Campos vectoriales y aplicaciones

Indice
1.
Campos escalares y
vectoriales
2. Integral de
línea

4. Integrales de
superficie
5. Teorema de la divergencia de
Grauss
6. Teorema de
stokes
7. Bibliografía

1. Campos vectoriales y
escalares

Campos vectoriales. Un campo vectorial es en
Rn es una aplicación
F:ARn → Rn que
asigna a cada punto x de su dominio A un
vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y
si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.
Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En
contraste, una aplicación f:A
Rn → R que asigna un
número a cada punto es un campo escalar. Un campo
vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares
componentes F1, F2 y F3,
así que
F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z),
F3(x, y, z)).
De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene
n componentes F1, …, Fn. Si cada
componente es una función
Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase
Ck. Se dará por hecho que los campos
vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que
se diga lo contrario.

Figura 4.3.1 Un campo vectorial F asigna un vector F (x)
a cada punto x de su dominio.

Ejemplo 1
Realizar la descripción del campo vectorial F dado por
F (x, y) = -yi + xj.

Solución
La siguiente tabla muestra los
sectores F (x, y) asociados a varios puntos (x, y)
señalados en la figura 18.5.

Figura 18.5 Figura 18.6

Para llegar a una descripción de un campo vectorial F se
considera un punto arbitrario K (x, y) y se define el vector de
posición r = xi + yj de K (x, y) (véase la figura
18.6). Se ve que F (x, y) es ortogonal a r y por lo tanto, es
tangente a la circunferencia de radio ||r|| con
centro en el origen. Este hecho puede demostrarse probando que r
. F (x, y) = 0, como sigue:

r . F (x, y) = (xi + yj) . (- yi +xj)

= -xy + yx = 0.

Además,

|| F (x, y) || = √y2 + x2 =
|| r ||

Por lo tanto, la magnitud de F (x, y) es igual al
radio de la
circunferencia. Esto implica que cuando el punto K (x, y) se
aleja del origen, la magnitud de F (x, y) aumenta como sucede en
el caso de la rueda giratoria de la figura 18.1

La siguiente definición presenta uno de los
campos vectoriales más importantes de la física.
Definición (18.2).
Sea r = xi + yj + zk el vector posición de un punto K (x,
y, z). Se dice que un campo vectorial F es un campo de
variación inversa al cuadrado de la distancia
si

F(x, y, z) = c_ u

|| r ||2

donde c es un escalar y u es un vector unitario que
tiene la misma dirección que r y está dado por u =
1_ = r.

|| r ||

Ejemplo 2
Describir el campo F (x, y, z) que cumple la definición
(18.2) para c < 0.

Solución
Como u = 1 r y r = xi + yj + zk,

||r||

F (x, y, z) = c_ r = c_____ (xi + yj + zk).

||r||3 (x2 + y2 +
z2)3/2

Es más fácil analizar los sectores del
campo usando la expresión en términos de r. Como
F(x, y, z) es un múltiplo escalar negativo de r, la
dirección de F(x, y, z) es hacia el origen
O. Además,

||F(x, y, z)|| = | c |_ || u || = | c |_

||r||2 ||r||2

y por lo tanto, la magnitud de F (x, y, z) es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto
(x, y, z) al origen O. Esto significa que cuando el punto K(x, y,
z) se aleja del origen, la longitud del vector asociado F (x, y,
z) disminuye. En la figura 18.7 se indican algunos vectores
típicos de un campo F del tipo de "variación
inversa al cuadrado".

Definición
Se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial
conservativo si es el gradiente de una función
escalar, es decir si
F (x, y, z) = s
f (x, y, z)
para una función f.

