Indice
1.
Poliedro
2. Prisma
3. Poliedros
Regulares
4. Buckminsterfullereno o Fullereno
C60
5. Pirámide
6. Triángulo
7. Teorema De Euler
8. Teorema de
Pitágoras
9. Formula De
Herón
Porción de espacio limitada por polígonos
planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas
y los vértices:
Las caras son los polígonos que la limitan.
Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras
contiguas.
Los vértices son los de las caras. En cada vértice
de un poliedro concurren tres o más caras.
Un poliedro se llama convexo si todo él está en el
mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras.
Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano
atraviesa a la figura.
Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen.
En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler
Poliedro limitado por dos polígonos iguales,
llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios
paralelogramos, llamados caras laterales.
Se llama altura del prisma a la distancia entre los
planos en que se sitúan sus bases.
Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal…
según que sus bases sean triángulos,
cuadriláteros, pentágonos…
Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales
perpendiculares a las bases:
En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas
rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares,
el prisma se llama regular.
Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas
a los planos de las bases.
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman
paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis
caras son paralelogramos.
Se llama área lateral de un prisma al área
de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma
recto es:
Alat = perímetro de la base · altura
El área total es la suma del área lateral con las
áreas de las bases:
Atot = área lateral + 2 · área de la
base
El volumen de un
prisma cualquiera es igual al área de la base por la
altura:
V = área de la base · altura
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al
partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas
laterales se llama tronco de prisma.
Un poliedro regular es aquel cuyas caras son
polígonos regulares iguales y en cada uno de sus
vértices concurren el mismo número de caras.
Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:
Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en
cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada
vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada
vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres
en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30
aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada
vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas
Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos
se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos
medios de cada
dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de
sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el
cubo lo es del octaedro:
Tetraedro
Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser
triángulos. Es, por tanto, una pirámide
triangular:
Si las cuatro caras de un tetraedro son
triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro
regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente,
al hablar del tetraedro se hace referencia al tetraedro
regular.
El área de un tetraedro regular en función de
su arista es:
A= a2 Ö 3
Su volumen es:
V = a3 /12
Cubo
Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.
El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares)
con todas las aristas iguales.
El área total de un cubo de arista a es
A = 6a2
Su volumen es
V = a3
La longitud de su diagonal es: D= a Ö 3
El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente,
hexaedro.
Octaedro
Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente
así al octaedro regular, poliedro formado por ocho
triángulos equiláteros idénticos:
El área de las caras de un octaedro en
función de su arista, a, es:
A= 2a2 Ö 3
Su volumen es:
V = a3/3
Dodecaedro
Poliedro regular formado por doce caras pentagonales:
El área de un dodecaedro de arista a
es:
Su volumen es:
V = a3(15 + 7)/4
Icosaedro
Poliedro regular formado por veinte caras
triangulares:
El área de un icosaedro es:
Su volumen es:
V = 5a3(3 + )/12
4. Buckminsterfullereno o
Fullereno C60
Una forma natural o alotrópica del carbono.
Durante muchos años se pensó que el elemento
carbono existía en dos formas alotrópicas (o
distribuciones distintas de los átomos), el diamante y el
grafito. El diamante es un sólido en el que cada átomo de
carbono se une a otros cuatro, y esta distribución se extiende por todo el
cristal dando lugar a un sólido rígido y duro. En
el grafito, los átomos de carbono se unen formando anillos
hexagonales en láminas planas superpuestas, y el resultado
es un sólido escurridizo. El carbono es uno de los
elementos más investigados, por lo que fue una gran
sorpresa el descubrimiento en 1985 de una familia entera de
formas alotrópicas distintas, los fullereros. Este
descubrimiento fue el resultado de las investigaciones
sobre la formación de compuestos de carbono en el interior
de las estrellas realizadas por el británico Harold W.
Kroto, en colaboración con los estadounidenses Robert F.
Curl y Richard E. Smalley; por ello, los tres científicos
recibieron el Premio Nobel de Química en 1996.
El buckminsterfullereno, la forma alotrópica más
conocida del grupo de los
fullerenos, consiste en 60 átomos de carbono unidos para
formar una molécula C60 de hexágonos y
pentágonos dispuestos en forma casi esférica, como
la envoltura de una pelota de fútbol. La molécula
recibe ese nombre porque su estructura se
parece a las elaboradas estructuras
geométricas inventadas por el arquitecto estadounidense
Richard Buckminster Fuller. Existen otros fullerenos que poseen
más átomos de carbono y sus formas son versiones
alargadas del buckminsterfullereno inicial (en forma de pelota).
Con el aumento en la producción de buckminsterfullereno, se
llegó a obtener una forma sólida, la fullerita. En
este sólido amarillo transparente, las moléculas
forman una especie de conjunto de balas de cañón en
una distribución compacta. Ahora existen también
versiones tubulares de fullerenos en forma sólida.
Originalmente se preparaba el buckminsterfullereno en un haz
molecular y sólo podían conseguirse pequeñas
cantidades. Sin embargo, pronto se vio que podían
obtenerse grandes cantidades de moléculas en un arco
eléctrico entre dos electrodos de carbono en atmósfera de helio.
Actualmente se sabe que es probable que el buckminsterfullereno
se forme en llamas tiznadas, y existe incluso la posibilidad de
que abunde en el Universo,
particularmente cerca de las estrellas rojas gigantes.
