Teorías de las ecuaciones matemáticas

Introducción

En este trabajo sobre las ecuaciones vamos a
reseñar diferentes aspectos donde examinaremos estas
operaciones matemáticas su sus formas más
sencillas.

Es a partir de la Segunda mitad del siglo VXII y
siguientes donde surge el desarrollo de esta importante
disciplina de las ciencias exactas, y definimos el termino
ecuación como una igualdad en la que hay una o varias
cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se
verifica o es verdadera para determinados valores de las
incógnitas, las cuales se representan por las
últimas letras del alfabeto x, y, z x u v.

Destacándose para la época los
matemáticos mas importantes y sobresalientes como Isaac
Newton, Galilei Galileo, Sócrates Descartes y otros
más.

Por esto en este contenido del presente trabajo sobre
las ecuaciones vamos a ver el término ecuación sus
diferentes definiciones, clasificación, su importancia y
su aplicación en la vida diaria.

Para esta facilitación hemos recopilado datos en
diferentes fuentes tales como Algebra de Aurelio Baldor,
Diccionario Enciclopédico Náutico Maior
"http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuasi%C3%B3nFolleto,
Matemática Propedéutica.

Marco
teórico

LA ECUACIÓN

Definiciones:

Ecuación es una igualdad en la
que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas
incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para
determinados valores de las incógnitas, las cuales se
representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z x
u v. Una ecuación es una igualdad que contiene una o
más incógnitas.

Ecuación: igualdad que solo se
cumple para ciertos valores de la variable o variables
desconocidas (incógnitas) que entran en ella. Pueden ser
de una o de varias incógnitas; estas pueden tener un
número infinito (- determinado) o infinito
(-indeterminado), de valores numéricos
(raíces)

Ecuación Algebraica: Es la que se
representa en forma polinómica, su grado viene determinado
por el exponente que afecta a la incógnita en el
polinomio. Aquella que expresa la relación entre una o
varias variables sus funciones o sus derivados.

Ecuación Química; Es la
representación de una relación
química

Ecuación Astronómica
diferencia que hay entre el lugar o movimiento medio y el
verdadero o aparente de un astro.

Ecuación. Igualdad entre dos expresiones
matemáticas, sin importar el valor que tomen las variables
implicadas en cada expresión (denominados miembros
de la ecuación, el primer miembro es el que aparece
antes del signo de igualdad, y el segundo miembro es el
que aparece en segundo lugar, aunque es perfectamente
válido permutarlos).

En muchos problemas matemáticos, la
condición del problema se expresa en forma de
ecuación algebraica; se llama solución de la
ecuación a cualquier valor de las variables de la
ecuación que cumpla la igualdad; es decir, a cualquier
elemento del conjunto de números o elementos, sobre el que
se plantea la ecuación, que cumpla la condición de
satisfacer la ecuación. Al igual que en otros problemas
matemáticos, es posible que ningún valor de la
incógnita haga cierta la igualdad. También puede
que todo valor posible de la incógnita valga. Estas
últimas expresiones se llaman identidades. Si en lugar de
una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones,
se denominará inecuación.

Clasificación De Las
Ecuaciones.

Las ecuaciones se pueden clasificar de
varias formas:

• a) Por el número de incógnitas.
  Las ecuaciones pueden tener una o más
  incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 =
  10, sólo tiene una incógnita, la
  ecuación 3x – y = 5, tiene dos y 5xy – 3×2 + z = 8
  tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una
  incógnita se pueden imaginar cómo puntos sobre
  el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un
  plano. Las de tres incógnitas como curvas en un
  espacio de tres dimensiones.

    b) Por el grado de la
incógnita. Las ecuaciones de una incógnita se
pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado
es el exponente más alto de la
incógnita).

Hay fórmulas generales para resolver las
ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son
complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que
2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores,
cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede
resolver de esta forma:

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un
sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las
soluciones.   

c) Por el número de términos:

c1) Ecuaciones binómicos:

Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones
binómicos. Llamándolas en función del
número de términos, se suelen llamar poli
nómicas.

¿Cómo se resuelven las
ecuaciones?

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación
algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene
al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el
teorema fundamental del álgebra. D' Alembert fue el primer
matemático que diò una demostración, pero no
era completa. Se considera a Gauss como el primer
matemático que diò una demostración
rigurosa.

a) Ecuaciones de primer grado y una
incógnita

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas
de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa
dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un
número, o una variable, al otro lado del signo igual
tenemos que seguir estas reglas:

• -Si está sumando pasa restando y si esta
  restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax =
  -b

• Si está multiplicando pasa dividiendo y si
  está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x
  = -b/a.

b) Ecuaciones de segundo grado y una
incógnita

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx – c = 0,
también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la
siguiente fórmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la
raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando
restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.

c) Ecuaciones de tercer grado y una
incógnita

Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones
de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula,
pues hay otros métodos de resolver la ecuación de
una forma más cómoda.

Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo
concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n
(por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta
forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior,
dividiendo todos los términos por a, m = b/a y n =
-c/a)

El método para resolver estas ecuaciones se llama
método de Cardano, pues se atribuye a Girolamo
Cardano (1501-1576) su descubrimiento.

El método es el siguiente:

Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores
suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si
además citáis el libro en que apareció por
primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo
Cardano).

d) Ecuaciones de cualquier grado y una
incógnita

El método más frecuente de resolver
ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la
ecuación en factores (dividiendo la ecuación por
los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la
ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de
grado menor que ya podemos resolver por las fórmulas
anteriores.

A veces nos ponen una ecuación de segundo grado
"disfrazada". Lo veréis con un ejemplo: 3×4 + 2×2 – 5 = 0.
En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t,
nos queda 3t2 + 2t – 5 = 0. En este caso, hacéis el cambio
de variable, resolvéis la ecuación de segundo grado
y después despejáis la x (calculando la raíz
cuadrada del valor que hemos obtenido para t).

Si ninguno de los métodos anteriores os da
resultado, sorprenderéis a vuestro profesor resolviendo la
ecuación por este método:

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un
sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las
soluciones.

Ecuaciones Diferenciales 

Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden
en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores
numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al
buscar los máximos y los mínimos de funciones se
resolvía una ecuación y se encontraban los puntos
para los cuales se anulaba la velocidad de variación de
una función, o cuando se considera el problema de hallar
las raíces de un polinomio, se trata siempre de hallar
números concretos.

Pero en las aplicaciones de las matemáticas
surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente
diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez
una función, es decir, una ley que expresa la dependencia
de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al
investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que
determinar cómo varía la temperatura en el
transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta
o de una estrella o de una partícula cualquiera debe
determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al
tiempo, etc.

Con frecuencia es posible plantear una ecuación
que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas
ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su
naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos
decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo
de una ecuación funcional: las funciones
implícitas.

La clase más importante de ecuaciones funcionales
son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que
además de la función desconocida aparecen
también algunas de sus derivadas de diversos
ordenes.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en
las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se
debe principalmente al hecho de que la investigación de
muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a
la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que
requiere la construcción de maquinaria eléctrica o
de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de
trayectorias de proyectiles, la investigación de la
estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una
reacción química, todo ello depende de la
solución de ecuaciones diferenciales.

Sucede con frecuencia que las leyes físicas que
gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones
diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen
una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo
las leyes de conservación de la masa y de la
energía térmica, las leyes de la mecánica,
etc., se expresan en forma de ecuaciones
diferenciales.

La teoría de las ecuaciones diferenciales
comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi
simultáneamente con la aparición del Cálculo
diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones
diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para
la investigación de los fenómenos
naturales.

En la Mecánica, la Astronomía, la
Física y la Tecnología han sido causa de enorme
progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del
movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del
movimiento planetario descubiertas empíricamente por
Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta
Neptuno y determinó su posición en el cielo
basándose en el análisis numérico de esas
mismas ecuaciones.

Las
Ecuaciones Lineales

Historia De Las Ecuaciones Lineales.

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de
C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención
gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones.
Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada
por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra
geométrica, rica en métodos geométricos
para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la
notación simbólica asociada a Viète
(1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual
Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al
desarrollo de dicha notación. En este momento, el
álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos
simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler
(1707-1783) la define como la teoría de los
"cálculos con cantidades de distintas clases"
(cálculos con números racionales enteros,
fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas,
progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar al actual
proceso de resolución de la ecuación   ax
+ b = c   han pasado más de 3.000
años.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en
el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-)
multitud de problemas matemáticos resueltos. La
mayoría de ellos son de tipo aritmético y
respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin
embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como
algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto
concreto.

En éstos, de una forma retórica,
obtenían una solución realizando operaciones con
los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas
ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios
eran de la forma:

x + ax =b

x + ax + bx = 0

donde a, b y c eran números
conocidos y   x   la incógnita que
ellos denominaban aha o
montón.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de
Rhid, responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es
igual a 24".

