ÍNDICE
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA (I)
1807 (1822) – Joseph Fourier indica que toda función periódica puede ser expresada como una suma infinita de senos y cosenos de distintas frecuencias.
1909 – El matemático húngaro Alfred Haar descubre una base de funciones que con el tiempo demostrarán ser los primeros wavelets.
1946 – El físico Dennis Gabor descompone una señal en paquetes de frecuencia-tiempo.
1981 – El ingeniero Jean Morlet encuentra el modo de descomponer una señal sísmica en cierto tipo de “wavelets” de forma constante.
1984 – Con la ayuda del físico cuántico Alex Grossman, Morlet desarrolla su modelo. El término wavelet aparece por primera vez.
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA (II)
1985 – Ives Meyer descubre el primer wavelet ortogonal suave.
1986 – Stéphane Mallat muestra que los métodos de Haar, Gabor, Morlet…están relacionados por el mismo algoritmo de wavelets.
1987 – Ingrid Daubechies construye el primer wavelet ortogonal con soporte compacto. Los wavelets pasan a ser una importante herramienta práctica de cálculo.
1990 – David Donoho y Johnstone usan los wavelets para eliminar el ruido de una señal.
1992 – El FBI usa los wavelets para comprimir su base de datos de huellas dactilares.
2004 – Una vez superada la gran revolución de los años 90, se ve que no todo se puede hacer con wavelets, pero que sí suponen una nueva herramienta útil de cálculo y análisis.
El análisis de Fourier de una señal (supongamos temporal) permite determinar sus frecuencias, pero a costa de perder la información de tipo temporal sobre la señal (no dice cuando aparece cada frecuencia).
Lo que se puede hacer es subdividir la pieza en trozos, y analizar cada trozo. Esto nos da una información rudimentaria sobre el orden temporal en el que se dan las frecuencias. Este tipo de análisis se conoce como la transformada de Gabor (aplicar una ventana a los datos). Sin embargo, este tipo de análisis es imperfecto.
Recordemos que la resolución temporal y la resolución en frecuencias de una señal están acopladas [Existe un principio de incertidumbre similar al de Heisenberg: Dt .Dw = p]. Existen métodos de análisis que alcanzan este máximo. Fourier es uno de ellos pero alcanza la máxima resolución espectral sacrificando la resolución temporal. Los wavelets sí dan información simultánea de t y w.
¿QUÉ ES UN WAVELET? Motivación
¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (I)
Consideremos la transformación lineal y continua de una función s(t) dada por:
[* indica complejo conjugado]
w es una función de peso (ventana) generalmente gaussiana.
El coeficiente 1/?a es un factor de normalización.
El análisis con Wavelets presenta interesantes diferencias frente al análisis clásico de Fourier.
¿QUÉ ES UN WAVELET?Presentación
Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”…
(Gp:) Wavelet de Haar (1909)
¿QUÉ ES UN WAVELET?Presentación
Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”…
(Gp:) Wavelet de Daubechie (orden 4) (1987)
¿QUÉ ES UN WAVELET?Presentación
Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones. Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”…
(Gp:) Wavelet con Spline lineal
¿QUÉ ES UN WAVELET?Presentación
El número de wavelets existentes es enorme. En general conviene usar aquel cuya forma se adecúe mejor al tipo de señal con la que se trabaja. Hay wavelets contínuos/discretos, con/sin soporte compacto, suaves/con discontinuidades, ortogonales/biortogonales..
Algunos wavelets tienen expresiones analíticas. Por ejemplo:
[Wavelet de Morlet]:
[Sombrero mejicano]:
(2ªderivada de una gaussiana)
Otros en cambio se obtienen mediante fórmulas de recurrencia, tal como veremos más adelante.
¿QUÉ ES UN WAVELET?Representación gráfica de los coeficientes de la transformada discreta de wavelets
El análisis de wavelets:
Nos da información sobre el espectro de frecuencias en función del tiempo.
La resolución espectral de una frecuencia f es: Df ? f
La resolución temporal de esta frecuencia es: Dt ? 1/f (?Dt.Df = cte).
Realizando una Transformada discreta de Wavelets (Similar a FFT) obtenemos una serie de coeficientes que podemos interpretar gráficamente:
¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (II): Traslaciones y Dilataciones
Tal como se ha visto, una transformada de wavelets de una función s(t) viene dada por:
El término t nos da las traslaciones y el término “a” las dilataciones del wavelet.
(Gp:) TRASLACIONES
¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (II): Traslaciones y Dilataciones
Tal como se ha visto, una transformada de wavelets de una función s(t) viene dada por:
El término t nos da las traslaciones y el término “a” las dilataciones del wavelet.
