Apunte para entender bastante la teoría de la relatividad especial y algo la general

Indice
1.
Introducción
2. Las dos teorías de la
relatividad
3. La teoría de la relatividad
especial
4. Consecuencias de la aplicación
de los postulados de Einstein
5. El calculo de velocidades
relativas
6. Las consecuencias extrañas de la
teoría de la relatividad especial
7. Algunos conceptos para
entrar en la Teoría general de la
Relatividad
8. La Teoría General
de la Relatividad

1. Introducción

A partir de tratar de explicar a personas que se
interesaban, algunos conceptos de la teoría especial de la
relatividad, sea la constancia de la velocidad de
la luz, el
significado del paso del tiempo, la
relación entre los diferentes sistemas de
referencia; me di cuenta que mis explicaciones no eran
satisfactorias. Pienso que cuando uno no puede explicar algo es
quizás porque algo de lo que intenta explicar no lo
entiende. Así con el mismo método que
encare la lectura y
la escritura de
temas
relacionados con la mecánica cuántica, me propongo ahora
hacer lo mismo con la relatividad.
Lo primero que surge de algunas lecturas es que las teorías
de la relatividad desarrolladas por Einstein, al igual que en el
caso de la física
cuántica, no son teorías que se vinculen con
nuestro sentido común desarrollado a partir de las
experiencias cotidianas. Esto sigue para mí siendo tan
sorprendente como es el caso de la física cuántica
, mi pregunta es ¿cómo una persona puede
pensar y desarrollar una teoría a partir de supuestos que
en una primera instancia suenan ridículos, o contrarios a
lo que llamamos razonable? No tengo respuesta a esta pregunta
pero sí una conclusión: hay que tomar caminos que
no parecen razonables con confianza, si finalmente conducen a
algo ese algo será extraordinario porque estaba oculto a
los ojos de muchos y solo se revela por primera vez a aquellos
que seguramente se encontraron con una felicidad suprema al ver
que lo ridículo era cierto. Si no conducen a nada, el solo
esfuerzo de transitarlos templa el espíritu para
emprendimientos mayores, es en definitiva una escuela de
formación del alma.

Vayamos ahora sí al tema. La teoría de la
relatividad que se asigna a Albert
Einstein, esta vinculada con los temas de la bomba
atómica, la energía
nuclear y con la idea de que no hay absolutos, sino todo es
relativo. Digamos que lo referente a la energía nuclear es
ante todo un subproducto de los trabajos de Einstein. A
diferencia de muchas teorías científicas, la
relatividad es una teoría que surge a través del
método científico denominado deductivo en lugar del
inductivo. Esto significa que Einstein inicia su planteo con
algún postulado acerca de la naturaleza sin
recurrir a experiencias observables es decir sin
comprobación posible de lo que postula como verdadero;
vale una digresión aclaratoria: el porque o de donde saca
los postulados iniciales, mucho tienen que ver con lo que pasaba
en el mundo científico en su momento; es decir Einstein no
saca postulados de la galera. A partir de allí, deduce las
consecuencias que se producirían si dichos postulados son
correctos. Estas consecuencias se utilizan luego para predecir
comportamientos de la naturaleza, y si los mismos se confirman
correctos, entonces se acepta a la teoría como valida,
independientemente que el o los postulados iniciales suenen
extraños o contradictorios o no intuitivos,
difíciles de entender en su significado.

Entre las consecuencias que suenan como
esotéricas, encontramos la equivalencia de masa y
energía: la masa seria algo así como energía
congelada. La relación entre ambas esta dada por un factor
tan grande que es la base de los desarrollos en energía
nuclear y lamentablemente también guerra
nuclear.

a) El paso del tiempo
Nuestra intuición nos dice que el tiempo es absoluto, un
segundo es lo mismo para mi sentado en la computadora
que para la persona que esta en un auto viajando a 120 km/hr. Por
esa razón es que podemos usar relojes que miden el paso
del tiempo y combinar encontrarnos en un lugar a una hora
determinada. La primera ridiculez que surge como consecuencia de
los postulados de Einstein allá por 1905, es que el tiempo
no es absoluto, sino que el paso del mismo depende del estado de
movimiento del
reloj con el cual se mide. Un segundo medido en un reloj por
cierto observador, corresponde a menos de un segundo transcurrido
en un vehículo que se mueve respecto de dicho observador
que mide. Esto quiere decir que el tiempo es relativo al
observador que lo mide.

¿Por qué Einstein propuso cosas que
conducen a conclusiones que suenan ridículas?
La relatividad del tiempo no es parte de nuestras experiencias
personales en el mundo, por el contrario viola dichas
experiencias. Los efectos de la relatividad del tiempo son muy
pequeños, imperceptibles a las velocidades bajas que
estamos acostumbrados en el mundo cotidiano. La relatividad es
una propiedad de
la naturaleza no intuitiva. Toda la física que se inicia
en el siglo XX esta en desacuerdo con el sentido
común.
Tampoco es posible hacer aproximaciones a la teoría de la
relatividad especial a través de experimentos o
deducciones matemáticas.
Lo que Einstein intento hacer es poder dar
explicaciones que hasta ese momento no existían de
fenómenos estudiados a lo largo del siglo XIX, algo
así como una nueva interpretación.

