Indice
1.
Defina número complejo.
2. ¿Cómo determinar la forma
polar de Z?
3. Parte
Práctica
4. Bibliografía
A toda expresión en la forma a + bi donde a y b
son números reales e i es la unidad imaginaria() recibe el nombre de
Número Complejo. Se designan a los números
complejos con la letra Z ; así
Z = a + bi (a Î
 )
Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de
esta forma :
Re(z) = a
Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE
IMAGINARIA.
Im(z) = b
ż cuando un
número complejo se dice imaginario puro?
Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi
es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un
Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.
Ejemplo :
x2 + 16 = 0
x2 = – 16
x= ±
x= ± 4i
x1= 4i X2 = – 4i
Sean Z1 y Z2 números
complejos. defina:
La adición de números complejos es una
operación binaria tal, que para todo par de complejos
(x1 , x2) , (x3 ,
x4) le hace corresponder el complejo que tiene
como primera componente la suma de las primeras y como
segunda componente la suma de las segundas.
O sea: (x1, x2) + (x3 ,
x4) = (x1 + x3 ,
x2 + x4).* En Forma Binómica :
Es decir, se suman algebraicamente entre sí por
separado sus partes reales y sus partes imaginarias.
Ejemplo :
* Dados Z1 = a1 + b1i y
Z2 = a2 + b2i
Z1 + Z2 = ( a1 +
a2 ) + (b1 + b2)i- Z1 + Z2 (adición de
complejos)Sean Z1, Z2 dos números
complejos, definimos la operación sustracción
así :
Z1 – Z2 = Z1 + (-
Z2)
Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo
que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.
Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b )
Entonces :
Z1 – Z2 = Z1 + ( –
Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x – a, y –
b).* En forma Binómica :
Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales
entre sí y las partes imaginarias entre sí.
Entonces :
Z1 – Z2 =(x + yi) – (a + bi) =(x – a) –
(y – b)i. - Z1 – Z2 (sustracción de
complejos):Llamaremos conjugados a dos complejos Z y
que tengan sus afijos
simétricos con respecto al eje real .
Si se cumple, por tanto, que
Z = a + bi y= a
– bidiremos que
es el conjugado del complejo Z. En la
práctica, para determinar el conjugado de un complejo
basta cambiar en éste el signo de la parte
imaginaria.* En Forma de pares ordenados:
Si Z = (a , b) Entonces := (a , -b)
-
(conjugado de un complejo):
Se multiplican según la regla ordinaria del
producto
de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 .
Al final se reducen términos semejantes.
La multiplicación puede hacerse más
directamente observando que :
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
ac +
(ad + bc)i + bd(-1)
= (ac – bd) + (ad + bc)i* En forma de pares ordenados :
Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y)
dos números complejos, entonces, por
definición : Z1 × Z2 = (a ,
b) ×
(x , y) = (a× x – b× y , a× y+b× x). - Z1 × Z2 (
multiplicación de complejos ) : - (Z1)-1 ( Inverso De Un Complejo
)Llamaremos el inverso de Z1 =
a1 + b1 es :=
, tal que
Z×
Z1 =(1 , 0).
Sea el conjunto (a,b) y el elemento simétrico :
Z1 = (x , y).
Por definición : (a , b) × (x , y) = (1 , 0).
Es decir ; ( ax – by, ay + by) = (1 , 0)y también
Al resolver el sistema
obtenemos:Para dividir expresiones complejas, se expresa el
cociente en forma de fracción y se racionaliza el
denominador de esta fracción, multiplicando ambos
términos de la fracción por la conjugada del
denominador y se sustituye i2 por -1. (división de complejos):
- ½
Z1½ ( módulo de un
complejo ):
Se llama módulo de un complejo a la longitud del
vector que lo representa, lo designaremos por ½ Z½ o simplemente por
r. Su valor se
obtiene por la conocida relación :
½
Z1½ = r =
que es la relación que nos permite determinar la
longitud de un vector.
Sea Z un número complejo. explique como determinar
Sea Z= a +bi.
La raíz cuadrada del complejo a + bi será otro
complejo que llamaremos x + yi :
= x + yi
= x +
yi (])
Elevando ambos miembros al cuadrado y reduciendo
términos :
a + bi = x2 + 2xyi + y2i2
a
+ bi = x2 + 2xyi + y2 (-1)
a + bi = (x2 – y2) + 2xyi
Igualando partes reales y partes imaginarias se forma el
siguiente sistema :
Despejando "y" en (]]]) :
Sustituyendo este valor en(]]) :
Expresando en términos de X2 :
Tomamos únicamente el valor positivo, pues
es mayor que "a"
y x2 no puede ser negativo. Además = S.
Por lo tanto :
Sustituyendo el valor de "x" en la ecuación
(]) se obtiene lo siguiente :
- La ecuación (]) queda,
así :
En la ecuación (]]]) podemos observar que
"b" tiene el mismo signo que el producto "xy". Por lo tanto, si
"b" es positivo "x" e "y" serán de igual signo y tendremos
que :
Para b > 0 Para b < 0
Como los signos que deben tomarse para X e Y deben
satisfacer la ecuación 2XY= b, hay que hacer las
siguientes consideraciones :
Para b > 0 : Las raíces deben ser ; ambas del
mismo signo : positivas o negativas( + ,+), ( – , – )
Para b < 0 : Las raíces, se toman con signos
opuestos :(+,-),(-, +)
Sea Z un número complejo. explique como graficar z y como
determinar su forma polar.
Sea el complejo Z= a + bi = (a,b).
Representación Gráfica de Z :
Se conviene en representar los números complejos mediante
puntos en el plano. La abscisa del punto es igual a la parte real
"a" del número que representa. La ordenada es igual a la
parte imaginaria "b". De esta forma, la representación del
complejo Z= a + bi es el punto M del plano adjunto.
