del
espejo de 1 cm2, esto representa una fuerza sobre el espejo de
tan solo 7 x 10-10 N, una fuerza notablemente pequeña.
El éxito
del experimento de Nichols y Hull fue, en gran parte, el
resultado del cuidado que tuvieron en eliminar los efectos de
desviación espurios causados por los cambios en la
distribución de la velocidad de las moléculas en el
gas que rodeaba al espejo. Estos cambios ocurrían por la
pequeña elevación en la temperatura del espejo al
absorber la energía de la luz que procedía del haz
incidente. Este "efecto de radiómetro" es el causante de
la acción de giro de los conocidos radiómetros de
juguete cuando se colocan bajo un haz de luz solar. En un
vacío perfecto no ocurrirían tales efectos, pero en
los mejores vacíos disponibles en 1903 los efectos de
radiómetro se presentaron y tuvieron que tomarse en cuenta
específicamente en el diseño del
experimento.
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Deduzcamos ahora la ecuación 20 en el caso
particular de una onda electromagnética plana en la
dirección x que incide sobre una lámina delgada
grande de un material de alta resistividad como se muestra en la
figura 14. Una pequeña parte de la energía
incidente es absorbida en la lámina, pero la mayor parte
es transmitida si la lámina es lo suficientemente delgada.
(Parte de energía incidente se refleja también,
pero la onda reflejada es de una intensidad tan baja que podemos
no tomarla en cuenta en la deducción que sigue a
continuación.)
Los vectores E y B de la onda incidente varían
con el tiempo n la lámina según
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en donde E es paralelo al eje ±y y B es paralelo
al eje ±z.
En el capítulo 6 vimos que el efecto de una fuerza
eléctrica (constante) (= -eE) sobre un electrón de
conducción en un metal era el de hacer que el
electrón se mueva a una velocidad de arrastre (constante)
vd. El electrón se comporta como si estuviese inmerso en
un fluido viscoso, siendo contrabalanceada la fuerza
eléctrica que actúa sobre él por una fuerza
"viscosa", que puede considerarse como proporcional a la
velocidad del electrón. Entonces, para un campo constante
E, una vez establecido el equilibrio,
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donde b es un coeficiente de amortiguamiento resistivo.
La velocidad de equilibrio del
electrón, eliminando el subíndice d, es,
entonces,
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Si el campo eléctrico aplicado varía con
el tiempo y si la variación es lo suficientemente lenta,
la velocidad del electrón puede autoajustarse
continuamente al valor cambiante de E de modo que su velocidad
continúe estando dada esencialmente por su valor de
equilibrio (Ec. 25) en todo momento. Estos reajustes se
efectúan más rápidamente en un medio de
mayor viscosidad, del
mismo modo que una piedra lanzada al aire alcanza una
velocidad constante de equilibrio de descenso sólo con
relativa lentitud, y, sin embargo, aquella que cae en un aceite
viscoso lo hace rápidamente. Suponemos que la
lámina en la figura 14 es tan viscosa, es decir, su
resistividad es tan elevada, que la ecuación 25 permanece
aplicable aun para las oscilaciones rápidas de E en el haz
de luz incidente.
Al vibrar el electrón paralelamente al eje y, experimenta
una segunda fuerza debida a la componente magnética de la
onda. Esta fuerza Fx (= – ev x B) apunta en la dirección
x, formando un ángulo recto con el plano formado por v y
B, o sea, el plano yz. La magnitud instantánea de Fx
está dada por
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Fx apunta siempre en la dirección x positiva
porque v y B invierten sus direcciones simultáneamente;
esta fuerza es, de hecho, el mecanismo por el cual la
presión de radiación actúa sobre la
lámina en la figura 14.
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El ímpetu se transmite con esta velocidad a cada
electrón en la lámina y por tanto a la propia
lámina. Queda por relacionar la transferencia de la
cantidad de movimiento a la lámina a la absorción
de energía en la lámina.
La componente eléctrica de la onda incidente
efectúa un trabajo sobre cada electrón oscilatorio
con una velocidad instantánea dada por
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Nótese que la fuerza magnética Fx, por
estar siempre en ángulo recto con la velocidad v, no
efectúa un trabajo sobre el electrón oscilatorio.
La ecuación 7 muestra que, para una onda plana en el
vacío, B y E se relacionan por
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La sustitución de urca de las E de arriba nos
conduce a
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Esta ecuación representa la velocidad, por
electrón, con la que la energía se absorbe de la
onda incidente.