2. Las dos teorías
de la relatividad

Einstein desarrollo dos
teorías de la relatividad:

1. La teoría especial de la relatividad en 1905,
   que se ocupa de la forma en la cual el espacio y el tiempo se
   manifiestan a diferentes observadores, que se mueven a
   velocidades relativas constantes entre ellos. Cuando en
   física hablamos de observadores, nos referimos a
   personas que pueden hacer mediciones de espacio con una regla,
   o del paso del tiempo con un reloj. Es decir esta teoría
   es una teoría del espacio – tiempo
2. La teoría general de la relatividad en 1915,
   es una teoría que estudia las causas de la gravedad, de
   la atracción existente entre dos cuerpos. Pensemos por
   un momento lo extraño que resulta afirmar que dos
   cuerpos muy masivos (Ej. La tierra y
   la luna), ejercen entre sí una fuerza de
   atracción a pesar de estar separados por una gran
   distancia y no estar unidos por nada material. La acción
   a distancia sin una conexión concreta, es algo
   extraño, aunque al estar acostumbrados a percibirla, no
   nos asombra. Newton
   había determinado cual era la ecuación matemática que expresa la ley
   física de atracción entre los cuerpos, pero nunca
   explico el porque de la acción a distancia que ejercen
   los cuerpos entre si. Esta teoría de Einstein brinda de
   alguna manera ese por que.

3. La teoría de la
relatividad especial

Ahora nos concentraremos en la primera de las
teorías de la relatividad, es decir la especial.
En primer lugar tenemos que saber que la idea fundamental de esta
teoría es la no existencia de la condición de
movimiento o reposo absoluto. Solo existe el movimiento relativo
entre cuerpos y el estado de
reposo de un cuerpo será relativo a otro cuerpo. Este es
el motivo por el cual la teoría adopta el nombre de
Relatividad.

¿Qué significa la condición de
movimiento absoluto? seria aquel que puede determinarse y medirse
sin ninguna referencia localizada fuera del objeto en movimiento.
No existen marcas fijas en
el espacio contra las cuales pudieran observarse los estados de
movimiento de los cuerpos. Pensemos ¿como nos damos cuenta
nosotros viajando en un auto a velocidad constante, es decir sin
acelerar ni frenar, que estamos en movimiento? . Alguna vez
podremos haber tenido la experiencia de estar en un vagón
de tren detenido en el anden, y de repente si vemos otro tren en
el anden contiguo que se mueve en dirección contraria al nuestro, nos da la
sensación que somos nosotros los que nos movemos.
¿Por qué? Porque simplemente es cierto, nos movemos
relativamente al otro tren, lo cual no indica que nos estemos
moviendo respecto del anden donde estamos
estacionados.

La condición de movimiento esta
íntimamente conectada con el tiempo. Es así que
otra idea fundamental de esta teoría de Einstein
será que el tiempo absoluto no existe.
Ya dijimos que la velocidad a la que escuchamos el tic-tac de dos
relojes, depende de la velocidad relativa entre ellos. Se
comprueba que si sincronizamos dos relojes , y uno queda en
tierra
mientras que el otro viaja al espacio y vuelve, al llegar, la
lectura en
este ultimo mostrara que el tiempo transcurrido es menor que la
lectura en el reloj de tierra. No solamente esto sino que si hubo
una persona viajando, esta habrá envejecido menos que la
que quedo en tierra. Claro como antes dijimos, las diferencias
son imperceptibles a los sentidos,
aunque no en la medición de los relojes que puede hacerse
tan precisa como sea necesario. Veremos esto con mas detalle mas
adelante.

Un detalle acerca de la
personalidad de Einstein. El siempre desconfió de
ciertos conceptos establecidos no por la razón sino por
una autoridad
suprema. Esta actitud le
permitió dar un gran salto, animándose a proponer
lo que otros no se animaban o simplemente no se cuestionaban para
no ser tildados de tontos.
Es así que lo que Einstein trataba de hacer cuando propuso
su teoría especial de la relatividad, era encontrar el
sentido a un conjunto de propiedades de la naturaleza observadas
durante un largo periodo de tiempo. ¿Cuáles eran
estas?

a) La relatividad de la mecánica
La rama de la física que estudia como las masas responden
a las fuerzas que actuan sobre ellas y a su movimiento, se
denomina mecánica. Newton desarrollo en el siglo XVII esta
rama de la física a partir de contribuciones hechas
anteriormente por Galileo. Las leyes de la
mecánica, tienen implícito un principio de
relatividad. Este dice que no existe ningún experimento
mecánico que pueda revelar el estado de movimiento de un
observador. Este solo puede medir su movimiento relativo a otro
observador u otro objeto. No puede decir que se mueve a tal o
cual velocidad en términos absolutos. Einstein
extendió este principio de relatividad de la
mecánica a toda la física cuando dijo que
ningún experimento, no solo mecánico puede
determinar un estado de movimiento absoluto. Su gran salto fue
afirmar, el movimiento absoluto no existe.

b) La relatividad de la electricidad y el
magnetismo.
La electricidad es un fenómeno de la naturaleza asociado
con pedazos de materia
cargadas positiva o negativamente. Este fenómeno se
manifiesta porque entre dichos pedazos de materia cargada se
ejerce una fuerza de atracción o repulsión. Cuando
las cargas están en reposo hablamos de electricidad
estática, mientras que si están en
movimiento las denominamos corriente
eléctrica. Al frotar un vidrio con un
trapo y luego acercarlo a un papel
tendremos un ejemplo de electricidad estática, mientras
que del enchufe de la pared lo que obtenemos es una corriente
eléctrica que esta producida por cargas en
movimiento.

El magnetismo por otro lado, es una propiedad que tienen
algunas substancias (especialmente el hierro), que
se manifiesta también por una fuerza de atracción o
repulsión, sobre substancias similares. La experiencia
común que tenemos de este fenómeno es la observada
con los imanes, los cuales interpretamos están rodeados de
energía magnética que produce estas atracciones y
repulsiones. Esta energía magnética es lo que se
denomina el campo
magnético del imán.
Al comienzo del siglo XIX, los científicos descubrieron
que estas fuerzas estaban relacionadas de la siguiente manera:
una corriente eléctrica en una cable produce a su
alrededor un campo magnético, y viceversa un imán
que se mueve en el interior de un cable enrollado (bobina) genera
en el mismo una corriente eléctrica. Es decir, cargas
eléctricas en movimiento generan magnetismo, mientras que
imanes en movimiento generan corriente
eléctrica.