En notación moderna, la ecuación
sería:    x + 1 / 7 x = 24. La
solución la obtenía por un método que hoy
conocemos con el nombre de "método de la falsa
posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor
concreto para la incógnita, probamos con él y si se
verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no,
mediante cálculos obtendremos la solución
exacta.

Supongamos que fuera   7   la
solución, al sustituir en la x nos
daría:   7 + 1/7 · 7 = 8 , y
como nuestra solución es 24 , es decir,
8·3 , la solución es 21 = 3 ·
7 , ya que 3 · (7 + 1/7 – 7) =
24.

Generalmente, el cálculo de la solución
correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba
numerosas operaciones con fracciones unitarias (fracciones con
numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto
el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el
dibujo de un par de piernas andando en dirección de la
escritura o invertidas, para representar la suma y resta,
respectivamente.Los babilonios (el mayor número de
documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.)
casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales,
quizás por considerarlas demasiado elementales, y
trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las
ecuaciones de segundo grado.

Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación
5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el
recíproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de
multiplicar por 8 , encontramos 8 · 12/60 = 1
36/60 Los matemáticos griegos no tuvieron problemas
con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de
C.), no se dedicaron mucho al álgebra, pues su
preocupación era como hemos visto, mayor por la
geometría. Sobre la vida de Diophante aparece en los
siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una
ecuación lineal y dice:

Historia de los Sistemas de Ecuaciones
Lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron
ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las
incógnitas con palabras tales como longitud, anchura,
área, o volumen , sin que tuvieran relación
con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla
babilónica plantea la resolución de un sistema de
ecuaciones en los siguientes términos:
      1/4 anchura + longitud = 7
manos       longitud + anchura = 10
manos

Para resolverlo comienzan asignando el
valor   5   a una mano y observaban
que la solución podía ser: anchura = 20,
longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método
parecido al de eliminación. En nuestra notación,
sería:

    y + 4x = 28
      y + x = 10

Restando la segunda de la primera, se
obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y =
4 . 3x/3 = 18/3 x = 6

También resolvían sistemas de
ecuaciones, donde alguna de ellas era
cuadrática.

Los griegos también resolvían
algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos
geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había
encontrado una fórmula para resolver un determinado
sistema de   n   ecuaciones con   n
  incógnitas.

Diophante resuelve también problemas
en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero
transformándolos en una ecuación lineal.

Diophante sólo aceptaba las
soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas
y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada
como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de
las dificultades que encontramos en la resolución de
ecuaciones por Diophante es que carece de un método
general y utiliza en cada problema métodos a veces
excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en
los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener
métodos generales de resolución, sino que resuelven
tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemático , de autor
chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos
problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un
esbozo del método de las matrices para resolver sistemas
de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a
resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho
método matricial.

Desarrollo Del Concepto

En una ecuación existen cantidades desconocidas
(incógnitas), que en general se designan por letras
minúsculas de la parte final del alfabeto: x, y, z y
cantidades conocidas (coeficientes), que pueden designarse por
letras minúsculas iniciales del alfabeto: a, b, c. Lo
anterior lo introdujo el matemático René Descartes
en 1637.

En la ecuación: ax + b = c

a, b y c son coeficientes, x
es la incógnita

En la ecuación 5z – 4 = 16

Los coeficientes son los enteros 5, 4, y 16 y la
incógnita es z.

Llamaremos raíces o soluciones de la
ecuación a los valores de las incógnitas que
cumplen la igualdad.

Ejemplos:

Si voy al Correo con $500 y quiero despachar 3 cartas
(franqueo nacional: $150) ¿qué vuelto
recibiré? Si v representa el valor del vuelto, éste
tiene que cumplir:

500 = 3 x 150 + v

En la ecuación anterior v es la incógnita
y el valor v = 50 es la solución.

Clasificación De Las Ecuaciones Con Una
Incógnita:

Las ecuaciones se catalogan según el exponente o
potencia más alto que tenga la incógnita.
Así,

6x + 34 = 5 es una ecuación de primer
grado.

8×2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo
grado.

4 x3 + 35 x2 –3x + 2 =7 es una ecuación de
tercer grado.

Resolución de
Ecuaciones

Resolver una ecuación es encontrar el o los
valores de la incógnita que satisface la igualdad. Por
ejemplo la ecuación:

500 = 450 + v (el caso del vuelto)

se satisface para

v = 50

Luego el vuelto de franquear 3 cartas con $500 es
$50.

Una Ecuación Funcional es una
ecuación en la que las constantes y variables que
intervienen no son números reales sino funciones. Si en la
ecuación aparece algún operador diferencial se
llaman ecuaciones diferenciales.