(Gp:) DILATACIONES
¿QUÉ ES UN WAVELET? Análisis funcional (III): Traslaciones y Dilataciones
Es decir, la señal s(t) se muestrea empleando versiones (wavelets) del wavelet madre (dilatados y trasladados) estudiando punto a punto para qué dilataciones y traslaciones la señal s(t) y el wavelet son más similares.
Como es lógico, la frecuencia de la señal s(t) estudiada está intimamente relacionada con la escala “a” del wavelet.
Por otro lado, el que el análisis sea local, es lo que le da a la transformada de wavelets sus interesantes propiedades.
¿QUÉ ES UN WAVELET?Representación gráfica de los coeficientes de la transformada discreta de wavelets
(Gp:) Tiempo
(Gp:) Frecuencia
(Gp:) Dt
(Gp:) Df
Esta forma de descomponer una señal es bastante natural: los eventos de baja frecuencia suelen durar en el tiempo, mientras que los eventos de frecuencia alta suelen ser breves.
SCALOGRAM
¿QUÉ ES UN WAVELET?Representación gráfica de los coeficientes: EJEMPLO PRÁCTICO
(Gp:) Señal con altas y bajas frecuencias.
(Gp:) -0.003
(Gp:) -0.002
(Gp:) -0.001
(Gp:) 0
(Gp:) 0.001
(Gp:) 2
(Gp:) 4
(Gp:) 6
(Gp:) 8
(Gp:) 200
(Gp:) 150
(Gp:) 100
(Gp:) 50
(Gp:) frecuencia
(Gp:) tiempo
(Gp:) Resultado del análisis con wavelets: Es posible seguir las frecuencias dominantes en el tiempo.
FOURIER vs WAVELETS:Descomposición de una señal en “ondas”
FOURIER vs WAVELETSVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS
El análisis de wavelets está especialmente indicado para señales con pulsos o intermitencias: sucesos que ocurren de manera no periódica. Para estas señales, Fourier da muy poca información, al perder casi toda información temporal.
Fourier es “inestable” frente a señales de tipo intermitentes: si añadimos un impulso localizado en el tiempo a una señal, todo el espectro de Fourier se verá afectado, mientras que solo algunos coeficientes de wavelets se modificarán.
Cuando un sistema es lineal y los modos de vibración son modos propios del sistema, el análisis de Fourier proporciona mucha información sobre los mismos. Pero si no es así, la descomposición en modos propios no da información interesante, ya que mezcla la información de los varios modos de oscilación.
Al estudiar sistemas no lineales que no tienen modos propios, ninguna descomposición global en el espíritu del análisis de Fourier tendrá éxito. Uno se debe limitar a una expansión local en modos, que es lo que hace el análisis de wavelets (como un desarollo tipo Taylor).
FOURIER vs WAVELETSVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS
La Transformada Discreta de Wavelets presenta además claras ventajas frente a su contrapartida de Fourier:
– Más rápida desde el punto de vista computacional: O(N) [DWT], frente a O(NlogN) [FFT] para una muestra de N datos.
– En muchos casos proporciona un mejor ajuste a los datos con menos coeficientes.(Permitiendo una mejor compresión de los datos que los métodos basados en Fourier).
– Las técnicas de filtrado de ruido basadas en wavelets dan mejores resultados.
DESVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS
Es una técnica reciente. Aunque en las últimos años se ha hecho un gran esfuerzo por darle todo el rigor matemático que tiene la transformada de Fourier y unificar métodos y notaciones, el ritmo de aparición de publicaciones sobre el tema hace que no sea tarea fácil.
No permite realizar algunos cálculos como los relacionados con la convolución o la modulación de una señal…
FOURIER vs WAVELETS:Ej: Estudio de discontinuidades en una señal.
FOURIER vs WAVELETS:Ejemplo: Compresión de imágenes JPG vs JPG-2000
FOURIER vs WAVELETS:Ej: Filtrado de Ruido en imágenes
(Gp:) FILTRADO EN ESPACIO DE FOURIER:
Se eliminan las frecuencias más altas
(Gp:) FILTRADO EN ESPACIO DE WAVELETS:
Se eliminan los coeficientes menores.
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Partimos de la definición indicada de la transformada:
El trabajar con transformaciones de wavelets discretas es una práctica habitual. Esto se debe a su eficacia computacional y a que normalmente se trabaja con señales de datos discretos. Lo más común a la hora de discretizar la transformada de Wavelets continua es emplear la rejilla diádica.[Tomar a = 2i ]. En este caso, la transformada viene dada por:
Cada i se denomina octava o escala, y consiste en cada uno de los niveles en los que se descompone la señal. Las escalas bajas tienen en cuenta las frecuencias bajas y las escalas altas, las frecuencias mayores.