A partir de que se conoció esta
inter-relación, comenzó a denominarse a estos
fenómenos electromagnéticos.
Lo que observaron los científicos de esta época,
era que existía un principio de relatividad en el electromagnetismo, ya que los movimientos, sea de
las cargas como de los imanes, para que produjeran campos
magnéticos o eléctricos, eran movimientos relativos
entre las partes con las que se hacia el experimento.

Esto se puede apreciar bien en el caso del imán
que se mueve en el interior de una bobina. Es exactamente lo
mismo dado que produce el mismo resultado que el imán se
mueve en una dirección mientras la bobina esta quieta,
como que la bobina se mueva en la dirección contraria
mientras el imán esta quieto. Siempre que las velocidades
relativas en ambos casos sean iguales, la corriente
eléctrica que se genera será de la misma
intensidad.
Luego vemos que haciendo este experimento solo podemos comprobar
el estado de movimiento relativo entre la bobina y el
imán, pero no sabemos cual de los dos es el que en
realidad se esta moviendo.
Sin embargo no todo el electromagnetismo se ajustaba al principio
de relatividad como veremos luego.

c) El descubrimiento de la luz como fenómeno
electromagnético.
Maxwell en 1865, demostró matemáticamente que los
imanes y las corrientes eléctricas podían producir
ondas viajeras de
energía
eléctrica y magnética. Ondas que se
movían en el espacio por sus propios medios, sin
que los imanes o los cables intervinieran en este viaje. Una onda
electromagnética como toda onda, transmite energía
que se manifiesta como fuerzas eléctricas y
magnéticas que se mueven a través del espacio.
Estas ondas son invisibles, solo podemos apreciar sus
consecuencias. Son campos eléctricos y magnéticos
que se trasladan en la dirección del movimiento
perpendicular a esta (la dirección) y perpendicularmente
entre ellos. Es decir si graficamos tres ejes coordenados X, Y y
Z, si la onda electromagnética se traslada en la
dirección de Z, los campos eléctricos y
magnéticos lo harán en la dirección de X e
Y, o alternativamente de Y y X. Maxwell calculo
matemáticamente la velocidad de traslación de estas
ondas electromagnéticas y encontró que la misma era
igual a la velocidad de la luz cuya magnitud ya había sido
calculada en el pasado. A raíz de este descubrimiento,
Maxwell propuso que la luz era una onda viajera de energía
electromagnética, que viaja a través del espacio
vacío a una velocidad finita cercana a los 300.000
km/seg.

Veamos mas en detalle el razonamiento de
Maxwell:

• Una carga eléctrica tiene asociada a ella un
  campo
  eléctrico E. Su existencia sirve para indicar que
  toda carga eléctrica colocada en la influencia de dicho
  campo, experimentara sobre ella una fuerza de determinada
  magnitud y en determinada dirección.
• Si una carga eléctrica se mueve (esto es lo
  que conocemos como corriente eléctrica), se genera un
  campo magnético B, cuyo significado es la
  indicación de que toda carga en movimiento colocada en
  la influencia de dicho campo magnético experimentara una
  fuerza cuya magnitud y dirección diferirán de la
  que experimentaba por la acción del campo
  eléctrico.
• Dado que lo que realmente cuenta en materia de
  movimiento, son los movimientos relativos de las cargas
  respecto a los campos, podemos deducir que tendremos el mismo
  efecto anterior si sobre una carga en reposo actúa un
  campo magnético variable.
• Ahora bien si sobre una carga en reposo detectamos
  una fuerza, significa que la misma esta dentro de la influencia
  de un campo eléctrico.
• Por esto Maxwell concluye que un campo
  magnético variable, crea un campo
  eléctrico.
• La reciproca también se comprueba y así
  Maxwell también establece que un campo eléctrico
  variable produce un campo magnético.
• Si el campo magnético B varia en forma
  constante, el campo eléctrico E generado será
  también constante, y viceversa campos magnéticos
  que varían en forma no constante, generan campos
  eléctricos también no constantes.
• Así nos encontramos con una suma de efectos,
  campos magnéticos variables
  generan campos eléctricos variables, que a su vez
  generan mas campos magnéticos variables que a su vez
  generan campos eléctricos variables, y así
  siguiendo.
• Maxwell demostró que estos campos
  eléctricos y magnéticos variables que se recrean
  constantemente uno al otro, se propagan en el espacio a una
  velocidad definida y calculada c, que resulta igual a la
  velocidad de la luz.

d) El experimento de Michelson y Morley.
Estos científicos en el año 1881 realizaron un
experimento para intentar encontrar un estado de reposo absoluto,
basándose en que la luz es una onda con velocidad
definida. Vemos como el tema de la época era poder
encontrar un sistema de
referencia absoluto, porque todos los desarrollos de Newton
requerían de este concepto. A pesar
de lo que hasta ahora se había concluido, los
científicos no se convencían de la no existencia de
estados absolutos de movimiento o reposo. El descubrimiento de
que la luz era una onda electromagnética, hacia pensar que
debía existir un medio a través del cual la onda
pueda viajar. Esto surgía como analogía de otras
ondas, el sonido requiere
el aire para
trasladarse, las ondas acuáticas el agua. Por
definición, para que haya onda debía haber un medio
material donde propagarse. Como la luz se mueve por todo el
universo-así es que vemos las estrellas- este medio
debía ser tal que estuviera en todos lados. Podía
entonces utilizarse el mismo como referencia de movimientos
absolutos. A este medio se lo conocía como éter.
Para ver como calcular movimientos absolutos a partir de los
movimientos relativos, veamos una analogía: Supongamos que
estamos en un bote en el medio del agua. Si
quisiéramos saber a que velocidad se mueve el bote
respecto del medio, deberíamos en primer lugar generar
ondas en el agua. Las mismas se alejaran de nosotros a una cierta
velocidad que podemos calcular contando las crestas por unidad de
tiempo transcurrido. Esta velocidad variara según sea que
el bote este en reposo o en movimiento, y en que
dirección, dado que la velocidad con que se alejan las
ondas será mayor en la dirección opuesta al
movimiento y menor en la dirección del movimiento. Si
llamamos U a la velocidad de las ondas, y V a la velocidad del
bote respecto al agua, la cual no conocemos, una vez que
determinamos la dirección del movimiento del bote que es
aquella donde la velocidad medida de las ondas será menor;
sabemos que la velocidad que medimos será U+V para las
ondas que se alejan de nosotros hacia atrás de la
dirección de movimiento del bote y U-V la de sentido
contrario. Es decir que si hacemos la siguiente operación
podremos obtener la velocidad del bote respecto al agua V:
(U+V)-(U-V)=2V

