; … ….
SERIES DE TIEMPO CON EXCEL
Matemáticamente, una serie de tiempo se define por los valores ??1 , ??2 , ??3, …. de una variable Y (ventas
mensuales, producción total, etc.) en tiempos ??1 , ??2 , ??3, …. Si se reemplaza a X por la variable tiempo,
estas series se definen como distribuciones de pares ordenados (X,Y) en el plano cartesiano, siendo Y
una función de X; esto se denota por:
?? = ??(??) ? ?? = ??(??)
El principal objetivo de las series de tiempo es hacer proyecciones o pronósticos sobre una actividad
futura, suponiendo estables las condiciones y variaciones registradas hasta la fecha, lo cual permite
planear y tomar decisiones a corto o largo plazo.
MÉTODOS DE SUAVIZAMIENTO Y PRONÓSTICO
Estos métodos eliminan las fluctuaciones aleatorias de la serie de tiempo, proporcionando datos menos
distorsionados del comportamiento real de misma.
a) MÉTODO DE LOS PROMEDIOS MÓVILES
El movimiento medio de orden N de una serie de valores ??1 , ??2 , ??3 , ???? se define por la sucesión de
valores correspondientes a las medias aritméticas:
??1 + ??2 + ? ???? ??2 + ??3 + ? ????+1 ??3 + ??4 + ? ????+2
; ;
?? ?? ??
Nota:
Utilizando adecuadamente estos movimientos medios se eliminan los movimientos o variaciones
estacionales, cíclicas e irregulares, quedando sólo el movimiento de tendencia. Este método presenta el
inconveniente de que se pierden datos iniciales y finales de la serie original. También se puede observar
que a medida que N crece, la cantidad de nuevos datos se reduce.
Si se emplean medias aritméticas ponderadas en el método de los promedios móviles, el método toma
de nombre Promedios Móviles Ponderados de Orden N.
Ejemplo ilustrativo: Con los siguientes datos acerca de la ventas en miles de dólares de la Empresa D
& M durante los últimos 3 años tomados en períodos de trimestres:
Trimestre Ventas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
16
20
34
23
19
20
35
11
19
24
36
1) Suavizar los datos empleando el método de los promedios móviles de orden 3 (longitud de 3
períodos).
2) Pronosticar las ventas para el trimestre número 13.
3) Suponga que para el Gerente de Ventas la última venta realizada es el doble de importante que la
penúltima, y la antepenúltima venta tiene la mitad de importancia que la penúltima. Realizar el
pronóstico de ventas para el trimestre número 13 empleando el método de los promedios móviles
ponderados de orden 3.
4) Elaborar un gráfico en el que consten las ventas y los promedios móviles (ventas suavizadas).
Solución:
1) El cálculo de los promedios móviles de orden 3 se presentan en la siguiente tabla:
Trimestre Ventas Pronóstico (Promedios móviles)
1
12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
16
20
34
23
19
20
35
11
19
24
36
(12+16+20)/3 = 16,00
(16+20+34)/3 = 23,33
(20+34+23)/3 = 25,67
(34+23+19)/3 = 25,33
(23+19+20)/3 = 20,67
(19+20+35)/3 = 24,67
(20+35+11)/3 = 22,00
(35+11+19)/3 = 21,67
(11+19+24)/3 = 18,00
(19+24+36)/3 = 26,33
2) El último valor del promedio móvil, que en este ejemplo es 26,33, representa el pronóstico de las
ventas para el trimestre número 13, y teóricamente para todo trimestre futuro.
3) Para resolver lo planteado se toma en cuenta las 3 últimas ventas con sus respectivos pesos o
ponderaciones. Estos datos se presentan en la siguiente tabla:
Trimestre Ventas Pesos (w)
10
11
12
19
24
36
0,5
1
2
Remplazando valores en la fórmula de la media aritmética ponderada se obtiene:
????????ó?????????? = ??¯ =
??1 · ??1 + ??2 · ??2 + ??3 · ??3 + ? ???? · ???? ? ?? · ??
=
??1 + ??2 + ??3 + ? ???? ? ??
????????ó?????????? =
0,5 · 19 + 1 · 24 + 2 · 36 105,5
=
0,5 + 1 + 2 3,5
= 30,14
El valor 30,14 es el pronóstico de ventas para el trimestre número 13.
En Excel:
6
4) El gráfico en el que constan las ventas y los promedios móviles se muestra en la siguiente figura
elaborado empleando Graph:
b) SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL
Este método contiene un mecanismo de autocorrección que ajusta los pronósticos en dirección opuesta
a los errores pasados. Es un caso particular de promedios móviles ponderados de los valores actuales y
anteriores en el cual las ponderaciones disminuyen exponencialmente. Se emplea tanto para suavizar
como para realizar pronósticos. Se emplea la siguiente fórmula:
????+1 = ?? · ???? + (1 – ??) · ????