Cómo Resolver Una Ecuación De Primer
Grado

Para la resolución de ecuaciones de primer grado
podríamos definir un esquema con los pasos necesarios.
Para empezar realizaremos una ecuación de primer grado
sencilla:

9x – 9 + 108x – 6x – 92 = 16x + 28 + 396

Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de
los términos, el izquierdo o el derecho.

1- Transposición: Lo primero que debemos
hacer es colocar los términos con X en un lado, y los
números en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos
números que tendremos que pasar al otro término.
Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que:

Si el número esté restando (Ej:
-6): Pasa al otro lado sumando (+6)

Si el número esté sumando (Ej:
+9): Pasa al otro lado restando (-9)

Si el número está multiplicando
(Ej: ·2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma
fraccionaria) (n/2)

Si el número está dividiendo (en forma
fraccionaria) (Ej: n/5) Pasa al otro lado
multiplicando (·5)

Una vez hemos pasado todos los términos en
nuestra ecuación, ésta quedaría
así:

9x + 108x – 6x – 16x = 28 + 396 + 9 + 92

Como podrás comprobar, todos los monomios con X
han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los
números enteros se han quedado en la derecha.

2- Simplificación:

Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra
ecuación en otra equivalente más simple y corta,
por lo que realizaremos la operación de polinomios que se
nos plantea.

Es decir: en nuestro caso, por un lado realizamos la
operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado:
28+396+9+92

De forma que nuestra ecuación pasaría a
ser ésta:

95x = 525

3- Despejar:

Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final,
dejar la X completamente sola; para ello volveremos a recurrir a
la transposición.Es decir: en nuestra ecuación
deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está
multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

x = 525 / 95

Comprueba que el ejercicio ya está
teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la
que nos dice que la x ocultaba el número 525/95. Sin
embargo, debemos simplificar esto.

Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre
denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si nos
diera decimal, simplificamos la fracción y ése es
el resultado.

En nuestra ecuación, vemos que el resultado de la
fracción es decimal (525:95=5.5263157894737) por lo tanto
x=525/95

Resolución De Ecuaciones De Primer Grado
(Problema)

Pongamos el siguiente problema: número de canicas
que tengo más tres es igual al doble de las canicas que
tengo menos 2. ¿Cuántas canicas tengo? El
primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado
como una expresión algebraica:

x + 3 = 2x – 2

El enunciado está expresado, pero no podemos ver
claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este
procedimiento:

x + 3 = 2x – 2

Primero se pasan todas las x al primer término y
los términos independientes al segundo. Para ello tenemos
en cuenta que cualquier expresión pasa al otro
término haciendo la operación opuesta. Así
obtenemos:

x – 2x = – 2 – 3

Que, simplificado, resulta:

– x = – 5

Esta expresión nos lleva a una regla muy
importante del álgebra, que dice que si modificamos
igualmente ambos términos de una ecuación, el
resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar,
multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos términos de
la ecuación por el mismo número, sin que
ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos
términos por -1 obtendremos:

x = 5

El problema está resuelto

Todas las ecuaciones de segundo grado pueden tener como
mucho 2 soluciones válidas. Para la resolución de
ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres
tipos distintos de ecuaciones:

–Ecuaciones de la forma ax2 + c =
0

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de
resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado.
Tengamos por ejemplo:

x2 – 16 = 0

Pasamos -16 al segundo término

x2 = 16

Ahora pasamos el exponente al segundo término,
haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz
cuadrada

La ecuación ya está resuelta

–Ecuaciones de la forma ax2 + bx =
0

Tengamos:

3×2 + 9x = 0

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es
declarar x como factor común de ambas
expresiones:

x(3x + 9) = 0

Esta expresión es una multiplicación cuyo
resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser
igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero
(ésta es la primera solución), o:

3x + 9 = 0

3x = – 9

Por lo tanto, las 2 soluciones válidas para esta
ecuación son 0 y -3

-Ecuaciones de la forma ax2 + bx + c =
0

Tengamos por ejemplo la
ecuación:

x2 + 5x + 6

Para resolver este tipo de ecuaciones
utilizamos directamente la siguiente fórmula:

Por lo tanto, para resolver esta ecuación
sustituimos las letras por los números:

A partir de esta fórmula obtenemos
que las soluciones válidas para esta ecuación son
-2 y -3

• Ecuación de segundo
grado

• Ecuación de tercer
grado

• Ecuación de cuarto
grado

• Ecuación de quinto
grado

• Ecuaciones con radicales

• Ecuación
química

• Sistema de ecuaciones

Importancia de las
Ecuaciones y su aplicación

La clase más importante de ecuaciones funcionales
son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que
además de la función desconocida aparecen
también algunas de sus derivadas de diversos
ordenes.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en
las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se
debe principalmente al hecho de que la investigación de
muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a
la solución de tales ecuaciones.

