Números complejos

Indice
1.
Defina número complejo.
2. ¿Cómo determinar la forma
polar de Z?
3. Parte
Práctica
4. Bibliografía

1. Defina número
complejo.

A toda expresión en la forma a + bi donde a y b
son números reales e i es la unidad imaginaria() recibe el nombre de
Número Complejo. Se designan a los números
complejos con la letra Z ; así
Z = a + bi (a Î
 )
Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de
esta forma :
Re(z) = a
Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE
IMAGINARIA.
Im(z) = b
ż cuando un
número complejo se dice imaginario puro?
Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi
es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un
Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.
Ejemplo :
x2 + 16 = 0

x2 = – 16
x= ±

x= ± 4i
x1= 4i X2 = – 4i

Sean Z1 y Z2 números
complejos. defina:

1. La adición de números complejos es una
   operación binaria tal, que para todo par de complejos
   (x1 , x2) , (x3 ,
   x4) le hace corresponder el complejo que tiene
   como primera componente la suma de las primeras y como
   segunda componente la suma de las segundas.
   O sea: (x1, x2) + (x3 ,
   x4) = (x1 + x3 ,
   x2 + x4).

   * En Forma Binómica :
   Es decir, se suman algebraicamente entre sí por
   separado sus partes reales y sus partes imaginarias.
   Ejemplo :
   * Dados Z1 = a1 + b1i y
   Z2 = a2 + b2i
   Z1 + Z2 = ( a1 +
   a2 ) + (b1 + b2)i

2. Z1 + Z2 (adición de
   complejos)

   Sean Z1, Z2 dos números
   complejos, definimos la operación sustracción
   así :
   Z1 – Z2 = Z1 + (-
   Z2)
   Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo
   que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.
   Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b )
   Entonces :
   Z1 – Z2 = Z1 + ( –
   Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x – a, y –
   b).

   * En forma Binómica :
   Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales
   entre sí y las partes imaginarias entre sí.
   Entonces :
   Z1 – Z2 =(x + yi) – (a + bi) =(x – a) –
   (y – b)i.

3. Z1 – Z2 (sustracción de
   complejos):

   Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos
   simétricos con respecto al eje real .
   Si se cumple, por tanto, que
   Z = a + bi y

   = a
   – bi

   diremos que es el conjugado del complejo Z. En la
   práctica, para determinar el conjugado de un complejo
   basta cambiar en éste el signo de la parte
   imaginaria.

   * En Forma de pares ordenados:
   Si Z = (a , b) Entonces : = (a , -b)

4. (conjugado de un complejo):

   Se multiplican según la regla ordinaria del
   producto
   de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 .
   Al final se reducen términos semejantes.
   La multiplicación puede hacerse más
   directamente observando que :
   (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
   ac +
   (ad + bc)i + bd(-1)
   = (ac – bd) + (ad + bc)i

   * En forma de pares ordenados :
   Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y)
   dos números complejos, entonces, por
   definición : Z1 × Z2 = (a ,
   b) ×
   (x , y) = (a× x – b× y , a× y+b× x).

5. Z1 × Z2 (
   multiplicación de complejos ) :
6. (Z1)-1 ( Inverso De Un Complejo
   ) 

   Llamaremos el inverso de Z1 =
   a1 + b1 es : =, tal que
   Z×
   Z1 =(1 , 0).
   Sea el conjunto (a,b) y el elemento simétrico :
   Z1 = (x , y).
   Por definición : (a , b) × (x , y) = (1 , 0).
   Es decir ; ( ax – by, ay + by) = (1 , 0)

   y también

   Al resolver el sistema
   obtenemos:

   Para dividir expresiones complejas, se expresa el
   cociente en forma de fracción y se racionaliza el
   denominador de esta fracción, multiplicando ambos
   términos de la fracción por la conjugada del
   denominador y se sustituye i2 por -1.

