Sistemas de control. Estabilidad y lugar geométrico de las raíces (Presentación PowerPoint)

Sistemas de control Estabilidad Estabilidad de un sistema Un
sistema es estable si la respuesta del sistema al impulso tiende
a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si el sistema tiende a
un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema
es críticamente o marginalmente estable. Una magnitud
infinita hace a el sistema inestable.

Sistemas de control Estabilidad Notas: Si los todos los polos de
la función de transferencia están en el lado
izquierdo de plano-s entonces el sistema es estable. Un sistema
es críticamente estable si uno o más polos
están en el eje imaginario del plano-s. En el estudio de
estabilidad sólo los polos de la función de
transferencia son importante, los zeros son irrelevantes. Los
polos de un sistema son las raíces obtenidas de el
denominador de la función de transferencia cuando es
igualado a cero. Polinomio característico. El concepto de
estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo
abierto.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de estabilidad de
Routh-Hurwitz El polinomio a(s) se dice Hurwitz si todas sus
raíces tienen parte real negativa. Si es la función
de transferencia de un sistema, entonces el sistema es estable si
el polinomio d(s), conocido como el polinomio
característico del sistema, es Hurwitz.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz Sirve
para determinar si un polinomio a(s) es Hurwitz o no. Considere
el polinomio a(s) de grado n escrito en la forma donde los
coeficientes son números reales. Se supone que es decir
a(s) no tiene raíces en s=0. 2. Si alguno de los
coeficientes es cero o negativo en presencia de al menos un
coeficiente positivo, entonces el polinomio a(s) tiene
raíces puramente imaginarias, o que tienen parte real
positiva. En este caso a(s) no es Hurwitz.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz 3. Si
todos los coeficientes son positivos (o todos negativos) y
diferentes de cero, construya el siguiente arreglo

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz donde
Se continua de esta forma hasta que la n-ésima fila del
arreglo ha sido completada.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz El
criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de
raíces de a(s) con parte real positiva es igual al
número de cambios de signo de los coeficientes en la
primera columna del arreglo. Entonces, el polinomio a(s) es
Hurwitz si y solo si y todos los coeficientes en la primera
columna del arreglo son positivos.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
ejemplo:

Sistemas de control Estabilidad Casos especiales del criterio de
Routh-Hurwitz El primer elemento de una fila es cero, y es el
único elemento de la fila, o los demás elementos de
la fila son diferentes de cero. En este caso, el cero es
reemplazado por un número positivo muy pequeño ? y
se continua con el cálculo del arreglo. Si el signo del
coeficiente arriba del cero (?) en el arreglo es el mismo que el
de abajo, entonces el polinomio a(s) tiene un par de
raíces imaginarias. En caso contrario, esto es, si el
signo del coeficiente arriba del cero (?) es diferente que el de
abajo, entonces el polinomio a(s) tiene 2 raíces con parte
real positiva.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
ejemplo:

Sistemas de control Estabilidad Casos especiales del criterio de
Routh-Hurwitz 2. Si todos los coeficientes de una fila son cero,
entonces el polinomio a(s) tiene raíces de igual magnitud
y opuestas en el plano-s, esto es, 2 raíces de igual
magnitud y de signo contrario, o 2 raíces imaginarias
conjugadas. En este caso, el arreglo de los coeficientes puede
ser completado formando un polinomio auxiliar con los
coeficientes de la fila anterior y usando los coeficientes de la
derivada de este polinomio en la siguiente fila. Las
raíces de igual magnitud y opuestas en el plano s
corresponden a las raíces del polinomio auxiliar.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
ejemplo: Polinomio auxiliar au(s) Fila de ceros Se remplaza la
fila de ceros por la derivada del polinomio auxiliar.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
ejemplo:

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz El
criterio de Routh-Hurwitz también puede usarse para
estudiar la estabilidad relativa de un sistema; esto es, si el
sistema es estable, qué tan cerca está de ser
inestable. Nos interesa saber en este caso si el polinomio a(s)
tiene raíces a la derecha de la línea s=-?, donde ?
es una constante. Para ello hacemos la substitución en
a(s) y aplicamos el criterio de Routh-hurwitz al polinomio El
número de cambios de signo en la primera columna del
arreglo construido para es igual al número de
raíces de a(s) a la derecha de la línea s=-?.