Donde:
????+1 = pronóstico para cualquier período futuro.
a = constante de suavización, a la cual se le da un valor entre 0 y 1.
???? = valor real para el período de tiempo.
???? = pronóstico hecho previamente para el período de tiempo
Cuando exista menos dispersión en los datos reales respecto a los datos pronosticados entonces será
más confiable el método empleado. Para saber cuan preciso es el método empleado en la realización del
pronóstico se utiliza la siguiente fórmula del cuadrado medio del error (CME) como indicador de
precisión del pronóstico:
?????? =
?(???? – ???? )2
??
Siendo n el número de errores
Ejemplo ilustrativo: Con los siguientes datos acerca de la ventas en miles de dólares de la Empresa D
& M durante los últimos 12 meses:
Meses
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Ventas
7
6
12
7
10
6
4
9
7
8
6
1) Suavizar los datos empleando el método de suavización exponencial con a = 0,5. Pronosticar las
ventas para el mes de septiembre. Calcular el cuadrado medio del error. Elaborar un gráfico en el que
consten las ventas y los pronósticos.
2) Suavizar los datos empleando el método de los promedios móviles de orden 3. Pronosticar las ventas
para mes de septiembre. Calcular el cuadrado medio del error. Elaborar un gráfico en el que consten las
ventas y los promedios móviles.
3) ¿Qué método es el más preciso?
Solución: 1) En Excel:
2) Suavizando los datos empleando el método de los promedios móviles de orden 3 elaborado en Excel
se muestra en la siguiente figura:
Observando el gráfico anterior se tiene que el último pronóstico calculado es de 7, por lo que el
pronóstico para septiembre es de 7.
Observando el gráfico anterior se tiene que el cuadrado medio del error es de 4,522.
La gráfica de las ventas y los pronósticos con el método de los promedios móviles elaborada en Graph
se muestra en la siguiente figura:
3) Como CME en el método de suavización exponencial es de 7,09 y con el método de los promedios
móviles es de 4,52, se concluye que el método de los promedios móviles es el más preciso para este
ejemplo ilustrativo.
c) ANÁLISIS DE TENDENCIA
Es necesario describir la tendencia ascendente o descendente a largo plazo de una serie cronológica por
medio de alguna línea, y la más adecuada será la que mejor represente los datos y sea útil para
desarrollar pronósticos. Se utilizan con más frecuencia los siguientes métodos:
1) MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
Ejemplo ilustrativo: Con los siguientes datos acerca de las ventas en millones de dólares de la
Empresa M & M:
Año(X)
Ventas (Y)
1995
3,4
1996
3,1
1997
3,9
1998
3,3
1999
3,2
2000
4,3
2001
3,9
2002
3,5
2003
3,6
2004
3,7
2005
4
2006
3,6
2007
4,1
2008
4,7
2009
4,2
2010
4,5
1) Hallar la ecuación de tendencia por el método de los mínimos cuadrados.
2) Pronosticar la tendencia de exportación para el 2011.
3) Elaborar la gráfica para los datos y la recta de tendencia.
Solución:
1) Para hallar la ecuación de tendencia por el método de los mínimos cuadrados se llena la siguiente
tabla, codificando la numeración de los años 1995 como 1, 1996 como 2, y así consecutivamente para
facilitar los cálculos.
Año (??)
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Total
??
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
136
??
3,4
3,1
3,9
3,3
3,2
4,3
3,9
3,5
3,6
3,7
4
3,6
4,1
4,7
4,2
4,5
61
????
3,40
6,20
11,70
13,20
16,00
25,80
27,30
28,00
32,40
37,00
44,00
43,20
53,30
65,80
63,00
72,00
542,3
??2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
1496
??2
11,56
9,61
15,21
10,89
10,24
18,49
15,21
12,25
12,96
13,69
16,00
12,96
16,81
22,09
17,64
20,25
235,86
= = = 0,07
{ 1
Año(X)
Remplazando valores en las siguientes fórmulas se obtiene los valores de a0 y a1:
??0 =
??1 =
? ?? · ? ?? 2 – ? ?? · ? ???? 61 · 1496 – 136 · 542,3 17503,2
= =
?? ? ?? 2 – (? ??)2 16 · 1496 – (136)2 5440
?? ? ???? – ? ?? · ? ?? 16 · 542,3 – 136 · 61 380,8
?? ? ?? 2 – (? ??)2 16 · 1496 – (136)2 5440
= 3,2175 = 3,22
Interpretación:
– El valor ??1 = 0,07 al ser positiva indica que existe una tendencia ascendente de las exportaciones
aumentando a un cambio o razón promedio de 0,07 millones de dólares por cada año.