Teorema
Todo campo vectorial del tipo de variación inversa al
cuadrado (o de tipo gravitacional) es conservativo.
Demostración. Si F es un campo de tipo gravitacional,
entonces como en la solución del ejemplo 2,
F(x, y, z) = cx____ i + cy____ j + cz____ k
(x2 + y2 + z2)3/2
(x2 + y2 + z2)3/2
(x2 + y2 +
z2)3/2
para alguna constante c.
Según la definición (18.3, si F es conservativo,
existe una función escalar f tal que F (x, y, z) =
s f (x, y, z), y
las componentes de F son iguales a fx (x, y, z),
fy (x, y, z) y fz (x, y, z),
respectivamente. Integrando parcialmente estas componentes con
respecto a x, y y z, respectivamente, se ve que
f(x, y, z) = – c_____
(x2 + y2 +
z2)1/2

Calculando las derivadas
parciales se demuestra que esta función f es lo que se
buscaba. Por tanto, se tiene lo siguiente:
F(x, y, z) = s
f (x, y, z) = s -c donde r = || r || (x2 +
y2 + z2)1/2

r

En la física, la
función de potencial de un campo vectorial conservativo F
se define como una función p tal que F(x, y, z) =
-s p (x, y,
z). En este caso, tomando p = -f en la demostración del
teorema (18.4), se obtiene F(x, y, z) = s (c/r). Más adelante
en el capítulo se estudiarán más a fondo los
campos vectoriales conservativos.
El operador diferencial vectorial s en tres dimensiones
es:
s =
i ∂_ + j ∂_ + k ∂_
∂x ∂y ∂z

Si s
actúa sobre una función escalar f, da como
resultado el gradiente de f:
grad f =s f
= ∂f_ i + ∂f_ j + ∂f_ k
∂x ∂y ∂z

2. Integrales de
línea

Puede seguirse un procedimiento
para definir las integrales de
línea de funciones de
varias variables
sobre curvas en dos o tres dimensiones.
Sea f una función de dos variables x y
y que es continua en una región D, la cual contiene una
curva regular C con una parametrización x = g (t), y = h
(t); a ≤ t ≤ b. Se definirán tres integrales
diferentes de f sobre C. Comenzamos dividiendo el intervalo del
parámetro [a, b] escogiendo
a = 10 < 11< 12 < …
< 1n = b.
La norma de esta partición, es decir, la longitud del
mayor subintervalo [tk-1, tk], se denota
por ||∆||. Si P (xk, yk) es el punto
de C correspondiente a tk, entonces los puntos
P0, P1, P2, …, Pn
dividen a C en n subarcos Pk-1 Pk. Sean
∆xk = xk –
xk-1, ∆yk = yk –
yk-1, ∆sk = longitud de
Pk-1 Pk.
Para cada k, sea Q(uk, vk) un punto del
subarco Pk-1 Pk correspondiente a
algún número en [tk-1, tk]
(véase la figura 18.10). Consideremos ahora las tres
sumas
∑ f(uk, vk)∆sk, ∑
f(uk, vk) ∆xk, ∑
f(uk, vk)∆yk
Si los
límites
de estas sumas existen cuando ||∆|| → 0, son entonces
las integrales de línea def sobre C con respecto a s, x y
y, respectivamente, y se denotan como sigue

Integrales de línea
En dos dimensiones
(18.8)

El término "integral de líneas" se refiere
a una integral sobre una línea curva, que podría
ser en ciertos casos una línea recta. Se le podría
llamar también genéricamente integral de curva.
Si f es continua en D, entonces los límites
que (18.8) existen y son los mismos para todas las
parametrizaciones (siempre y cuando tengan la misma
orientación). Además, las integrales se pueden
evaluar sustituyendo x = g (t), y = h (t), o sea la
parametrización de C y reemplazando las diferenciales
por

ds = √(dx)2 + (dy)2 =
√[g’(t)]2 + [h’(t)]2
dt

dx = g’(t)dt, dy = h’(t) dt

Observese que según la definición (13.6),
la fórmula para ds es la diferencial de la longitud de
arco. A continuación se enuncian estos hechos como
referencia.