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Cuando se usan wavelets ortonormales (Desde el punto de vista de las funciones de cuadrado integrable L2) , lo habitual es usar un procedimiento denominado "decimation“ (=diezmar). Consiste en descomponer la señal en un número de coeficientes proporcional a la escala analizada. Esto hace que la señal tenga distinto número de coeficientes en cada escala. Físicamente esto refleja el hecho de que las frecuencias menores de una señal necesitan menos coeficientes para ser representadas. Una Transformada de Wavelet diezmada es:
Ahora el paso de obtener la versión Discretizada y Diezmada de la Transformada de Wavelet (DWT) es sencillo:
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Definimos la familia de wavelets asociadas a un wavelet madre dado ? las obtenidas mediante las siguientes traslaciones y expansiones:
Con esto, la DWT diezmada queda:
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Toda transformada de wavelets viene determinada (como mínimo) por dos funciones (o las dos series de coeficientes (filtros) que caracterizan a estas funciones): Una función de escala madre y un wavelet madre.
La función de escala madre tiene la importante propiedad de:
Hay que hacer notar que en esta expresión k toma valores discretos k=0,1..N-1, mientras que t es una variable contínua. A partir de esta función madre se puede derivar de manera similar a su familia asociada de funciones de escala:
Para unos coeficientes hk dados es relativamente sencillo construir la función de escala madre. Partiendo de una función inicial e iterando según la relación, obtendremos ?(t).
NOTA: La familia de funciones de escala forman una base ortonormal de L2
FUNCIÓN DE ESCALA MADRE
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Una vez definida la función de escala madre, el wavelet viene dado por:
Aunque es bastante evidente no está de más enfatizar que son los coeficientes hk y gk (denominados filtros pasa-bajo y filtro pasa-alto) los que determinan la función de escala madre y el wavelet. En muchos casos, "Los filtros discretos son más fundamentales que los propios wavelets”.
Por tanto, dados unos coeficientes hk y gk tendremos ya bien definidos tanto la función madre como los wavelets. A estos coeficientes se les imponen una serie de condiciones que caracterizan las propiedades de los wavelets que se obtendrán. Si se es excesivamente restrictivo, la única solución que se obtiene es la del wavelet de Haar. Según se van relajando condiciones aparece una amplia variedad de wavelets.
FILTROS PASA-ALTO Y PASA-BAJO
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Para unos coeficientes hk y gk podemos crear las funciones de escala y wavelet madre correspondientes. En la práctica como veremos no es necesario y basta con trabajar con los coeficientes (filtros).
FUNCIÓN DE ESCALA MADRE DE DAUBECHIES DE ORDEN 4:
Viene definida por los coeficientes:
Partimos de una función de escala inicial (por ejemplo, la función escalón) e iterando con la ecuación: iremos obteniendo la nueva función de escala.
Con la función de escala y gk , es fácil obtener el wavelet madre:
CREACIÓN DE WAVELETS
(Gp:) [Tras varias iteraciones]
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
CREACIÓN DE WAVELETS
Son fractales. Su estructura surge automáticamente a partir de las reglas de escalado y ortonormalidad.
Las derivadas de este wavelet no son contínuas (es una característica de wavelets de soporte compacto ortonormale).
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Sea una señal f(t) formada por N = 8 puntos. Esto nos lleva a tener M=3 escalas de descomposición de la señal (23 = 8 ): Como la función de escala madre forma una base de L2, podemos hacer el desarrollo:
Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, f2ik y f2i+1k, se pueden escribir como la suma de una funcion de escala de nivel k+1 y wavelet de nivel k+1:
DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA
(Gp:) f
(Gp:) y
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) 0
(Gp:) 1
(Gp:) “integrar”
(Gp:) “diferenciar”
(Gp:) función de escala
(Gp:) wavelet
(Gp:) Ejemplo con el wavelet de Haar (=Daubechies de orden 1).
La función de escala recoge la infomación “suave” de la función y el wavelet los “detalles” de esa escala.
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Sea una señal f(t) formada por N = 8 puntos. Esto nos lleva a tener M=3 escalas de descomposición de la señal (23 = 8 ): Como la función de escala madre forma una base de L2, podemos hacer el desarrollo:
Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, f2ik y f2i+1k, se pueden escribir como la suma de una funcion de escala de nivel k+1 y wavelet de nivel k+1:
DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA
(Gp:) =
(Gp:) +
(Gp:) f2ik
(Gp:) f2i+1k
(Gp:) Fik+1
(Gp:) Yik+1
ESCALA 0
ESCALA 1
ESCALA 2
ESCALA 3
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
Los coeficientes de la transformada a distintas escalas vienen dados por las relaciones (Convolución circular):
Por supuesto, hay que definir en este proceso a distintas escalas, los valores de la escala inicial. En este caso, debemos saber los valores de s i [0]. Como trabajamos con señales discretas s(i) ,, i = 1..N, una posible elección es tomar directamente: s i [0] = s(i).