De la resta de ambas dividido 2 obtendremos la velocidad
V del bote respecto del medio agua.
Michelson y Morley intentaron medir la velocidad de la tierra
respecto al éter con un sistema similar. La
analogía es que la tierra es el bote, el éter es el
agua, y las olitas son reemplazadas por la luz. Lo que hicieron
fue medir la velocidad de dos rayos de luz perpendiculares, uno
que viajaba en la dirección de la rotación de la
tierra alrededor del sol, y otro perpendicular a este. El
experimento partía de un mismo haz de luz que se separaba
en direcciones perpendiculares hacia sendos espejos situados a la
misma distancia del lugar de separación. En estos espejos
se reflejaban volviendo a juntarse nuevamente. Su razonamiento
era que el rayo que se mueve en la dirección del
movimiento de la tierra, como en el caso del bote en el agua,
tendrá al encontrarse con el otro rayo, una velocidad
relativa diferente, dado que el espejo en el caso del rayo
perpendicular al movimiento de la tierra, siempre mantiene la
misma distancia de recorrido. Al tener velocidades relativas
diferentes se produciría un desfasaje en los rayos que se
manifestaría mediante un fenómeno de interferencia.
Este desfase, conociendo el valor de la
velocidad de la luz permitiría calcular cuanto
había recorrido la tierra respecto al éter y por
ende su velocidad. Para su sorpresa, no encontraron nunca
diferencias en la velocidad de la luz, es decir nunca se produjo
una interferencia, sin importar en que dirección respecto
al movimiento de la tierra la midieran.

Las dudas de los científicos fueron aclaradas por
Einstein quien dijo una verdad de perogrullo, pero que nadie se
animaba a decir. Einstein dijo que esta velocidad no se
podía determinar porque el tal "viento de éter" no
existe y que las ondas electromagnéticas no necesitan de
un medio para trasladarse, sino que lo pueden hacer en el
vacío, hasta aquí dijo lo que se observaba. Pero
también dijo algo mas extraño, que la velocidad de
la luz es invariante, y que la misma no esta afectada por la
velocidad del observador que la mide o de la fuente que la emite,
esto daba por tierra a un concepto muy arraigado en nuestro
sentido común que es el de la composición de
velocidades relativas.

e) Transformadas galileanas y transformadas de
Lorentz
El titulo suena complejo pero es importante entrar en este tema
para entender mejor el razonamiento de Einstein. Algunas ideas
que aquí expondré serán repetidas pero sirve
para aclarar mas el estado de la situación de la ciencia en
el momento que Einstein saca sus postulados.
Se llaman transformadas galileanas, a un conjunto de ecuaciones que
conectan sistemas de referencia en movimiento relativo uniforme,
a estos sistemas de referencia se los denomina inerciales por
estar en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme
entre si. Pensemos en un sistema S fijo y un sistema S’ que
se mueve a la velocidad V respecto de S en la dirección
del eje x.

Un punto P al que denominamos un evento, se identifica
por medio de tres valores
(coordenadas) que lo ubican en el espacio y un valor (coordenada)
que lo ubica en el tiempo cuando el evento sucedió. Estos
valores de las coordenadas son conocidos como: x, y, z, t en el
sistema S. También, debe haber valores equivalentes en el
otro sistema S’ que se mueve respecto a S, los cuales
estarán relacionadas con las del sistema S. Las ecuaciones
que relacionan cada una de estas coordenadas son las que ahora
llamamos transformadas galileanas; y son las siguientes:
x’ = x-V.t
y’= y
z’= z
t’=t

Desde la época de Galilelo, existía un
principio conocido como principio de relatividad, que dice que
las leyes de la naturaleza tienen la misma forma
matemática en todos los sistemas de referencia
inerciales.

Las ecuaciones que se utilizaban para expresar o mejor
transformar las leyes de la mecánica entre los diferentes
sistemas inerciales, eran las transformadas galileanas que
mostramos antes.

Cuando Maxwell desarrollo las leyes del
electromagnetismo, surgió un conflicto
entre las soluciones
matemáticas de las ecuaciones de Maxwell y las
transformadas galileanas . Las soluciones matemáticas de
las ecuaciones de Maxwell daban origen a ondas que viajan en el
espacio vacío a la velocidad de la luz, que como ya
dijimos a esta altura se había calculado su valor con
precisión. Esto es lo que le hizo decir a Maxwell que la
luz era una onda electromagnética. Esta velocidad que
surgía a partir de la resolución de las ecuaciones
era para cualquier sistema de referencia, es decir era un
invariante.