Teorema de evaluación
para integrales de línea (18.9)
Si una curva regular C está dada por x = g (t), y = h (t);
a ≤ t ≤ b, y f (x, y) es continua en una región D
que contiene a C, entonces

Independencia De La Trayectoria
A una curva regular parte por parte con extremos A y B se le
llama a veces trayectoria de A a B. a continuación se
obtienen condiciones bajo las cuales una integral de línea
es independiente de la trayectoria en una región, en el
sentido de que si A y B son puntos arbitrarios, entonces se
obtiene el mismo valor para
todas las trayectorias de A a B en esa región. Los
resultados se demostrarán para integrales de línea
en dos dimensiones. Las demostraciones para el caso de tres
dimensiones son similares y se omiten.
Si la integral de línea ∫c f (x, y) ds es
independiente de la trayectoria, se denota a veces por
∫BA f (x, y)ds porque el valor de la
integral depende sólo de los extremos A y B de la curva C.
una anotación similar se usa para ∫c f (x, y)dx y
∫c f (x, y)dy y para las integrales de línea en tres
dimensiones.
El siguiente teorema, que es el resultado fundamental, dice que
si un campo F es continuo, entonces la integral de línea
∫c F . dr es independiente de la trayectoria si y sólo
si F es conservativo.

Teorema (18.13)
Si F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j es continuo en una
región D abierta y conexa, entonces la integral ∫c F .
dr es independiente de la trayectoria si y sólo si F (x,
y) = s f
(x, y) para alguna función escalar f.

Teorema (18.14)
Sea F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j continuo en una
región abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte
por parte en D con extremos A (x1, y1) y B
(x2, y2). Si F(x,y) = s f (x, y),
entonces

∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy = ∫ F . dx

= f(x2, y2) – f
(x1, y1) = f (x, y)]

Ejemplo 1
Sea F el campo gravitacional producido por una partícula
de masa M colocada el origen de un sistema de
coordenadas rectangulares. Calcular el trabajo
realizado cuando una partícula de masa m se mueve de A (2,
3, 4) a B (1, 0, 0).

Solución
La fuerza
ejercida sobre una partícula de masa m colocada en K (x,
y, z) es

F (x, y, z) = – G Mm r

|| r ||3

donde r = xi + yj + zk. Como en la demostración
del teorema (18.4), F (x, y, z) = s f (x, y, z) donde

f (x, y, z) = GMm___

(x2 + y2 +
z2)1/2

Entonces por el teorema en tres dimensiones
análogo al teorema (18.14) (o al corolario
(18.15)),

W = ∫ F . dr = GMm___ = GMm 1- 1

(x2 + y2 +
z2)1/2 √29

Si la integral ∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy es
independiente de la trayectoria, entonces por el teorema (18.13)
existe una función f tal que

M = ∂f_ y N = ∂f_

∂x ∂y

Por lo tanto,

∂M_ = ∂2f_ y ∂N_ =
∂2f_

∂y ∂y ∂x ∂x ∂x
∂y

Si M y N tienen primeras derivadas
parciales continuas, entonces f tiene segundas derivadas
parciales continuas y, por lo tanto, el orden de
derivación no altera el resultado, es decir,

∂M_ = ∂N_

∂y ∂x

Teorema (18.16)
Si M(x, y) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales
continuas en una región simplemente conexa D, entonces la
integral de línea

∫c M(x, y)dx + N(x, y)dy

es independiente de la trayectoria en D si y sólo
si

∂M_ = ∂N_

∂y ∂x

Ejemplo 2
Demostrar que si F (x, y) = (2x + y3 )i +
(3xy2 + 4)j, entonces ∫c F . dr es independiente
de la trayectoria y evaluar ∫ F . dr

Solución.
La función vectorial F tienen primeras derivadas parciales
continuas para todo (x, y) y por lo tanto se puede aplicar el
teorema (18.16). Tomando M = 2x + y3 y N =
3xy2+4 vemos que

∂M_ = 3y2 = ∂N_

∂y ∂x

Por lo tanto, la integral de línea es
independiente de la trayectoria. Según el teorema (18.13),
existe una función (de potencial) f tal que

fx (x, y) = 2x + y3 y
fy (x, y) = 3xy2 + 4.

