Leyes del Álgebra de Boole
Aquí se mencionarán dos propiedades importantes de la complementación, que se pueden comprobar fácilmente:
A + A' =U (clase universal)
A + A' = 0 (clase vacía)
Leyes del Álgebra de Boole
APLICACION A CIRCUITOS LOGICOS
Dado que los elementos de los circuitos utilizados en los computadores sólo admiten dos estados, las clases y operaciones básicas del Álgebra de Boole deberán particularizarse para este caso.
Leyes del Álgebra de Boole
Por tanto, habrá que aplicar un Álgebra de Boole de tipo binario, donde sólo existirán dos clases: la universal que se representará por 1, y la vacía que se representará por 0.
El estado de un elemento del circuito lógico viene representado por una variable que sólo puede tomar valores 0 o 1, que se corresponden con las dos clases posibles en un Álgebra de Boole binaria.
Leyes del Álgebra de Boole
En el caso de un álgebra binaria, las operaciones básicas del Álgebra de Boole pueden describirse mediante las denominadas tablas de verdad, que agrupan en forma tabulada todas las combinaciones posibles de operandos, con sus correspondientes resultados.
Leyes del Álgebra de Boole
Adición
A B A + B
=============
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Equivale a un circuito en paralelo con un interruptor en cada hilo, donde al conectar cualquiera de ellos hay conducción en el circuito.
Leyes del Álgebra de Boole
Producto
A B A · B
=============
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Equivale a un circuito en serie donde existe dos interruptores en el mismo hilo, de tal forma que sólo hay conducción cuando están cerrados ambos interruptores.
Leyes del Álgebra de Boole
Complementación
A A'
======
0 1
1 0
Se representa bajo la forma de contactos complementarios de un mismo interruptor, de modo que si uno está cerrado el complementario estará abierto, y viceversa.
Leyes del Álgebra de Boole
LEYES FUNDAMENTALES
Teoremas
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
Ley de idempotencia: A + A = A | A · A = A
Ley de involución: (A')' = A
Leyes del Álgebra de Boole
Ley conmutativa: A + B = B + A | A · B = B · A
Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C | A · (B · C) = (A · B) · C
Ley distributiva: A + B · C = (A + B) · (A + C) | A · (B + C) = A · B + A · C
Ley de absorción: A + A · B = A | A · (A + B) = A
Ley de De Morgan: (A + B)' = A' · B' | (A · B)' = A' + B'
Leyes del Álgebra de Boole
Principio de dualidad
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión con los de intersección, y de los 1 con los 0.
Leyes del Álgebra de Boole
# ADICION PRODUCTO
===============================================
1 A + A' = 1 A · A' = 0
2 A + 0 = A A · 1 = A
3 A + 1 = 1 A · 0 = 0
4 A + A = A A · A = A
5 A + B = B + A A · B = B . A
6 A + (B + C) = (A + B) + C A · (B · C) = (A · B) · C
7 A + B · C = (A + B) · (A + C) A · (B + C) = A · B + A · C
8 A + A · B = A A · (A + B) = A
9 (A + B)' = A' · B' (A · B)' = A' + B'
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