Indice
1.
Introduccion
2. Circuitos RC
3. Carga de un
capacitor
4. Constante de tiempo
5. Descarga de un
capacitor
6. Conclusiones
7. Bibliografia
El presente trabajo es una investigación sobre el circuito RC, un
circuito que cuenta con infinidad de aplicaciones, para ello se
establece en primer lugar el desarrollo
matemático del mismo , acompañado de un argumento
teórico y seguido de ejemplos para apoyar las ideas
planteadas en este trabajo.
El simple acto de cargar o descargar un capacitor, se puede
encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y
potencias si cambian con el tiempo, los
capacitores
tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar
carga y energía; por eso, entender lo que sucede cuando se
cargan o se descargan es de gran importancia practica.
Muchos circuitos
eléctricos contienen resistores y capacitores. La
carga/ descarga de un capacitor tiene muchas aplicaciones.
Por ejemplo algunos automóviles vienen equipados con un
elemento mediante el cual los limpiadores del parabrisas se
utilizan de manera intermitente durante una llovizna ligera. En
este modo de operación los limpiadores permanecen apagados
durante un rato y luego se encienden brevemente.
La duración del ciclo encendido/apagado es determinada por
la constante de tiempo de una combinación
resistor-capacitor.
La figura ilustra un ejemplo de un circuito
resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un
interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la
batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el
interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato .
En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su valor de
equilibrio de
q= CVo, en donde Vo es la tensión de
la batería.
Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner
el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se
crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio
de conservación de energía tenemos:
En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a
través de cualquier sección transversal del
circuito. El trabajo ( =
Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la
energнa interna ( i2
Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el
incremento dU en la cantidad de energía U
(=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La
conservación de la energía
da:
Є dq =
i2 Rdt +
q2/2C
Є dq =
i2 Rdt + q/c dq
Al dividir entre dt se tiene:
Є dq / dt =
i2 Rdt + q/c dq/dt
Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva
significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se
convierte en
:
Є = i Rdt + q/c
La ecuación se
deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser
puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del
principio de conservación de energía . Comenzando
desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las
manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al
pasar por la fuentge fem y una disminución al pasar por el
resistor y el capacitor , o sea :
Є -i R –
q/c = 0
La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt +
q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual
da:
Є = R dq / dt + q/c
Podemos reescribir
esta ecuación así:
dq / q – Є C = – dt / RC
Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0,
obtenemos: (despejando q),
q= C Є ( 1
– e-t/RC)
Se puede comprobar que esta función q
(t) es realmente una solución de la
ecuación
Є = R dq / dt + q/c ,
sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si
reobtiene una identidad. Al
derivar la ecuación q= C Є ( 1 –
e-t/RC) con respecto al tiempo da:
i =
dq = Є e-t/RC
dt
R
En las ecuaciones q=
C Є ( 1 –
e-t/RC) y i = dq = Є
e-t/RC la cantidad RC
tiene
dt R
las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser
adimensional y se llama constantecapacitiva de
tiempo τ C del
circuito
τ C
= RC
Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un
factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C
Є , Para demostrar esto ponemos t = τ
C = RC en la ecuación q= C Є ( 1
– e-t/RC) para obtener:
q= C
Є ( 1 – e-1) =
0.63 C Є
Grafica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q. La corriente
inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La
corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga
del capacitor tiende asintóticamente a su valor final
Qf.
Grafica para los valores
Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ
F
Esta figura en la parte a muestra que si un
circuito se incluye una resistencia junto
con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en
el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su
tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un
resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente
hacia su valor limite.
Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de
potencial Vc, la carga aumente con el tiempo durante
el proceso de
carga y Vc tienede la valor de la fem
Є.
El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta
en a para t= 0.
En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el
resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos
posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el
capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta
dibujadas para el caso Є=
10v, R= 2000
Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las
constantes de tiempos sucesivas.
Después de un tiempo igual a RC, la corriente en
el circuito R- C disminuye a 1/e ( cerca de 0.38) de su valor
inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado
(1 – 1/e) = 0.632 de su valor final
Qf= C Є .
El
producto RC
es, pues una medida de que tan rápido se carga el
capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de
relajación del circuito y se representa con
τ :
τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R
– C).
Cuando τ es pequeρa, el
capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas
grande, la carga lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya
corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.
Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC
1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie
con una bateria como se muestra en la figura
siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F
y R= 8 x 10 5 Ώ, dterminese la
constante de tiempo del circuito, la maxima carga en el
capacitor, la maxima corriente en el circuito y la carga y la
corriente cono funcion del tiempo.
Solucion:
La constante de tiempo del
circuito es τ C = RC =
(8 x 10 5 Ώ) (5 x
10-6 F) = 4s.
La
Maxima carga en el cpacitor es Q= C Є =
(5 x 10-6 F)(12V)= 60 μC.
La maxima
corriente en el circuito es
I0 = ЄR = (12V) / (8×10
5 Ώ) = 15 μ A.