Si integramos (parcialmente) fx (x, y) con
respecto a x,

fx (x, y) = x2 + xy3 +
k(y)

donde k es una función que depende sólo de
y. (Hay que usar k (y) en lugar de una constante en la integración parcial para obtener la
expresión más general de f (x,y) tal que
fx (x, y) = 2x + y3 .)

Derivando f (x, y) con respecto a y, y comparando con la
expresión fy (x, y) = 3xy2+4
obtenemos

fy (x, y) = 3xy2 + k’(y) =
3xy2 + 4.

Por lo tanto, k’(y) = 4 o bien k (y) = 4y + c para
una constante c. Entonces

f (x, y) = x2 + xy3 + 4y +
c

define una función del tipo deseado. Aplicando el
teorema (18.14),

∫ (2x + y3) dx + (3xy2 + 4)
dy = x2 + xy3 + 4y ]

= (4 + 54 + 12) – 4 = 66

No usamos la constante c porque para evaluar la integral
puede usarse cualquier función de potencial f.

3. Teorema De
Green

∫ f ’(x) dx = f(b) – f (a)

Dice que la integral de una función sobre un
conjunto S = [a, b] es igual a una función relacionada (la
antiderivada) evaluada de cierta manera sobre la frontera de S,
en este caso consta sólo de dos puntos, a y b.

Teorema A
Sea C una curva cerrada simple, suave por partes, que forma la
frontera de una región S plano xy. Si M (x,y) y N (x, y)
son continuas y tienen derivadas continuas sobre y su frontera C,
entonces

∂N_
– ∂M_ dA = M dx + N dy

∂x ∂y

s

Demostración. Probemos el teorema para el caso en
el que S es tanto x-simple como y-simple y discutiremos
después las ampliaciones al caso general. Puesto que S es
y-simple, tiene la forma de la figura 1; es decir,

S = {(x, y): g(x) ≤ y ≤ f (x), a ≤ x ≤
b}

Figura 1
Su frontera C consta de cuatro arcos C1,
C2, C3, y C4 (C2 o
C4 pueden ser degenerados)

M dx = ∫C1 M dx + ∫C2 M dx
+ ∫C3 M dx + ∫C4 M dx

Las integrales sobre C1 y C4 son
cero, puesto que sobre estas curvas x es constante, por lo que dx
= 0. En consecuencia,

M dx = ∫ M (x, g(x)) dx + ∫ M (x, f(x))
dx

= -∫ [M (x, f(x)) – M (x, g(x))] dx

= – ∫ ∫ ∂M(x, y) dy dx

∂y

= – ∫ ∫ ∂M dA

∂y

El teorema de Green se cumple aún para regiones S
que tengan uno o más hoyos (figura 3), siempre que cada
parte de la frontera esté orientada de modo que S quede
siempre a la izquierda cuando se sigue la curva en su
dirección positiva. Basta con descomponerla en regiones
ordinarias, en la forma como se muestra en la
figura 4.

Figura 3 Figura 4

Ejemplo 1.
Sea C la frontera del triángulo de vértices (0, 0),
(1, 2) y (0, 2) (figura 5). Calcule

4×2 y dx + 2y dy

Por el teorema de Green,

4×2 y dx + 2y dy = ∫ ∫ (0 –
4×2) dy dx

= ∫ [-4x2y] dx = ∫ (-8×2 +
8×3) dx

= -8×3 + 2×4 = -2

3 3

Ejemplo 2.
Demuestre que si una región S del plano tiene como
frontera a C, siendo ésta una curva simple suave por
partes y cerrada, entonces el área de S está dada
por

A(S) = ½ x dy – y dx

Solución.
Sea M (x, y) = -y/2 y N (x, y) = x/2 y aplíquese el
teorema de Green.

– y dx + x dy = ∫ ∫ 1 + 1 dA =
A(S)

2 2 2 2

Ejemplo 3.
Use el teorema de Green para evaluar la integral de
línea

(x3 + 2y) dx + (4x – 3y2)
dy

donde C es la elipse b2x2 +
a2y2 =
a2b2.

