- Justificación y
Objetivo - Aproximaciones polinomiales
mediante la formula de Taylor - Sucesiones
- Series infinitas de
términos positivos - Series infinitas de
términos positivos y negativos - Series de
potencias - Diferenciación e
integración de series de potencias - Series de
Taylor - Serie de potencias para
logaritmos naturales y serie binomial - Conclusiones
- Bibliografía
El objetivo
primordial de este tema es aproximar funciones
mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de
las series de potencias se prepara el
terreno.
Mientras que los valores de
funciones
polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de
adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las
funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas,
no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección
se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante
polinomios y que el polinomio, en lugar de la función
original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la
diferencia entre el valor real de
la función
y la aproximación polinomial es suficientemente
pequeña.
Varios métodos
pueden emplearse para aproximar una función dada mediante
polinomios. Uno de los mas ampliamente utilizados hace uso de la
formula de Taylor, llamada
así en honor del matemático ingles brook Taylor
(1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse
como una generalización del teorema del valor medio,
proporciona la formula de Taylor.
Este es el segundo trabajo del curso de calculo
diferencial e integral, en donde el cual aprenderemos como
las aproximaciones polinomiales, sucesiones y
series infinitas, forman parte importante dentro del calculo
diferencial e integral, tal es así que este trabajo es
parte de una evaluación
y esta diseñado de tal manera dirigido a estudiantes del
mismo nivel con una redacción sencilla y explicada del tema
mismo.
Objetivo
Uno de los objetivos
primordiales es aprender como funcionan las aproximaciones
polinomiales, sucesiones y series infinitas, ya que es de gran
importancia para poder
así calcular las unciones logarítmicas,
exponenciales y trigonometricas. También como mencionaba
así darle una visión mas amplia al lector sobre
este tema, llevando un lenguaje no
tan extenso y mas centrado en lo practico y lo necesario para
llevarse acabo este tipo de cálculos matemáticos,
tanto en el calculo diferencial e integral, encontramos infinidad
de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar, en las
aproximaciones polinomiales veremos lo sencillo que es hacer una
aproximación por medo de teoremas.
Existen infinidad de métodos para aproximar una
función dada mediante polinomios, unos de los mas
importantes que se usan es la fórmula de
Taylor.El teorema siguiente, el cual puede
considerarse como una generalización del teorema del
valor medio, proporciona la fórmula de
Taylor.Teorema 1
Sea ƒ una función tal que ƒ y sus
primeras n derivadas
son continuas en el intervalo cerrado [a, b].
Además, considere que ƒ (x) existe para toda x del
intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número z
en el intervalo abierto (a, b). Tal que
(1)La ecuación (1) también se cumple si b
< a; en tal caso [a, b] se reemplaza por [b, a], y (a, b)
se sustituye por (b, a).Observe que cuando n = 0, (1) se convierte
en
Donde z esta entre a y b. esta es la
conclusión del teorema del valor medio.La demostración del teorema 1 se presentara
mas adelante.Si en (1) se reemplaza b por x, se obtiene la
fórmula de Taylor:
(2)Donde z esta entre a y x.
La condición en la que se cumple (2) es que
ƒ y sus primeras n derivadas
sean continuas en un intervalo cerrado que contenga a a y x,
y la (n + 1 )-esima derivada de ƒ exista en todos los
puntos del intervalo abierto correspondiente. La formula (2)
puede escribirse como:Continua….
(3)Donde
(4)Y
Donde z esta entre a y x (5)
(1)
(2)
(3)
Donde z esta entre a y x (5)Página siguiente  |