El problema que mencionamos surge porque ahora
parecía que en el electromagnetismo las transformadas
galileanas no eran validas, dado que en el sistema de referencia
S’ relacionado con el sistema S a través de las
transformadas galileanas, la velocidad de la onda en su
componente x, debía resultar ser U’x=c-V,
donde c es la velocidad de la onda y V recordemos que es la
velocidad de S’ respecto a S.
Sin embargo la resolución matemática de las
ecuaciones de Maxwell como dijimos daba que U’x=
c.
Lo primero que se dijo para encontrar una salida a este
conflicto, fue considerar que las ondas de luz se propagaban
respecto a un medio denominado éter; de esta manera se
decía que las ecuaciones de Maxwell eran validas solamente
en el sistema de referencia en reposo absoluto del éter.
Para otros sistemas que se movieran respecto del éter la
velocidad de la luz cambiaria de acuerdo a lo que expresan las
transformadas galileanas.
Entonces si existía un sistema de reposo absoluto dado por
el éter, fue cuando Michelson y Morley intentaron hacer su
experimento para determinar la velocidad de la tierra respecto al
éter y concluyeron que la luz siempre se mueve a la misma
velocidad independiente del sistema de referencia en el cual se
la mida.
Este dato acerca de la velocidad de la luz constante, es lo que a
Einstein le hace repensar el concepto que tenemos del espacio y
del tiempo.

Las transformadas galileanas son incorrectas pero dan un
resultado correcto cuando hablamos de velocidades dentro de
nuestras experiencias cotidianas. Solo a altas velocidades
cercanas a la de la luz parecería ser que dichas
transformaciones no son correctas y que se debían
encontrar otras.
Estas transformaciones existen y son las denominadas
transformadas de Lorentz.

f) Deducción de las transformadas de Lorentz
La deducción de estas la podemos hacer teniendo en cuenta
dos cosas, por un lado deben ser tales que a velocidades bajas
estas ecuaciones se deben convertir en transformadas galileanas,
ya que sabemos que en estos rangos de velocidades bajas, estas
son validas. Por otro lado debemos incorporarles el dato que la
velocidad de la luz es constante en los diferentes sistemas de
referencia.

Veamos entonces la deducción:
Decimos primero que x’= g (x-Vt) (1) Sabemos que para g = 1 la ecuación (1) se
convertirá en la transformada galileana.
Ahora bien si nos situamos en el sistema S’ como si fuera
el fijo, el sistema S se moverá hacia el lado del eje x
negativo a una velocidad V. Esto es fácil de interpretar
tal como vimos en el ejemplo de los dos trenes en movimiento en
el anden. Podemos escribir la ecuación que conecta ambos
sistemas igual que en primer caso obteniendo que:
x= g
(x’+Vt’) (2)
Esto lo hacemos para poder obtener de (1) y (2) la
relación de t con t’, porque ahora sabemos que esta
será diferente a la de la transformada galileana donde
t=t’
x’=g
(x-Vt)
x= g
(x’+Vt’)
De este sistema surge que:
t’= g
[t-(g
2-1).x/g 2.V] (3)
Todavía no sabemos cuanto vale g , solo que si es igual a 1 siguen
valiendo las transformadas galileanas.
Aquí entra el segundo aspecto del razonamiento, que es
incorporar la constancia de la velocidad de la luz para ambos
sistemas S y S’.
Supongamos un instante inicial t=t’=0 donde iniciamos las
mediciones en nuestros dos sistemas S y S’. Es como si
ambos estuvieran acoplados en dicho momento inicial t=t’=0,
a partir del cual S’ se empezara a mover respecto a S a una
velocidad V en la dirección del eje horizontal x. En
realidad debemos pensar que S’ ya se esta moviendo, y que a
partir del momento de coincidencia de los orígenes O y
O’, es cuando empezamos a realizar las mediciones. Esto es
así porque si S’ estuviera quieto y empezara a
moverse, tendría una aceleración, por ende el
sistema dejaría de ser inercial y las conclusiones no
serian validas. En ese instante inicial, cuando O=O’, sale
un rayo de luz que recorre una distancia hasta un detector, dicha
distancia es x en el sistema S y x’ en el sistema S’.
Como dijimos que la velocidad de la luz c es constante en
cualquier sistema, tendremos que
x= c.t
x’= c.t’

Reemplazando estos valores de x y x’ en las
ecuaciones (1) y (3) tenemos:
En (1) ct’=g
(ct-Vt) è ct’= g t(c-V) llamamos a esta (A)
En (3) t’=g
[t-(g
2-1)ct/g 2..V] è t’= g t[1-(g 2-1).c/g 2.V] llamamos a esta
(B)
Dividiendo (A)/(B) y desarrollando algebraicamente (es sencillo y
da) llegamos a:
g
2=1/(1-V2/c2)
Si ahora reemplazamos este valor de g en las ecuaciones (1) y (3) obtendremos
las denominadas transformadas de Lorentz que cumplen con los dos
requisitos a saber:

• Para velocidades V muy bajas respecto a la velocidad
  de la luz se convierten en las transformadas
  galileanas
• Respetan el postulado de la constancia de la
  velocidad de la luz en ambos sistemas de referencia S y
  S’.

g) Transformadas de Lorentz
x’=(x-V.t)/(1-V2/c2)1/2
y’=y

z’=z
t’=(t-V.x/c2)/(1-V2/c2)1/2

Podemos ahora si volver a los postulados de Einstein y
ver cuales son las consecuencias extrañas o contrarias al
sentido común que surgen de los mismos. Aplicando las
transformadas de Lorentz podremos ver como se producen dichas
consecuencias.

h) Los postulados de Einstein
Recordemos ante todo haber dicho que un postulado es algo que no
se explica o demuestra sino que por el contrario se establece y a
partir del mismo se deducen las consecuencias de los mismos. Si
estas pueden comprobarse experimentalmente entonces los
postulados serán validos para la teoría así
desarrollada.