   

   

7. (división de complejos):
8. ½
   Z1½  ( módulo de un
   complejo ):

Se llama módulo de un complejo a la longitud del
vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por
r. Su valor se
obtiene por la conocida relación :

½
Z1½ = r =

que es la relación que nos permite determinar la
longitud de un vector.
Sea Z un número complejo. explique como determinar

Sea Z= a +bi.
La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro
complejo que llamaremos x + yi :

= x + yi

= x +
yi (])

Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo
términos :
a + bi = x2 + 2xyi + y2i2
a
+ bi = x2 + 2xyi + y2 (-1)
a + bi = (x2 – y2) + 2xyi

Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el
siguiente sistema :

Despejando "y" en (]]]) :

Sustituyendo este valor en(]]) :

Expresando en términos de X2 :

Tomamos únicamente el valor positivo, pues
es mayor que "a"
y x2 no puede ser negativo. Además = S.

Por lo tanto :

Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación
(]) se obtiene lo siguiente :

• La ecuación (]) queda,
  así :

En la ecuación (]]]) podemos observar que
"b" tiene el mismo signo que el producto "xy". Por lo tanto, si
"b" es positivo "x" e "y" serán de igual signo y tendremos
que :
Para b > 0 Para b < 0

Como los signos que deben tomarse para X e Y deben
satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las
siguientes consideraciones :
Para b > 0 : Las raíces deben ser ; ambas del
mismo signo : positivas o negativas( + ,+), ( – , – )
Para b < 0 : Las raíces, se toman con signos
opuestos :(+,-),(-, +)
Sea Z un número complejo. explique como graficar z y como
determinar su forma polar.
Sea el complejo Z= a + bi = (a,b).
Representación Gráfica de Z :
Se conviene en representar los números complejos mediante
puntos en el plano. La abscisa del punto es igual a la parte real
"a" del número que representa. La ordenada es igual a la
parte imaginaria "b". De esta forma, la representación del
complejo Z= a + bi es el punto M del plano adjunto.
Este punto M recibe el nombre de AFIJO del complejo Z.
Cuando Z= a (en forma binómica) ó Z= (a,0) (en
forma de par ordenado) tiene su afijo sobre el eje horizontal.
Por esta razón, en la representación de los
números complejos, el eje de las abscisas recibe el nombre
de EJE REAL.
En cambio los
complejos en la forma Z=bi ó Z=(0,b) tienen su afijo en el
eje vertical. Por esta razón el eje de las ordenadas
recibe el nombre de EJE IMAGINARIO.
Con estas dos afirmaciones se puede establecer una
biyección entre el conjunto de los números
complejos y los puntos del plano : "a todo número
complejo corresponde un punto determinado del plano y todo punto
del plano es representación de un número complejo
determinado".

2. ¿Cómo
determinar la forma polar de Z?

Un Complejo Z= a + bi tiene su representación
geométrica como un punto en el plano y también
puede ser expresado en un sistema de coordenadas polares de la
siguiente forma :
b (a,b)
ó
b Z= a + bi

Para ubicar el punto (a,b) ó Z en el plano, las
coordenadas a y b (rectangulares) son sustituidas por las
coordenadas r y j
(polares). Donde j es el ángulo medido desde el eje real
positivo y r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta
el punto (a , b) ó Z.
Los números complejos pueden representarse, por lo tanto,
con un vector que sale del origen del sistema de coordenadas
rectangulares y llega al punto Z. Las componentes del vector son
las mismas que las coordenadas del punto.
a= Re(z) eje X b= Im(z) eje Y

Las coordenadas polares se representan en un
círculo, considerando que 0 es el origen y el eje
X+ es el eje polar.
Del triángulo rectángulo formado, se
obtiene :
a = r cos j y
b=r senj
Z= a + bi = r cos j
+ i sen j
= r (cosj
+ isenj )
= r cisj =
rej
i

Donde : es el módulo del número Complejo.

es el
ARGUMENTO del número complejo.