Los cálculos que requiere la construcción
de maquinaria eléctrica o de dispositivos
radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de
proyectiles, la investigación de la estabilidad de
aeronaves en vuelo, navegación o del curso de una
reacción química, todo ello depende de la
solución de ecuaciones diferenciales.

Sobre El Aparato Matemático De La
Mecánica.

Hemos citado ejemplos de aplicación del
análisis matemático en la rama de los
fenómenos eléctricos y magnéticos al igual
que en las teorías del calor y de las ondas. Con estos
ejemplos, el problema, naturalmente, no se agota.

Los métodos analíticos penetraron en
muchas ramas de las ciencias naturales, adquiriendo en ellas el
significado de medios operativos resolutivos. Casi en primer
lugar penetraron en la mecánica, determinando su
contenido. La mecánica analítica adquirió su
aspecto clásico precisamente como un estudio sobre las
ecuaciones diferenciales que expresan las propiedades de las
trayectorias de cualquier sistema mecánico.

Breve Comentario Sobre Algunos Valiosos
Aportes De Una Mujer Sorprendente.

Como es conocido, a lo largo de la historia
de las matemáticas, hasta el siglo XIX fueron pocas las
mujeres que se dedicaron de una forma u otra a la
profundización del conocimiento científico, pues no
se les era permitido por el simple hecho de ser mujer. A mediados
del propio siglo XIX justamente en el año 1850
nació en Moscú Sofía Vasilievna Kovalevskaya
quien además de ser la primera mujer en el mundo profesor
de matemáticas, brindó una gran ayuda para el
desarrollo de la teoría de las ecuaciones en derivadas
parciales. Según se conoce, los teoremas de existencia
tuvieron en la historia de las ecuaciones diferenciales un doble
significado. Resolvían la cuestión sobre el rigor y
la validez de su aplicación y al mismo tiempo, los
métodos brindaban la base para la elaboración de
los métodos de integración numérica de las
ecuaciones diferenciales.

Conclusiones y
recomendaciones

Esta facilitación de Matemática
Propedéutica y que en esta ocasión hemos tomado el
tema sobre las ecuaciones ha sido para recordar, y
retroalimentarnos con esos conocimientos que habíamos
adquirido y que ya habíamos olvidado,

Por esto ha sido tan importante volver a practicarlos y
debemos profundizar aun mas en esta importante materia a
través de las personalidades que se encargaron de
enriquecerla y dejarnos sus aportes para nuestros conocimientos y
su aplicación.

El análisis matemático en el siglo XVIII
se enriqueció con el potente y variado aparato del
desarrollo de funciones en series de diferentes tipos. Este
aparato fue creado bajo la influencia directa de los problemas de
la física matemática. La construcción de una
teoría de series lo suficientemente general y rigurosa se
convirtió hacia finales de siglo en un problema de primera
línea, de cuya solución dependían los
éxitos prácticos del análisis
matemático.

Las reglas de diferenciación en su gran
mayoría fueron elaboradas ya en los trabajos de Leibniz y
los hermanos Bernoulli. La ampliación de estas reglas en
relación con la ampliación de la clase de funciones
investigadas no presentaba dificultades importantes.

Así, tras la expresión analítica de
las funciones trigonométricas, exponenciales y otras
clases de funciones, fueron inmediatamente obtenidas las
expresiones analíticas de sus derivadas.

Así vemos como las ecuaciones, su
aplicación e importancia en la vida diaria son utilizadas
de manera general en lo que es la investigación de
diferentes problemas de ciencia y tecnología puede
reducirse a la solución de tales ecuaciones.

Los cálculos que requiere la construcción
de maquinaria eléctrica o de dispositivos
radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de
proyectiles, la investigación de la estabilidad de
aeronaves en vuelo la navegación o del curso de una
reacción química, todo ello depende de la
solución de ecuaciones diferenciales.

Bibliografía

Libros:

• Algebra de Aurelio Baldor

• Diccionario Enciclopédico Náutico
  Mayor

• Matemàtica IV, Educación Media,
  Segundo Grado, Segundo Ciclo, Secretaría de Estado
  de

Educación Peña Geraldino,
Rafael

Folletos:

• Matemática Propedéutica.
  (UTE)

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo
S.

Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2014.