Sistemas de control Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz
Ejemplo: Hallar el valor de K para

Sistemas de control Estabilidad Lugar Geométrico de la
raíces (Root-locus) Utilizando los polos de la
función de transferencia, el lugar geométrico de
las raíces es el gráfico en el plano-s de la
ubicación de los polos conforme K varia desde cero a
infinito. El root-locus complementario es desde menos infinito a
cero. Ejemplo: (Gp:) + (Gp:) – V(s) Y(s)

Sistemas de control Estabilidad Lugar Geométrico de la
raíces (Root-locus) Ejemplo (cont.):

Sistemas de control Estabilidad Construcción root-locus Si
a lazo cerrado La ecuación característica debe ser
igualada a cero Si K>0, k=±1, ±2,… Si
K<0, k=±1, ±2,…

Sistemas de control Estabilidad Construcción root-locus
Podemos re-escribir Obteniendo entonces: Debemos hacer lo mismo
con los ángulos

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
Ejemplo: Paso 1: Debido a que el lugar geométrico de las
raíces comienza en los polos a lazo abierto y terminan en
los ceros a lazo abierto se debe dibujar estos sobre el plano-s.
-1 -2 -3 -4 -5 jw -s

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
Paso 2:Utilizando la condición de ángulo se
determina que parte del eje real pertenece al root-locus.
Supondremos raíces dentro de los intervalos en el plano-s.
-1 -2 -3 -4 -5 s1 jw -s X X X X 0

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
Paso 3: Considerando que la función de transferencia a
lazo abierto tiene n polos y m zeros y que para los sistemas
n>m, se tiene un cierto número de ramas que comienzan
en los polos y deben dirigirse a los zeros, como hay menos zeros
que polos, estas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo
largo de asíntotas. El Número de asíntotas
es: NA=n-m La ubicación del punto de partida Y el
ángulo de salida es: Esta ecuación es positiva, me
equivoque en clase

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir
root-locus

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
Paso 4: Puntos de ruptura sR1=-0.43; sR2=-1.6; sR3=-3,3+0,68j;
sR4=-3,3-0,68j

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
Paso 5: Dibujar

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
Paso 6: el punto en el cual el root locus corta el eje
imaginario. Se puede hallar usando el criterio de
Routh-Hurwitz.

Sistemas de control Estabilidad Pasos para construir root-locus
Paso 6: Se cálcula el valor de K para que una fila
completa sean puros ceros. En este caso la fila es s1 y el valor
de K=9.65. Tomaremos el polinomio auxiliar y despejaremos el
valor de s. Entonces los puntos donde el LGR cruza el eje
imaginario es ±1.5888j.

Sistemas de control Estabilidad Resultado final

Ejercicio de Lugar Geométrico de las Raíces

Ejercicio Dibuje el LGR del siguiente función de
transferencia a lazo abierto 1º paso, representar los polos
y zeros 30 x x o -1 -5 -10

Ejercicio 2º paso: Hallar donde existe el LGR, se procede de
derecha a izquierda a contar los polos y zeros, y cuando la suma
sea impar en ese intervalo si existe el LGR, si es par No existe
el LGR. 31 x x o -1 -5 -10 Número impar Número Par
Número impar

Ejercicio 3º paso: Hallar las asíntotas, los
ángulos de las asíntotas y los puntos de partidas.
32 x x o -1 -5 -10 Solo hay una Asíntota q es solamente 0,
porque NA=1 El punto de partida se encuentra en el lado
derecho.

Ejercicio 4º paso: Hallar los puntos de rupturas, como los
polos deben ir a los zeros, y solo tenemos un cero y está
después de los dos polos el LGR debe alejarse del eje real
para poder llegar al zero en -10 y al zero en –inf. 33 x x
o -1 -5 -10

Ejercicio 5º paso: Dibujar el LGR, debemos alejarnos, En
realidad con esta técnica se dibuja un croquis del LGR,
para hallar los verdaderos puntos donde el sistema es
críticamente amortiguado, que son los lugares donde el LGR
se separa del eje real se debe usar la EC a lazo cerrado. 34 x x
o -1 -5 -10 º 4.52

Ejercicio Valores de K para que el sistema sea
críticamente amortiguado: Comparando la EC con la
respuesta ideal De la primera ecuación tenemos K=2a-6 y
sustituyendo en la segunda. 35

Ejercicio Así el LGR queda definido como: 36 x x o -1 -5
-10 º -16.70 -3.29 º

Ejercicio Usando un programa matemático: 37