NOTA: La ventaja de usar como valores iniciales directamente los de la función consiste en que no requiere trabajar con la función de escala directamente sino sólo con los coeficientes. , aunque según las definiciones anteriores, habría que hacer:
(Gp:) Implementación de la transformada:
Convolución circular
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA
(Gp:) ESCALA 0
(Gp:) ESCALA 1
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETAINVERSA
Implementación de la transformada INVERSA: (Convolución circular):
(Gp:) ESCALA 0
(Gp:) ESCALA 1
DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETACONCLUSIONES
WAVELETS ORTOGONALES Y BIORTOGONALES
Los wavelets que se hemos estado viendo son ortogonales. Los filtros g y h han sido elegidos de modo que cumplan:
(Gp:) Ortogonalidad frente a
desplazamiento en el mismo
nivel
(Gp:) Ortogonalidad
entre niveles
diferentes
Dentro de los wavelets ortogonales, los wavelets de Daubechies son compactos en el “tiempo”, y por tanto tienen una extensión infinita en el espacio de “frecuencias” (debido a Dt.Dw ?p). Esto se manifiesta en la naturaleza no-suave (no diferenciable) de los mismos.
Existen otros muchos wavelets que son compactos en el espacio de “frecuencias” (suaves) y que por ello se extienden hacia infinito en el “tiempo”.
Tienen la desventaja que no existen algoritmos muy rápidos para la transformación (los más rápidos están basados en la FFT), y la ventaja de ser diferenciables.
Ejemplos: Wavelet armónico, Wavelet de Meyer
WAVELETS ORTOGONALES Y BIORTOGONALES¿SOPORTE COMPACTO?
Por supuesto, podemos relajar algunas de estas condiciones mostradas, con lo que podemos lograr que la forma de los wavelets sea más suave.
Además si no nos restringimos al método de cálculo (decimation) que hemos estado mostrando (manteniendo el mismo número de coeficientes en cada escala, y por tanto, información redundante), podremos estudiar correlaciones entre las escalas (muy útil).
Es un campo bastante abierto, en el que se emplean por ejemplo splines, combinaciones de wavelets… En la actualidad se trabaja más en desarrollar estos campos que en el uso directo de transformada discreta con wavelets ortogonales.
WAVELETS BIORTOGONALES
Aunque requiere un cálculo más largo (se acaban usando métodos numéricos basados en FFT), tiene la ventaja de poder trabajar de un modo menos restrictivo y más intuitivo. Además, su uso es necesario para el análisis de señales con gran número de discontinuidades (análisis fino que en una discretización podría verse excesivamente afectado) [Por ejemplo, para el estudio del caos]
DWT TRANSFORMADA WAVELETS CONTÍNUA
WAVELET DE MORLET
APLICACIONES: EJEMPLOS
ESTUDIO DE DISCONTINUIDADES
APLICACIONES: EJEMPLOS
OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN FRECUENCIA-TIEMPO
APLICACIONES: EJEMPLOS
OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN FRECUENCIA-TIEMPO
(Gp:) 1/a
APLICACIONES: EJEMPLOS
OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN EN IMÁGENES
APLICACIONES: EJEMPLOS
FILTRADO DE RUIDO EN SEÑALES
FUNDAMENTOS:
1) Pocos coeficientes de wavelets serán distintos de cero si la base es escogida adecuadamente para que tenga en cuenta las características de la señal.
2) Si la señal está distribuida de modo gaussiano, los coeficientes de wavelets también estarán distribuidos de modo gaussiano. (Transforma ruido en ruido). Por tanto, si se añade ruido a una señal, éstos generarán coeficientes ruidosos, con el ruido contribuyendo a todos los coeficientes, mientras que la señal sólo lo hará a unos pocos.
(Gp:) THRESHOLD METHOD (= HARD THRESHOLDING)
APLICACIONES: EJEMPLOS
(Gp:) THRESHOLD METHOD (= HARD THRESHOLDING)
En este ejemplo se tomó como señal la función f(t) = 3*Cos(t/128) + r,, t=1..128, siendo r una variable aleatoria con valores entre 0 y 1 (Ruido gaussiano). Tras realizar una transformada de Wavelets (Con Wavelets de Daubechie de orden 20), se convirtieron en cero aquellos coeficientes por debajo de un valor ?=0.5 [Un 87% de los coeficientes]. Al hacer la transformada inversa, se puede observar como se ha filtrado gran parte del ruido, manteniéndose la señal.
APLICACIONES: EJEMPLOS
SOFT THRESHOLDING
Pare el mismo ejemplo anterior, se aplicó este otro método en el que los coeficientes superiores al valor crítico son "comprimidos" según este valor ?. Se puede observar que el filtrado de ruido es mejor que en el caso anterior.
ANÁLISIS MULTIRESOLUCIÓN
SEÑAL
ESTRUCTURA FRACTAL (Correlaciones entre escalas)