Cuando los fullerenos empezaron a ser abundantes, los
químicos comenzaron a investigar sus propiedades. Se
piensa que los fullerenos podrían dar origen a un nuevo
campo de la química, del mismo modo que la química
orgánica aromática surgió a raíz del
descubrimiento del benceno 150 años atrás. Una de
las propiedades más sorprendentes de los fullerenos es que
se pueden introducir átomos de elementos en el hueco
existente en la 'jaula' de átomos de carbono; así
se puede obtener una versión de 'envoltura
contraída' de cada elemento del sistema periódico.
Cuando se introducen átomos de metal en los tubos tipo
fullereno mencionados anteriormente, el material resultante es
como un alambre aislado unidimensional. Otra propiedad
importante es que ciertos compuestos de buckminsterfullereno (en
especial el K3C60) son superconductores a bajas temperaturas. Se
ha averiguado que los derivados del buckminsterfullereno son
biológicamente activos y se
están utilizando para atacar el cáncer:
se cree que las moléculas en forma de pelota de
fútbol pueden introducirse en los emplazamientos activos
de las enzimas y
bloquear su acción.
Poliedro limitado por una base, que es un
polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son
triángulos con un vértice común llamado
vértice de la pirámide.
La altura de la pirámide es la distancia del
vértice a la base. Una pirámide se llama
triangular, cuadrangular, pentagonal… según que su
base sea un triángulo, un cuadrilátero, un
pentágono…
Una pirámide es regular si su base es un polígono
regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente)
sobre el centro de la base. En una pirámide regular las
caras laterales son triángulos isósceles cuyas
alturas se llaman apotemas de la pirámide.
El área lateral de una pirámide regular
(suma de las áreas de las caras laterales) es:
y el área total:
Atot = Alat + Abase
El volumen de una pirámide es la tercera parte del
producto del
área de la base por la altura:
Tronco De Pirámide
Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la
base de la pirámide y un plano que corta a todas las
aristas laterales.
Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que
el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es
la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una
pirámide regular está formado por dos bases,
polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales
que son trapecios isósceles. Las alturas de estos
trapecios se llaman apotemas de estos troncos.
El área lateral de un tronco de pirámide
de bases paralelas es:
Alat = semisuma de los perímetros de las bases ·
apotema
El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son
paralelas y tienen superficies B y B’, y cuya altura es h,
se obtiene mediante la fórmula siguiente:
Polígono de tres lados. Según la longitud
de sus lados, los triángulos se clasifican en
equiláteros, si sus tres lados son iguales,
isósceles, si tienen dos lados iguales, y
escálenos, si los tres lados son distintos.
La suma de los tres ángulos de un
triángulo es 180º. Dos de los ángulos son,
necesariamente, agudos. El tercero puede ser también
agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son
agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene
una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo
si el mayor de sus ángulos es obtuso.
Triángulos Rectángulos
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de
relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el
ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado,
a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema
de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en
un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos:
a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un
triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el
cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por
su proyección sobre ella, es decir,
c2 = a · m, b2 = a · n
Alturas De Un Triángulo
Se llama
base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El
segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta
o a su prolongación se llama altura. Un triángulo
tiene, pues, tres bases a, b, c, y las tres alturas
correspondientes, ha, hb y hc.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura
sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en
que la divide:
h2 = m · n
Esta relación se conoce como teorema de la altura.
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se
cortan en un punto llamado ortocentro. Si el triángulo es
acutángulo, el ortocentro es interior al
triángulo.
En un triángulo rectángulo, cada cateto
puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es,
por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el
triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene,
prolongando las alturas, fuera del triángulo.
Medianas De Un Triángulo
Se
llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres
segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado
opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un
punto que se llama baricentro.
El baricentro corta a cada mediana en dos segmentos, uno
de ellos la mitad del otro:
Circunferencia Inscrita
Las bisectrices
de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un
punto que se llama incentro porque es el centro de la
circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del
triángulo. Ésta es la mayor circunferencia
contenida en el triángulo.
Circunferencias Exinscritas
La bisectriz interior de un ángulo se corta con las dos
bisectrices exteriores de los otros dos ángulos en un
punto llamado exincentro, y que es centro de una circunferencia
(exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los
otros dos.
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias
exinscritas.
Circunferencia Circunscrita
Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en
un punto llamado circuncentro porque es centro de la
circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices
del triángulo. Esta es la menor circunferencia que
contiene al triángulo.
Área De Un Triángulo
El área de un triángulo de lados a, b, c, y alturas
correspondientes ha, hb y hc es:
A = (1/2)a · ha = (1/2)b · hb = (1/2)c ·
hc
Si se conocen las longitudes de los tres lados, a, b, c, el
área se puede calcular mediante la siguiente
fórmula, llamada fórmula de
Herón:
en donde p = (a + b + c)/2 es el semiperímetro
del triángulo.
Teorema que relaciona el número de caras,
vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios)
cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número
de caras, C, más el número de vértices, V,
es igual al número de aristas, A, más dos. Es
decir:
C + V = A + 2
Teorema que relaciona los tres lados de un
triángulo rectángulo, y que establece que el
cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados (catetos).
El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados
de un triángulo rectángulo si se conocen los otros
dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los
dos catetos:
o bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el
otro cateto:
Fórmula que sirve para calcular el área,
A, de un triángulo en función de sus lados, a, b,
c:
siendo p el semiperímetro: p = (a + b +
c)/2.
Por ejemplo, si los lados de un triángulo miden
a = 7 cm, b = 11 cm,
c = 8 cm, entonces el semiperímetro es
p = (7 + 11 + 8)/2 = 13 cm y su área
es:
Autor:
Frank Alejandro Zapata Mesa