• 1er Postulado de Einstein: Es el que ya
  existía conocido como el principio de la relatividad.
  Todos los observadores en movimiento constante entre ellos son
  completamente equivalentes. Todas las leyes físicas de
  la naturaleza son las mismas en todos los marcos (sistemas) de
  referencia inerciales donde se las mida.. No hay manera de
  conocer el estado de movimiento de un observador a partir de
  ningún experimento físico que sea realizado por
  dicho observador dentro de su sistema de referencia, (si
  jugamos un partido de fútbol en un barco o en un
  avión en movimiento uniforme (no acelerado) es igual que
  si lo jugáramos en la tierra, los jugadores no patean
  mas fuerte en la dirección del movimiento.
• 2do Postulado de Einstein. La luz siempre se propaga
  en el espacio vacío con una velocidad definida c, la
  cual es independiente del estado de movimiento del cuerpo que
  emite esa luz.

Este 2do postulado surge del primero por lo siguiente.
Hasta el momento todos los experimentos realizados mostraban que
no era posible determinar una velocidad absoluta. Si
supusiéramos en contra del segundo postulado que
diferentes observadores con diferentes velocidades relativas,
pudieran medir diferentes velocidades relativas de la luz,
entonces podrían haber determinado su propia velocidad a
través del éter (velocidad absoluta), pero esto
estaría violando el primer postulado de
Einstein.

El razonamiento es algo confuso, pero el salto
cualitativo de Einstein parece ser que dice que si todos los
experimentos mecánicos y electromagnéticos
realizados demuestran que no hay movimientos absolutos, entonces
esto debe tomarse como verdadero y asumirlo como un postulado, el
cual debe cumplirse siempre.
Einstein llamo a estas conjeturas postulados porque
reconocía que no eran requeridos por la lógica
de las evidencias experimentales, sino solo motivadas por ellas.
Algo así como que Einstein exclamara: "… y si da
así, será así…"

4. Consecuencias de la
aplicación de los postulados de Einstein

a) En el significado del electromagnetismo
Una de las ecuaciones de Maxwell habla de que una carga en reposo
genera un campo eléctrico (Ley de Columb). ¿Reposo
respecto a que?.
Otra de las ecuaciones de Maxwell habla de una corriente
eléctrica que son cargas en movimiento, generan un campo
magnético (Ley de Ampere). ¿Movimiento respecto a
que?
Desde la relatividad podemos decir que si un observador se
considera en reposo medirá un campo eléctrico
generado por la carga en su mismo sistema de referencia, mientras
que otro observador que esta en un sistema en movimiento respecto
al primero (digamos en un tren) y hace la medición,
medirá un campo magnético, porque respecto a su
sistema de referencia, la carga se esta moviendo. Es decir ambas
leyes, la de Columb y la de Ampere son manifestaciones del mismo
fenómeno, pero medidos por observadores en diferentes
sistemas de referencia, ambos en movimiento relativo entre
ellos.

Es decir Einstein fue un paso mas allá que
Maxwell al decir no solo que los campos eléctricos y
magnéticos son manifestaciones de un único campo
denominado electromagnético, sino que también dice
que estas manifestaciones no son manifestaciones diferentes, sino
la misma pero que dependen del sistema de referencia dentro del
cual se las observe.

b) En el significado de los conceptos espacio y
tiempo
La constancia de la velocidad de la luz requiere que las nociones
de espacio y tiempo cambien. Ya no pueden pensarse como cosas
separadas, diferentes y absolutas. Estos conceptos dependen no de
si mismos sino del sistema de referencia en el cual esta el
observador que realiza la medición. Este cambio es mas
fácil de visualizar a partir de las transformadas de
Lorentz que son las ecuaciones que conectan o relacionan las
coordenadas de un evento que sucede en el espacio y en el tiempo
observado o medido en dos sistemas de referencia inerciales S y
S’.
Recordemos que
x’ = (x-Vt)/[1-(V/c)2]1/2
t’=
(t-Vx/c2)/[1-(V/c)2]1/2

Vemos como el tiempo t’ asignado a la ocurrencia
de un evento por el observador O’ depende no solo del
tiempo t, sino también de la coordenada espacial x
asignada a dicho suceso por el observador O. así no
podemos mantener una distinción definida entre el espacio
y el tiempo como conceptos separados.

En lugar de localizar a un evento con 3 coordenadas
espaciales y un tiempo separado de las mismas, tenemos que pensar
en cuatro coordenadas similares en el espacio-tiempo que
están mezcladas como vemos en las transformadas de
Lorentz. Matemáticamente el tiempo es como una cuarta
dimensión espacial.

b1) Simultaneidad
Dos eventos son
simultáneos para el observador O si se producen en el
mismo momento es decir, t2-t1=0, donde
t2 es el momento de ocurrencia del evento 2 y
t1 el de ocurrencia del evento 1. Si ambos sucesos
ocurren en diferentes lugares del espacio, es decir
x2-x1≠0, ¿cuál
será la percepción
de simultaneidad de los mismos eventos pero para un observador
O’?