La comparación de las ecuaciones 27 y 28 nos demuestra
que
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La integración nos da
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o sea
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donde pe es el ímpetu transmitido a un solo
electrón en cualquier tiempo t dado y U es la
energía absorbida por ese electrón en el mismo
intervalo de tiempo. La multiplicación de cada lado por el
número de electrones libres en la lámina conduce a
la ecuación 20.
Si bien se ha deducido la ecuación 29 para una clase de
absorbente en particular, ninguna de las características
del absorbente —por ejemplo, el coeficiente de
amortiguamiento resistivo b— queda en la expresión
final. Así es como debe ser, puesto que la ecuación
29 es una propiedad general de la radiación absorbida por
cualquier material.
ALNICO.- Fabricados por fusión/sinterización, compuesto por
un 8% de Aluminio, un
14% de Níquel, un 24% de Cobalto, un 51% de Hierro y un 3%
de Cobre. Son lo
que presentan mejor comportamiento a temperaturas elevadas,
aunque son susceptibles de desmagnetización. Tienen la
ventaja de poseer un buen precio, aunque
no tienen mucha fuerza.
De Ferrita.- Fabricados con Bario y
Estroncio. Están compuestos de aproximadamente un 80
% de Óxido de Hierro y de un 20% de Óxido de
Estroncio (óxidos cerámicos). Son resistentes a
muchas sustancias químicas, disolventes y ácidos.
Pueden trabajar a temperaturas de -40 º C a 260º C. Las
materias primas son de fácil adquisición y de bajo
coste. Son resistentes a muchas sustancias químicas, como
por ejemplo a los disolventes, lejías, y ácidos
débiles.
De Tierras Raras.- Son metálicos, con una fuerza
de 6 a 10 veces superior a los materiales magnéticos
tradicionales, y con temperaturas de trabajo varían
según el material. En Neodimio, su temperatura de trabajo
puede llegar de 90ºC hasta 150ºC, en Samario-Cobalto,
pueden llegar hasta 350ºC. La utilización de estos
imanes está condicionada por la temperatura. Para evitar
problemas de
oxidación en los Neodimio, se recubren según
necesidades, los imanes de Samario no presentan problemas de
oxidación.
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Imanes de ferrita Imanes de tierras
raras
Una vez finalizado el capítulo podemos deducir
que de acuerdo a sus propiedades magnéticas, los medios
materiales se pueden clasificar en
Paramagnéticos: Débilmente atraídos
por las zonas de campo magnético intenso. Se observa
frecuentemente en gases.
Diamagnéticos: Los materiales
diamagnéticos son "débilmente repelidos" por las
zonas de campo magnético elevado.
Ferromagnéticos: Fuertemente atraídos por
las zonas de campo magnético intenso (presentan
además fenómenos de histéresis y existen
dominios ferromagnéticos). Se observa en fierro,
níquel, cobalto y aleaciones.
También podemos decir que los
paramagnéticos y ferromagnéticos son aquellos que
tienen átomos con momento de dipolo magnético
permanente.
Los materiales diamagnéticos son aquellos cuyos
átomos no tienen momentos dipolares magnéticos
permanentes.
Resulta claro la gran importancia que tiene la
inductancia en los solenides y toroides, y el papel que juegan
los materiales magnéticos y el almacenamiento de
energía en campos magnéticos.
Pudimos observar que una característica
práctica más importante de la corriente alterna es
que su voltaje puede cambiarse mediante un sencillo dispositivo
electromagnético denominado transformador. Cuando una
corriente alterna pasa por una bobina de alambre, el campo
magnético alrededor de la bobina se intensifica, se anula,
se vuelve a intensificar con sentido opuesto y se vuelve a
anular. Si se sitúa otra bobina en el campo
magnético de la primera bobina, sin estar directamente
conectada a ella, el movimiento del campo magnético induce
una corriente alterna en la segunda bobina. Si esta segunda
bobina tiene un número de espiras mayor que la primera, la
tensión inducida en ella será mayor que la
tensión de la primera, ya que el campo actúa sobre
un número mayor de conductores individuales. Al contrario,
si el número de espiras de la segunda bobina es menor, la
tensión será más baja que la de la
primera.
