Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas.

Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Conceptos básicos que debes saber

Se llama: Término.Un Término separamos de otro, con los signos más o menos:

Un Término consta de dos partes: coeficiente y factor literal. Coeficiente: Es el número que va delante de las letras (si no lleva ninguna cifra,  recuerda que lleva el 1).

Factor Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.

  Tipos de expresiones algebraicas

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman 

Polinomios.

 Operaciones con monomios

• 1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn= (a + b)x n

Ejemplo:  2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:  2x2y3+ 3x2y3z

Ejemplo:  2x2y3+ 3x2y3z

2. Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:  5 · (2x2y3z) = 10x2y3 z

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base.

axn· bxm= (a · b)xn + m Ejemplo:  (5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3

4. División de monomios Sólo se pueden dividir monomios cuando:

• 1. Tienen la misma parte literal

• 2. El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.

axn: bxm= (a : b)xn – m Ejemplo: 

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo: 

5. Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

(axn)m = am· xn · m Ejemplos:  (2×3)3 = 23 · (x3)3= 8×9 (-3×2)3 = (-3)3 · (x2)3= -27×6

 Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2+ .. + a1 1 + a0 Siendo:

an, an-1 … a1, aonúmeros, llamados coeficientes n un número natural x la variable o indeterminada anes el coeficiente principal aoes el término independiente

Grado de un Polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

Tipos de polinomios

• 1. Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2 + 0x + 0

• 2. Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2×2 + 3xy

• 3. Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2×3 + 3×2 - 3

• 4. Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2×3 + 3×2 + 5x – 3

• 5. Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2×3 + 5x – 3

• 6. Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado o inversamente.

P(x) = 2×3 + 5x – 3

• 7. Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

P(x) = 2×3 + 5x – 3 Q(x) = 5×3 - 2x – 7

• 8. Polinomios semejantes

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2×3 + 5x – 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 – 3 = 2 + 5 – 3 = 4

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2×3+ 5x – 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 – 3 = 2 + 5 – 3 = 4

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican:

• Los dos polinomios tienen el mismo grado.

• Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2×3 + 5x – 3 Q(x) = 5x – 3 + 2×3

Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2×3 + 5x – 3 Q(x) = 5×3 - 2x – 7

Operaciones con expresiones algebraicas

Suma de polinomios

Resta de polinomios

Multiplicación de Polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo:  3 · (2×3 - 3×2 + 4x – 2) = 6×3 - 9×2 + 12x – 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo:  3×2 · (2×3 - 3×2 + 4x – 2) == 6×5- 9×4 + 12×3 - 6×2

3. Multiplicación de polinomios Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2×2 - 3       Q(x) = 2×3 - 3×2 + 4x

OPCIÓN 1

OPCIÓN 2 Ejemplo de división de polinomios

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x5 + 2×3 - x – 8         Q(x) = x2 - 2x + 1 P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo.

Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2×4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5×3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8×2 : x2 = 8

10x – 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2×2 + 5x + 8 es el cociente

Organización de los aprendizajes

MATRIZ DE EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS "NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.