Este punto M recibe el nombre de AFIJO del complejo Z.
Cuando Z= a (en forma binómica) ó Z= (a,0) (en
forma de par ordenado) tiene su afijo sobre el eje horizontal.
Por esta razón, en la representación de los
números complejos, el eje de las abscisas recibe el nombre
de EJE REAL.
En cambio los
complejos en la forma Z=bi ó Z=(0,b) tienen su afijo en el
eje vertical. Por esta razón el eje de las ordenadas
recibe el nombre de EJE IMAGINARIO.
Con estas dos afirmaciones se puede establecer una
biyección entre el conjunto de los números
complejos y los puntos del plano : "a todo número
complejo corresponde un punto determinado del plano y todo punto
del plano es representación de un número complejo
determinado".
2. ¿Cómo
determinar la forma polar de Z?
Un Complejo Z= a + bi tiene su representación
geométrica como un punto en el plano y también
puede ser expresado en un sistema de coordenadas polares de la
siguiente forma :
b (a,b)
ó
b Z= a + bi
Para ubicar el punto (a,b) ó Z en el plano, las
coordenadas a y b (rectangulares) son sustituidas por las
coordenadas r y j
(polares). Donde j es el ángulo medido desde el eje real
positivo y r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta
el punto (a , b) ó Z.
Los números complejos pueden representarse, por lo tanto,
con un vector que sale del origen del sistema de coordenadas
rectangulares y llega al punto Z. Las componentes del vector son
las mismas que las coordenadas del punto.
a= Re(z) eje X b= Im(z) eje Y
Las coordenadas polares se representan en un
círculo, considerando que 0 es el origen y el eje
X+ es el eje polar.
Del triángulo rectángulo formado, se
obtiene :
a = r cos j y
b=r senj
Z= a + bi = r cos j
+ i sen j
= r (cosj
+ isenj )
= r cisj =
rej
i
Donde : es el módulo del número Complejo.
es el
ARGUMENTO del número complejo.
Z=a + bi = r cis j
En forma desarrollada :
Z= a + bi = r (cosj
+ isenj
)
Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) y Z2=
r2 (Cosq
2 + iSenq 2)
Definir :
- Z1 × Z2 :
Z1 = r1 (Cosq 1 +
iSenq
1) = r1 Cisq 1 y
Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2) =
r2 Cisq
2
Se efectúa el producto de Z1
×
Z2
Z1 × Z2 =
r1 Cisq
1 × r2 Cisq 2
En Forma
desarrollada : = r1(Cosq 1 +
iSenq
1)× r2(Cosq 2 +
iSenq
2)
Ordenando : = r1×
r2(Cosq 1 + iSenq
1)× (Cosq 2 + iSenq 2)Efectuando el producto de los factores que
están entre paréntesis :
Ordenando y sustituyendo i2 por
(-1) :Sacando factor común "i" en los
últimos términos :Por lo tanto, sustituyendo :
y, en la forma abreviada :
En resumen :
En palabras :
"El producto de dos números complejos en forma
trigonométrica tiene como módulo el producto de
los módulos y como argumento, la suma de los
argumentos."
Sean Z1 = r1
(Cosq
1 + iSenq 1) = r1 Cis
q 1 y
Z2 = r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2
Cis q
2
Se efectúa el cociente
Z1
Z2
Descomponemos así el segundo
miembro :
Expresión equivalente a la que sigue :
Aplicando la fórmula de Moivre :
Y por último, multiplicando :
En definitiva :
En palabras : " El cociente de dos números
complejos en forma trigonométrica tiene como módulo
el cociente de los módulos y como argumento, la diferencia
de los argumentos."
C) Z1n (formula de
moivre)
Z1n = (r1 Cis
q
1)n = (r Cis
q )(r Cis
q )(r Cis
q
)………………… (r Cis q )
=
Z1n = (r1
Cis q
1)n = r n
Cis(q
1 × n)
O sea :
El módulo de la potencia n-sima
de un complejo z es la potencia n-sima del módulo y el
argumento es el de Z multiplicado por n.
LA FÓRMULA DE MOIVRE expresa: Para elevar un número
complejo en forma trigonométrica a un exponente entero
cualquiera n, se eleva el módulo a la potencia n y se
multiplica el argumento por
n.
3. Parte Práctica
- Efectuar :
- resolver : Z2 = 21 – 6i
- Sean Z1 = -2 + 3i ;
Z2 = 2 + 2i ; Z3 = 4i .
calcular
- calcular :
;
;
- Expresar Z1 , Z2 y
Z3 en forma polar y calcular :
;
- resolver en
:
( Z – 1 – i) ( Z – 1 + i) ( Z + 1 + i) ( Z + 1 – i ) =
5
- Mendiola, Esteban. " MATEMÁTICAS 4to. Año." . Editorial
Biosfera
S.R.L. Página 287. Capítulo VII - Guía de Números complejos para Cálculo
10. Universidad
de los Andes. - Baldor, A. "ÁLGEBRA
".Distribuidora Cultural Venezolana S.A. Página.
435. - "MATEMÁTICAS 1er. AÑO". Editorial
Natura, S.R.L. Sociedad De
Ciencias
Naturales, La Salle. Página 180. Capítulo
IV. - Jiménez, Jofre y Salazar, Jorge. "
MATEMÁTICAS PRIMER AÑO, CICLO DIVERSIFICADO.".
Ediciones CO-BO . Caracas. - Jiménez Romero, J. " MATEMÁTICA 1er. AÑO. CICLO
DIVERSIFICADO.". Ediciones ENEVA. Caracas. Página
261.
Autor:
carlos veliz