Z=a + bi = r cis j

En forma desarrollada :
Z= a + bi = r (cosj
+ isenj
)
Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) y Z2=
r2 (Cosq
2 + iSenq 2)

Definir :

1. Z1 × Z2 :

2. Z1 = r1 (Cosq 1 +
   iSenq
   1) = r1 Cisq 1 y
   Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2) =
   r2 Cisq
   2
   Se efectúa el producto de Z1
   ×
   Z2
   Z1 × Z2 =
   r1 Cisq
   1 × r2 Cisq 2
   En Forma
   desarrollada : = r1(Cosq 1 +
   iSenq
   1)× r2(Cosq 2 +
   iSenq
   2)
   Ordenando : = r1×
   r2(Cosq 1 + iSenq
   1)× (Cosq 2 + iSenq 2)

   Efectuando el producto de los factores que
   están entre paréntesis :
   

   Ordenando y sustituyendo i2 por
   (-1) :

   

   Sacando factor común "i" en los
   últimos términos :

   

   

   Por lo tanto, sustituyendo :

   y, en la forma abreviada :

   En resumen :

   En palabras :
   "El producto de dos números complejos en forma
   trigonométrica tiene como módulo el producto de
   los módulos y como argumento, la suma de los
   argumentos."

3. 

Sean Z1 = r1
(Cosq
1 + iSenq 1) = r1 Cis
q 1 y
Z2 = r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2
Cis q
2
Se efectúa el cociente
Z1
Z2

Descomponemos así el segundo
miembro :

Expresión equivalente a la que sigue :

Aplicando la fórmula de Moivre :

Y por último, multiplicando :

En definitiva :

En palabras : " El cociente de dos números
complejos en forma trigonométrica tiene como módulo
el cociente de los módulos y como argumento, la diferencia
de los argumentos."

C) Z1n (formula de
moivre)
Z1n = (r1 Cis
q
1)n = (r Cis
q )(r Cis
q )(r Cis
q
)………………… (r Cis q )

=

Z1n = (r1
Cis q
1)n = r n
Cis(q
1 × n)

O sea :
El módulo de la potencia n-sima
de un complejo z es la potencia n-sima del módulo y el
argumento es el de Z multiplicado por n.
LA FÓRMULA DE MOIVRE expresa: Para elevar un número
complejo en forma trigonométrica a un exponente entero
cualquiera n, se eleva el módulo a la potencia n y se
multiplica el argumento por
n.

3. Parte Práctica

1. 

2. Efectuar :
3. resolver : Z2 = 21 – 6i
3. Sean Z1 = -2 + 3i ;
   Z2 = 2 + 2i ; Z3 = 4i .
   calcular

1. calcular :

 ;
;

2. Expresar Z1 , Z2 y
   Z3 en forma polar y calcular :

 ;

4. resolver en

 :

( Z – 1 – i) ( Z – 1 + i) ( Z + 1 + i) ( Z + 1 – i ) =
5

4.
Bibliografía

• Mendiola, Esteban. " MATEMÁTICAS 4to. Año." . Editorial
  Biosfera
  S.R.L. Página 287. Capítulo VII
• Guía de Números complejos para Cálculo
  10. Universidad
  de los Andes.
• Baldor, A. "ÁLGEBRA
  ".Distribuidora Cultural Venezolana S.A. Página.
  435.
• "MATEMÁTICAS 1er. AÑO". Editorial
  Natura, S.R.L. Sociedad De
  Ciencias
  Naturales, La Salle. Página 180. Capítulo
  IV.
• Jiménez, Jofre y Salazar, Jorge. "
  MATEMÁTICAS PRIMER AÑO, CICLO DIVERSIFICADO.".
  Ediciones CO-BO . Caracas.
• Jiménez Romero, J. " MATEMÁTICA 1er. AÑO. CICLO
  DIVERSIFICADO.". Ediciones ENEVA. Caracas. Página
  261.

Autor:

carlos veliz