Lo que para la Mecánica Clásica significan
las leyes de Newton lo son las Ecuaciones de Maxwell para los
fenómenos Eléctricos y Magnéticos. Incluso,
estas ecuaciones superaron la dificultad de las Leyes de Newton
ya que son compatibles con la Teoría de la Relatividad
Especial como lo demostraría el propio A. Einstein en
1905.
Las leyes del electromagnetismo fueron enunciadas por
Gauss, Coulomb, Ampere, Faraday, etc., de tal forma que los
fenómenos que describen afectan a una región del
espacio de dimensiones finitas. Estas leyes fueron recopiladas
por James Clerk Maxwell quien elaboró una completa
teoría Electromagnética basándose en sus
famosas ecuaciones, las que a partir de ese momento se
denominaron las Ecuaciones de Maxwell.
Con todo lo que observamos en este capítulo
concluimos que la la luz es energía emitida por cargas
eléctricas vibrantes en el interior de los átomos.
Dicha energía se propaga en una onda que es parcialmente
eléctrica y parcialmente magnética. Esta onda se
llama onda electromagnética. La luz constituye una
pequeña porción de la amplia familia de ondas
electromagnéticas, que comprenden formas que no son
familiares, como las ondas de radio, las microondas y los rayos
X, todas ellas emitidas por electrones en vibración en el
interior de los átomos.
La gama de las ondas electromagnéticas es llamada
espectro electromagnético. Esta va desde las ondas de
radio hasta los rayos gamma.
La luz con menor frecuencia que podemos observar es
roja. Las frecuencias visibles más elevadas casi duplican
la frecuencia del rojo y son color violeta.
Las ondas electromagnéticas cuya frecuencia es menor que
la luz visible roja se llaman infrarrojas. Muchas lámparas
de calor emiten ondas infrarrojas. Las ondas
electromagnéticas cuya frecuencia es mayor que la violeta
se llaman ultravioleta. Estas ondas de alta frecuencia tienen
más energía y son las que causan quemaduras de
sol.
- Bibliografía
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Vol.2. CECSA. México D.F. 1999. p. 661-68 - Great Experiments in Physics. Morris Shamos, editor.
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Elementos de un circuito de corriente alterna
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Éter, luz y magnetismo
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Faray y la noción del vacio
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Ondas Electromagnéticas
http://www-istp.gsfc.nasa.gov/Education/Memwaves.html
Otras Ondas Electromagnéticas
http://www.maloka.org/f2000/waves_particles/
Catalogo de imanes
http://www.aiman-gz.com/catalogo.htm
1. que establece la ley de gauss para el
magnetismo?
que el flujo magnético a través de
cualquier superficie cerrada siempre es cero
2. que son los monopolos?
son polos magnéticos aislados
3. de que esta compuesto el magnetismo
nuclear?
de protones y neutrones en movimiento orbital
4. que es magnetización?
es el estado magnético de una sustancia que se
describe por medio de una cantidad denominada vector de
magnetización.
5. donde ocurre el paramagnetismo?
en materiales cuyos átomos tienen momentos
dipolares magnéticos permanentes.
6. que se le llama inductancia?
al campo magnético que crea una corriente
eléctrica al pasar a través de una bobina de
hilo conductor enrollado alrededor de la misma que conforma un
inductor.
7. que es el circuito RL?
es un circuito simple que contiene una bobina y tiene
una autoinductancia que evita que la corriente crezca o decrezca
instantáneamente.
8. que es la corriente alterna?
significa que la corriente cambia de dirección,
alternando periódicamente de una dirección a
otra.
9. cuales son los tres elementos principales del
circuito?
elemento resistivo, inductivo, capacitivo
10. cuales son las ecuaciones básicas del
electromagnetismo?
ley de gauss de la electricidad
ley de gauss magnetismo
ley de la inducción de faraday
ley de ampere
11. que significa el termino espectro?
proviene del latín spectrum, que significa forma
o apariencia.
12. que crea una carga eléctrica en
reposo?
un patrón de campo eléctrico
13. que crean una carga en movimiento a velocidad
constante?
genera un patrón de líneas de campo
magnético
14. cuales son los tipos de imanes?
alnico, ferrita, tierras raras.
DR.CLAUDIO-RAFAEL VASQUEZ-MARTINEZ
INGENIERO INDUSTRIAL.,DOCTORADO EN EDUCACION.
PROFESOR INVESTIGADOR TITULAR C. UNIVERSIDAD DE
GUADALAJARA.
Alumno:
Adolfo Castillo Mercado
puerto Vallarta Jalisco, México
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