Solución.
Sea M(x, y) = x3 + 2y, N(x, y) = 4x –
3y2 de modo que ∂M/∂y = 2y ∂N/∂x =
4. por el teorema de Green y el ejemplo 3,

(x3 + 2y) dx + (4x – 3y2) dy
= ∫ ∫ (4-2) dA

= 2A(S) = 2πab

Existe otra forma vectorial del teorema de Green. Pero
ahora como conjunto de un espacio de tres dimensiones. Si F = Mi
+ Nj + Ok, entonces el teorema de Green dice que

F . T ds = M dx + N dy = ∂N _ ∂M
dA

∂x ∂y

Por otra parte,

Por lo tanto, el teorema de Green toma la
forma

F . T ds = (rot F) . k dA

que a veces se llama teorema de Stokes en el
plano.

4. Integrales de
superficie

g (x, y, z)dS = lim ∑ g (xk,
yk, zk) ∆T k

|| ∆ ||→0 k

Si S es la unión de varias superficies del tipo
adecuado, entonces la integral de superficie se define como la
suma de las integrales de superficie individuales. Si g (x, y, z)
= 1 para todo (x, y, z) y la integral de superficie es igual al
área de la superficie de S.
Definición: Sea F un campo vectorial definido en S,
imagen de una
superficie parametrizada Φ. La integral de
superficie de F sobre Φ, denotada por:
∫∫ F*dS, se define por ∫∫ F*dS=∫∫
F*(TuxTv)du dv.
Ejemplo: Sea D el rectαngulo en el plano θΦ
definido por
0≤θ≤2Π, 0≤Φ≤Π,
Y sea la superficie S definida por la parametrizacion Φ:
D→R³ dada por
x=cos θ sen Ø, y=sen θ sen
Ø, z=cos Ø.
(Así, θ y Ø son los ángulos de
coordenadas esféricas, y S es la esfera unitaria
parametrizada por Φ.) Sea r el vector de posición r(x,
y, z)=xi+yj+zk. Calcular ∫∫ r*dS.

Solución:
Primero hallamos
Tθ= (-sen Ψ sen θ) i+ (sen Ψ cos
θ) j
TΨ= (cos θ cos Ψ) i+ (sen θ cos
Ψ) j-(sen Ø) k
Y por lo tanto
Tθx TΨ= (-sen² Ψ cos θ)
i-(sen² Ψ senθ) j-(senθ) k

Después evaluamos
R*( TθxTΨ)=xi+yj+zk)* (
TθxTΨ)
=[( cos θ sen Ψ)i+( sen θ sen Ψ)j+( sen
Ψ)k]*( -sen Ø)[( sen Ø cos
θ)i+( sen Ø sen θ)j+(cos Ø)k]
=( -sen Ø)(sen² Ø cos² θ+ sen²
Ø sen² θ+cos ² Ø)=-sen
Ø.

Asi,
∫∫ r*dS=∫∫-sen Ø dΦd
θ=∫ (-2)d θ=-4Π.
Se puede esbozar una analogνa entre la integral
de superficie ∫∫ F*dS y la integral de línea ∫
F*dS. Recordemos que la integral de línea es una integral
orientada.

Teorema De Evaluación
Para Integrales De Superficie (18.23)

(i) g (x, y, z) dS

= g (x, y, f(x, y)) √[fx(x,
y)]2 + [fy(x, y)]2 + 1
dA

(ii) g (x, y, z) dS

= g (x, h(x, z), z) √[hx(x,
z)]2 + [hy(x, z)]2 + 1
dA

(iii) g (x, y, z) dS

= g (k(y, z), y, z) √[ky(y,
z)]2 + [kz(y, z)]2 + 1
dA

EJEMPLO 1.
Evaluar ∫∫S x2z dS suponiendo que S
es la parte del cono circular z2 = x2 +
y2 que se encuentra entre los planos z = 1 y z =
4.

Figura 18.39

Solución.
Como se muestra en la figura 18.39, la proyección
Rxy de S sobre el plano xy es la región anular
acotada por las circunferencias de radios 1 y 4 con centro en el
origen. Si escribimos la ecuación para S en la
forma

z = (x2 + y2)1/2 = f(x,
y),

entonces

fx(x, y) = x___ y fy(x, y) =
y___.