Aplicando Lorentz para el tiempo
Δt’ =
(Δt-V.Δx/c2)/[1-(V/c)2]1/2
Δt = 0
Δt’ =
(-V.Δx/c2)/[1-(V/c)2]1/2

Es decir Δt’ ≠ 0, lo cual significa que
lo que es simultaneo para el observador O, no lo es para el
O’ dado que no existe simultaneidad en el espacio es decir
los eventos no ocurren en el mismo lugar.
Esto tendra consecuencias cuando comparemos intervalos de tiempo
y longitudes que se miden en diferentes sistemas de
referencia.

b2) La dilatación del tiempo
Imaginemos un reloj de luz, en el cual el paso del tiempo se mide
por los tics hechos por un detector cuando un rayo de luz hace un
recorrido de ida y vuelta desde una fuente emisora hasta el
detector ubicado en el mismo lugar, reflejándose a mitad
de camino en un espejo (A una distancia L desde donde esta la
fuente y el detector). Imaginemos también que dicho
sistema o reloj de luz esta montado en un tren que se mueve en
dirección perpendicular al camino que recorre la luz a una
velocidad v. Hay un observador en tierra O y uno en el tren
O’.
O’ que esta en movimiento con el reloj de luz, dice que
t’1 es el momento en que dispara el rayo,
mientras t’2 es el momento en que el detector
hace tic marcando la llegada del rayo. así decimos que los
eventos son la salida del rayo de luz de la fuente y la llegada
del rayo de luz al detector.
Los mismos eventos para O que esta en tierra, ocurrirán en
los instantes t2 y t1.así tendremos
un Δt’ y un Δt.
ΏEn que lugar del espacio ocurren estos eventos?. Para el
caso de O’ en el mismo lugar dado que el rayo para el sale
del mismo lugar a donde llega. Mientras que para O
la salida y llegada del rayo se producen en lugares diferentes
dado que el vio moverse al reloj, de allí que la
posición del detector cuando el rayo le llega esta a un
distancia del lugar adonde salió el rayo que es Δx=
v∆t, dado que el reloj se mueve en el tren a velocidad v
respecto de O.

Si reemplazamos estos valores en la transformada de
Lorentz que relaciona los intervalos de tiempo tendremos luego de
resolver algebraicamente que:
∆t’= ∆t.[1-(v/c)2]1/2.
(1)
El factor que multiplica a ∆t esta en el rango [0,1]
según sea el valor de v, o sea que el intervalo entre dos
eventos será menor para el observador en movimiento
O’ que el que mida el observador en reposo O. A esta
prolongación del tiempo en un reloj es
lo que se denomina dilatación el tiempo.
A este mismo resultado podemos llegar con un simple razonamiento
geométrico sin tener que recurrir a la transformada de
Lorentz.
Para O’, ∆t’ = 2L/c simplemente es espacio
dividido velocidad.
Para O, siguiendo el mismo razonamiento, el rayo de luz ahora
recorre una trayectoria que conforma un triangulo de base
v.∆t y altura L. La distancia recorrida es dos veces la
hipotenusa del triangulo rectángulo que es la mitad del
anterior. De la resolución de dicho triangulo concluimos
que ∆t.[1-(v/c)2]1/2=2L/c.
Relacionando con ∆t’ llegamos a la ecuación
(1) que surgió a partir de la aplicación de las
transformadas de Lorentz.

b3) El test de los
muones, la contracción de la longitud.
Dado que O y O’ son equivalentes, podríamos pensar
que el reloj pasa mas lentamente para el que esta en el tren si
se mide respecto del que esta en tierra, es decir
podríamos decir que en realidad el sistema fijo es el tren
y el móvil el de tierra que se mueve a velocidad –v
respecto del tren. Así podríamos concluir que la
dilatación del tiempo es solo un efecto que se da
matemáticamente pero que en la realidad es una
ilusión, dado que nunca se puede comprobar.

Existe una comprobación que confirma la
teoría de Einstein de la dilatación del tiempo
denominada el test de los muones.
Sobre la atmósfera chocan
rayos cósmicos a una distancia de 10 Km. sobre la
superficie terrestre, de esos choque se producen unas
partículas subatómicas denominadas muones, las
cuales son detectadas en la tierra.
De los experimentos realizados en los aceleradores de
partículas se sabe que la vida media del muon en reposo es
de unos 2,20×10-6 segundos. Moviéndose como
máximo a la velocidad c de la luz, podría recorrer
a lo largo de su vida solo 0,66 Km. ¿Cómo hace para
llegar a la tierra?. Lo que ocurre es que al moverse a la
velocidad cercana a la de la luz, su reloj de tiempo transcurre
mas lentamente cuando se lo mide desde el reloj en tierra; es
decir la vida media en reposo se alarga a la velocidad a la cual
se mueve según la transformada de Lorentz,
permitiéndole recorrer una distancia mayor a los 0,66 Km.
O sea que dentro de este periodo de su vida puede recorrer una
distancia mayor medida según el observador en la
tierra.

Lo notable es que si nos sentamos en el muon, la vida
media transcurre en el tiempo que calculábamos como en
reposo, porque nosotros en el muon estamos en reposo respecto a
el. En ese periodo vimos que no puede recorrer mas que 0,66 Km.,
entonces ¿cómo logra llegar a la tierra? Visto
desde el sistema de referencia del muon que se mueve a
velocidades cercanas a la de la luz, las distancias se acortan y
10 Km. se pueden transformar en 0,66 Km. Es decir se produce un
acortamiento de la variable espacio en la dirección del
movimiento cuando este se produce a velocidades cercanas a la de
la luz.
Distancias en movimiento se acortan, tiempos en movimiento se
alargan, esto es lo extraño de la nueva concepción
del espacio-tiempo según la teoría especial de la
relatividad.

El acortamiento de las longitudes no significa que
existan dos medidas absolutas de lo mismo, lo cual seria una
paradoja, sino que la medida será diferente para cada
sistema de referencia. Si dos personas permanecen a ambos lados
de una gran lente cóncava, cada uno ve al otro mas
pequeño; decir esto no significa que cada uno sea mas
pequeño. El hecho de que los cambios de longitud y de
tiempo sean considerados aparentes, no quiere decir que exista
una verdadera longitud y un verdadero tiempo que parezcan
distintos a distintos observadores. Longitud y tiempo son
conceptos relativos, no tiene sentido hablar de ellos(medirlos)
fuera del contexto de la relación entre un objeto
determinado y su observador.