Utilizando estos
valores y las
ecuaciones q= C Є ( 1 –
e-t/RC) y i = dq = Є
e-t/RC
dt R
se encuentra que:
q(t) = 60 ( 1 – e-t/4)
μC
I (t) 15 e-t/4
μ A
Las graficas de
estas funciones son las
siguientes:
2) Un resistor R (=6.2M Ώ) y un capacitor C (=2.4
μ F) estan conectados en serie, y a traves de esta
combinaciσn se conecta una bateria de 12 V de resistencia
interna insignificacnte . A) ΏCuál es la
constante capacitiva de tiempo de estecircuito? B)
¿Qué tiempo después de haber conectado la
bateria, la diferencia de potencial en el capacitor es igual a
5.6 V?
Solución:
a)De la ecuación τ C = RC
tenemos:
τ C
= RC = (6.2M Ώ) (2.4
x10-6 F) = 15 s
b) La diferencia de potencial en el capacitor es de Vc
= q/c, lo cual, de acuerdo con la ecuación q= C Є (
1 – e-t/RC) puede escribirse
Vc = q/c = Є ( 1 –
e-t/RC)
Al
despejar t obtenemos (usando τ
C = RC)
t= –
τ C ( 1 –
Vc )
Є
t = – (15s) ln (1 – 5.6 V ) 9.4
s
12v
Considerese el circuito de la siguiente figura que
consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y
un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte
a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del
capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la
resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t
= 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la
reisistencia. En algún tiempo durante ladescarga, la
corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q
(parte b) .
De la segunda Ley de Kirchhoff,
se ve que la caída de potencial a traves de la
resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a
través del capacitor, q / C:
IR = q
c
Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual
a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es
decir, I = – dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene
a dar :
– R dq = q
dt c
dq = – 1 dt
q RC
Integrando esta expresión y utilizando el hecho
de que q= Q para t = 0 se obtiene:
Diferenciando la última
ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como
función del tiempo:
donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo
tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen
exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de
tiempo
τ = RC.
Gráfica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q como funciones del
tiempo para el circuito. La corriente Io y la carga inicial Qo:
tanto i como q se acercan asintóticamente a cero.
Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC
1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la
resistencia R como muestra la figura. a) Después de
cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor
será la cuarta parte de su valor inicial?
Solución: La carga en el capacitor varía
con el tiempo de acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe-t/RC
donde q es la carga inicial en el
capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga
en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye
q 8t) = Q / 4 en esta expresión y se despeja para t:
¼ Q = Qe-t/RC
o
¼ = e-t/RC
Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que
:
-ln4 = -t / RC
o
t= RCln4 = 1.39 RC
b) La energía almacenada en el capacitor decrece con el
tiempo cuando está descargando. ¿ Después de
cuántas constantes de tiempo la energía almacenada
se reduciría la cuarta parte de su valor inicial?
Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la
energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo
:
U = q2 = Q2 e-2t/RC =
Uo e-2t/RC
2C 2C
donde Uo es la energía inicial almacenada en el
capacitor como en el inciso a), ahora considerese U =
Uo /4 y despejes t:
1/4Uo = Uo e-2t/RC
¼ =
e-2t/RC
Nuevamente, tomando logaritmos de ambos
lados y despejando t se obtiene:
t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC
2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R.
a) ¿ Después de cuantas constantes de tiempo
disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿
Después de cuántas constantes de tiempo, la
energía almacenada disminuye su valor inicial?
Solución: a) La carga en el capacitor varía de
acuerdo con la ecuación
q(t) = Qe-t/RC
1/2Q =
Qe-t/RC
-ln2 = -2/ τ
C
t = τ
C ln2 / 2 = 0.35
La carga cae a la mitad de su valor inicial después de
0.69 constantes de tiempo.
b) La energía del capacitor es
U = q2 = Q2 e-2t/RC =
Uo e-2t/RC
2C 2C
1/2Uo = Uo
e-2t/RC
-ln 2 = -2t/ τ
C
t = τ
C ln2/2 = 0.35 τ
C
La energía almacenada
cae a la mitad de su valor inicial después de
transcurridas 0.35 constantes de tiempo. Esto sigue
siendo así dependientemente de cuál haya sido la
energía almacenada inicialmente. El tiempo ( 0.69 τ
C) necesario para que la carga caiga a la
mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35
τ C) necesario para que la
energía siga a la mitad de su valor inicial.
Los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan
su capacidad de almacenar carga y energía
El acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar
una situación en que las corrientes, voltajes y potencias
si cambian con el tiempo.
Cuando τ es
pequeρa, el capacitor se carga
rαpidamente; cuando es mas grande, la carga
lleva mas tiempo.
Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya
corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.
Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima
asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende
asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga
en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante
su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un
resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente
hacia su valor limite.
Cuando se descarga un capacitor.la corriente Io y la carga
inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a
cero.La carga en el capacitor varía con el tiempo de
acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC.
la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe
ser igual a la diferencia de potencial a través del
capacitor, q / C entonce IR = q/c .
Cuando el interruptor está abierto, existe una diferencia
de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia
de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el
interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a
descargarse a traves de la
reisistencia.
7. Bibliografia
1) Serway Raymond A. "Fisica Tomo II"
Tercera edición en español
,Editorial Mc Graw Hill. Mexico, 1992
2) Halliday David / Resnick Robert / Krane Kenneth S. "Fisica
Vol.2"
Tercera edición en español , Editorial Continental.
México,
1996
3) Cutnell John D. / Jonson Kenneth W. "Fisica"
Primera edición , Editorial Limusa. México,
1986
4) Sears Francis W. / Zemansky Mark W. / Young Hugh D./ Freedman
Roger A.
" Fisica Universitaria Vol.2 " novena edición, Editorial
Addison Wesley. México, 1998
Autor:
Franco Lupio Bobadilla