(x2 +y2)1/2
(x2 +y2)1/2

Aplicando (18.23) (i) y observando que el radical se
reduce a √2, obtenemos

∫ ∫ x2z dS = ∫ ∫
x2(x2 + y2)1/2
√2 dA.

Usando coordenadas polares para evaluar la integral
doble,

Ejemplo 2.
Evaluar ∫∫S (xz/y) dS, donde S es la parte del
cilindro x = y2 que se encuentra en el primer octante
entre los planos z = 0, z = 5, y = 1 y y = 4

Figura 18.40

Solución.
La superficie S está en la figura 18.40 (con una escala diferente
en el eje x). La proyección Ryz de S sobre el
plano yz es el rectángulo con vértices (0, 1, 0),
(0, 4, 0), (0, 4, 5) y (0, 1, 5). Entonces, por el teorema (18.
23) (iii) con k (y,z) = y2.

 Las fórmulas en el
teorema (18. 23) presuponen de las funciones f, h y
k tienen primeras derivadas parciales continuas sobre
Rxy’ Rxz y Ryz,
respectivamente. En algunos casos puede quitarse esta
restricción usando una integral impropia.

5. Teorema De La
Divergencia De Gauss

Sea S un sólido cerrado y limitado de tres
dimensiones, que este encerrado por completo mediante una
superficie suave por partes ∂S.

Teorema A.
(Teorema de Gauss). Sea F = Mi + Nj + Pk un campo vectorial tal
que M, N y Q tienen derivadas parciales continuas de primer orden
sobre S y su frontera ∂S. Si n denota la normal unitaria
exterior para a ∂S, entonces

F . n dS = iv F dV

En otras palabras, el flujo de F a través de la
frontera de una región cerrada de tres dimensiones es la
integral triple de su divergencia sobre esa región.
Resulta útil tanto para algunas aplicaciones como para
demostración de la conclusión del teorema de Gauss
en su forma cartesiana (no vectorial). Podemos
escribir

n = cos αi + cosβj + cosγk

donde α, β y γ son los αngulos
directores de n. y entonces la fσrmula de Gauss se
transforma en

Demostración del teorema de Gauss.
Consideremos primero el caso en el que la región S es
x-simple, g-simple y z-simple. Bastará con demostrar
que

Ejemplo 1.
Verifique el teorema de Gauss para F = xi + yj + zk y S = {(x, y,
z): x2 + y2 + z2 ≤
a2} calculando independientes (a)

F . n dS y (b) div F dV

Solución.
(a) En ∂S, n = (xi + yj + zk)/a, y así F . n =
(x2 + y2 + z2)/a =a. Por lo
tanto,

F . n dS = a dS =
(4πa2) =
4πa3

(b) Como div F = 3,

div F dV = 3 dV = 3
4πa3 =
4πa3

3

Ejemplo 2.
Calcule el flujo del campo vectorial F = x2yi + 2xzj +
yz3k a través de la superficie del
sólido rectangular S determinado por (figura 3)

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤
3

(a) mediante el método
directo; (b) mediante el teorema de Gauss.

  Figura 3

Solución.

(a) Para calcular ∫∫ F . n dS directamente,
evaluamos esta integral sobre las seis caras y sumemos los
resultados. Sobre la cara x = 1, n = i y F . n = x2y =
12y = y, por lo que ∫∫ F . n dS = y dy dz =
6. Mediante cálculos semejantes podremos construir la
siguiente tabla:

En consecuencia,

F . n dS = 6 +0 + 18 – 18 + 54 + 0 = 60

(b) por el teorema de Gauss,

F . n dS = (2xy + 0 + 3yz2) dV

Ejemplo 3.
Sea S el sólido cilíndrico limitado por
x2 + y2 = 4, z = 0 y z = 3, y sea n la
normal unitaria exterior a la frontera ∂S (figura 4). Si F =
(x3 + tan yz)i + (y3 –
exz)j + (3z + x3)k, encuentra el flujo de F
a través de ∂S.