No tiene sentido decir que un conjunto de medidas es el
correcto y que el otro es erróneo; cada uno es correcto
con respecto al observador que efectúa las mediciones en
su marco de referencia. Es decir no son ilusiones
ópticas.
Por eso en el experimento del muon, tenemos un sistema de
referencia adosado al muon, y otro sistema adosado a la tierra.
En el primero, medimos la vida del muon y la llamamos vida en
reposo; mientras que la medida de la longitud que recorre tiene
un valor mucho menor que la que podemos medir respecto al sistema
de referencia adosado a la tierra.

El cuestionamiento de si estas variaciones en longitud y
tiempo son reales o aparentes es difícil de superar.
Podríamos ver que pasa con otros fenómenos
físicos a los cuales estamos mas acostumbrados. Veamos por
ejemplo el efecto Doppler. Todos experimentamos alguna vez el
cambio de frecuencia del sonido que percibimos cuando la fuente
que emite el sonido se mueve acercándose o
alejándose de nosotros. ¿Qué pasa entonces?
¿La frecuencia del sonido del silbato del tren es real o
aparente? Decimos entonces que la frecuencia propia del sonido
cuando la fuente que lo emite esta en reposo es invariable, el
cambio se produce por el efecto del movimiento entre los sistemas
de referencia. Lo mismo ocurre en el caso de la relatividad, las
dimensiones propias de longitud y tiempo que son las medidas en
el sistema en reposo (que es el sistema adosado al cuerpo en
cuestión, el muon por ejemplo) no cambian. Los efectos del
cambio se producen al medir en el otro sistema y son reales en
tato que las mediciones son reales. La contracción de la
longitud en el sentido del movimiento no se explica por
teorías de la materia, sino que están referidas al
proceso de
medición.

c) En el significado de masa en reposo
La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que tiene. Existen
dos maneras de medir la masa de un cuerpo:

• Pesándolo. Esto determina la masa
  gravitatoria.
• Determinando la magnitud de la fuerza necesaria para
  acelerarlo hasta un determinado valor. Esto es la masa
  inercial.

El primer método no es bueno porque depende de la
gravedad donde se pesa al cuerpo. Así la medida del peso
de un cuerpo es diferente si se lo hace en la luna o en la
tierra, a pesar de que la mas es la misma.

El segundo método es mas preciso pero esta sujeto
a una variación mas extraña.
Dado que para medir la aceleración, debemos trabajar con
movimientos, distancias y tiempos; al ser estos dependientes del
sistema de referencia del observador, entonces la
aceleración y por ende la masa inercial también
dependerá de dicho sistema de referencia.
Un observador en reposo relativo respecto del objeto al cual le
mide la masa (un astronauta en una nave con un elefante),
medirá siempre al misma masa del elefante
independientemente de a que velocidad se mueva la nave. Esta mas
se la llama masa propia del elefante o masa en reposo.

Contrariamente, la masa que mide un observador en
tierra, es decir desde otro sistema de referencia que esta en
movimiento uniforme relativo a la nave, es la llamada masa
relativista la cual varia según sea la velocidad de la
nave. La masa inercial de un objeto ubicado en un sistema de
referencia inercial en movimiento, medida desde el otro sistema
inercial respecto del cual el objeto se mueve, será mayor
a la masa en reposo o propia del objeto según la
formula:
m= m0/[1-(v/c)2]1/2.
En la actualidad se ha comprobado que la formula anterior es
correcta, a partir de observaciones de partículas
subatómicas que se mueven a velocidades cercanas a c y que
se producen en los aceleradores de partículas.

5. El calculo de
velocidades relativas

A velocidades v<<c, las transformadas galileanas
son validas, por eso es bastante sencillo calcular velocidades
relativas, diciendo que las mismas se suman o restan según
sean las direcciones de los movimientos.
En el caso de velocidades cercanas a la de la luz, esta forma de
calcular velocidades relativas no es correcta porque
llegaríamos al absurdo de que la luz puede moverse a
velocidades superiores a c si saliera de una fuente que se mueve
a la velocidad v.
Veamos una deducción simple:
Ux=(x2-x1)/(t2-t1)
(1)
U’x=(x’2-x’1)/(t’2-t’1)
(2)

Reemplazando los valores de
las transformadas de Lorentz para ∆x’ y
∆t’ en (2) y resolviendo algebraicamente, llegamos
a:
u’x=(ux-v)/(1-v.ux/c2)

Cuando v<<c è u’x=ux-v
que era la ecuación de composición de velocidades
relativas.

6. Las consecuencias
extrañas de la teoría de la relatividad
especial

Resumiendo, si tenemos dos naves que tienen un
movimiento relativo entre si a una velocidad cercana a la de la
luz, los astronautas que viajan en cada una de estas naves
descubrirán que:

• La otra nave se ha encogido en la dirección
  del movimiento.
• Los relojes de la otra nave van mas
  lentos.
• La masa inercial de la otra nave aumento.
• Ojo!!! Los astronautas en cada una de sus naves
  encontraran que nada cambio.

En el extremo cuando la velocidad relativa llega a
alcanzar la velocidad c de la luz, los astronautas dirán
que:

• La longitud de la otra nave se ha hecho
  nula.
• El tiempo en la otra nave ha dejado de
  transcurrir.
• La masa de la otra nave se hace infinita.

Claramente estas consecuencias serian imposibles por lo
que la velocidad c de la luz, es considerada como un limite
máximo de la naturaleza que ningún cuerpo puede
alcanzar.
Debemos tener muy presente lo siguiente para no confundirnos:
Todos los cambios que se producen en el tiempo, la longitud, la
masa, deben entenderse como cambios que se observan siempre en el
marco de referencia de los demás. Es decir la
dilatación del tiempo por ejemplo de un observador en
movimiento, no es observada (medida) por el propio observador
sino por otro que esta fuera de su sistema de referencia y
respecto del cual el primero se esta moviendo con movimiento
rectilíneo y uniforme.