  Figura 4

Solución.
Imagine las dificultades al tratar de evaluar en forma directa
∫∫ F . n Ds. No obstante,
div F = 3×2 + 3y2 + 3 = 3 (x2 +
y2 + 1)
y por lo tanto, por el teorema de Gauss y el cambio de
coordenadas cilíndricas,

6. Teorema de
Stokes

F . T ds = (rot F) . n dS

El
teorema de Stokes se puede enunciar como sigue: la integral de
línea de la componente tangencial de F a lo largo de C
recorrida una vez en la orientación positiva es igual a la
integral de superficie sobre S de la componente normal de rot F.
Si F es un campo de fuerza, el
teorema afirma que el trabajo
realizado por F a lo largo de C es igual al flujo de rot F a
través de S. La integral de línea en (18. 28)
también se puede expresar como

F . dr

donde r
es el vector de posición del punto (x, y, z) de C. para
analizar situaciones más generales que la ilustrada en la
figura 18. 55, hay que considerar una superficie orientada S y
definir un sentido positivo a lo largo de C de manera adecuada.
(La demostración del teorema de Stokes se puede encontrar
en libros de
cálculo
más avanzados.)
Figura 18.55

Ejemplo 1.
Sea S la parte del paraboloide z = 9 – x2
– y2 para z ≥ 0, y sea C la traza de S en el
plano XY. Verificar el teorema de Stokes (18. 28) para el campo
vectorial F = 3zi + 4xj + 2yk.

Solución.
Queremos demostrar que las dos integrales en el teorema (18. 28)
tienen el mismo valor. La superficie es la misma que consideramos
en el ejemplo 4 de la sección 18.5 donde obtuvimos
que

n = 2xi + 2yj + k

√4×2 + 4y2 + 1

 Según (18.6),

Por lo tanto,

(rot F) . n dS = 4x + 6y + 4_ = dS.

√4×2 + 4y2 + 1

Usando (18.23) (i) para evaluar esta integral de
superficie, resulta que

(rot F) . n dS= (4x + 6y + 4) dA

donde R es la región del plano xy acotada por la
circunferencia de radio 3 con centro en el origen. Cambiando a
coordenadas polares, obtenemos

La integral de línea en el teorema de Stokes
(18.28) se puede escribir

donde C
es la circunferencia en el plano xy con ecuación
x2 + y2 = 9. Como z = 0 en C, esto se
reduce a

Ejemplo 2
Verifique el teorema de Stokes para F = yi – xj + yzk si S
es el paraboloide z = x2 + y2 = 1, z = 1 y
su frontera (figura 2).

Figura 2

Solución.
Podemos describir mediante ∂S las ecuaciones
paramétricas
x = cos t, y = sen t, z = 1
Entonces, dz = 0 y (sea la sección 17.2)

Por otra parte, para calcular ∫∫ (rot F) . n dS,
deberemos obtener primero

Entonces, por el teorema
17.5B,

Ejemplo 3.

Use el teorema de
Stokes para evaluar F .T ds, donde F = 2zi + (8x – 3y)j +
(3x + y)k y C es la curva triangular de la figura 3.

Figura 3

Solución.
Podemos hacer que S sea cualquier superficie, con C como frontera
orientada, pero nuestra ventaja consiste en escoger la más
simple de dichas superficies (el triángulo plano T). Para
determinar n en esta superficie, observé que los
vectores

A = (0 – 1)i + (0 – 0)j + (2 – 0)k = -i + 2k

B = (0 – 1)i + (1 – 0)j + (0 – 0)k = -i + j

pertenecen a esta superficie y que por lo
tanto

es perpendicular a él. En
consecuencia, la normal unitaria exterior es

También

y rot F . n = 8/3. Concluimos
que

7.
Bibliografía

• SWOKOWKI

Cálculo con Geometría
Analítica
Editorial: Iberoamericana.

• PORCELL

Cálculo
Editorial: Limusa.

• SPIEGEL Murray L.

Cálculo vectorial
Editorial: Mc Graw Hill

Autor:

Victorina Sevilla Diaz