– El valor de ??0 = 3,22 indica el punto en donde la recta interseca al eje Y cuando X = 0, es decir indica
las exportaciones estimadas para el año 1996 igual a 3,22.
Remplazado los valores anteriores en la recta de tendencia se obtiene:
?? = ??0 + ??1 ?? ? ?? = 3,22 + 0,07??
2) Para pronosticar la tendencia de exportación para el 2011 se reemplaza X = 17 en la recta de
tendencia, obteniendo el siguiente resultado:
?? = 3,22 + 0,07?? ? ?? = 3,22 + 0,07 · 17 = 4,41
3) La gráfica de los datos y la recta de tendencia elaborada en Excel se muestran en la siguiente figura:
2) MÉTODO DE LOS SEMIPROMEDIOS
Este método se aplica con el objeto de simplificar los cálculos y consiste en:
a) Agrupar los datos en dos grupos iguales
b) Obtener el valor central (mediana) de los tiempos y la media aritmética de los datos de cada grupo,
consiguiéndose así dos puntos de la recta de tendencia (??1 , ??1 ) y (??2 , ??2 ).
c) Estos valores se reemplazan en el siguiente sistema:
?? = ??0 + ??1 ??1
??2 = ??0 + ??1 ??2
d) Resolviendo el sistema se encuentran los valores de ??0 y ??1 , los cuales se reemplazan en la ecuación
de la recta de tendencia, la cual es:
?? = ??0 + ??1 ??
Con esta recta de tendencia se puede realizar pronósticos, los cuales son menos exactos que los
obtenidos con el método de los mínimos cuadrados, sin embargo, su diferencia es mínima.
Ejemplo ilustrativo : Con los siguientes datos sobre las ventas en millones de dólares de la Empresa
D&M
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Ventas(Y) 1,5
1,8
2
1,5
2,2
2
3
2,8
2,4
2,9
3
1) Hallar la ecuación de tendencia por el método de los semipromedios.
Y
{ 1
?{
=
=
|
|
=
=
|
|
2) Pronosticar la tendencia de ventas para el 2011.
3) Elaborar la gráfica para los datos y la recta de tendencia.
Solución:
1) Se codifica la numeración de los años 2000 como 1, 2001 como 2, y así consecutivamente para
facilitar los cálculos. Se agrupa en dos grupos iguales.
Año X
2000 1
2001 2
1,5
1,8
Valor central X Semipromedio Y
2002 3
2003 4
2004 5
2005 6
2006 7
2007 8
2008 9
2009 10
2010 11
2
1,5
2,2
2
3
2,8
2,4
2,9
3
3
9
1,8
2,82
El año 2005 se dejó por fuera para tener grupos con el mismo número de años. El valor central de 3
corresponde a la mediana del primer grupo 1, 2, 3, 4 y 5. El valor central de 9 corresponde a la mediana
del segundo grupo 7, 8, 9, 10 y 11. El semipromedio 1,8 corresponden a la media aritmética del primer
grupo. El semipromedio 2,82 corresponden a la media aritmética del segundo grupo. De esta manera se
obtienen dos puntos (3, 1.8) y (9, 2.82) de la recta de tendencia.
Remplazando los puntos en el siguiente sistema se obtiene:
?? = ??0 + ??1 ??1
??2 = ??0 + ??1 ??2
1,8 = ??0 + 3??1
2,82 = ??0 + 9??1
Resolviendo el sistema empleando la regla de Cramer se obtiene:
a0 =
1,8 3
?a0 |2,82 9| 7,74
? 1 3 6
1 9
= 1,29 ; ??1 =
1 1,8
?a1 |1 2,82| 1,02
? 1 3 6
1 9
= 0,17
Como a1 es positiva, la recta tiene una tendencia ascendente (pendiente positiva).
Remplazando los valores calculados se tiene la recta de tendencia, la cual es:
?? = ??0 + ??1 ?? ? ?? = 1,29 + 0,17??
2) Para pronosticar la tendencia de exportación para el 2011 se reemplaza X = 12 en la recta de
tendencia, obteniendo el siguiente resultado:
?? = 1,29 + 0,17?? ? ?? = 1,29 + 0,17 · 12 ? ?? = 3,33
Interpretación: Existe una tendencia ascendente a un cambio promedio de 0,17 millones de dólares
por cada año, por lo que el Gerente de ventas de la empresa debe seguir aplicando las políticas
necesarias para mantener la tendencia ascendente y mejorar la tasa de crecimiento.
Los cálculos realizados en Excel se muestran en la siguiente figura:
3) La gráfica de los datos y la recta de tendencia elaborada en Graph se muestran en la siguiente figura:
d) ANÁLISIS DE MOVIMIENTOS ESTACIONALES
Para analizar el movimiento estacional debemos estimar cómo varían los datos de la serie cronológica
en el período de tiempo. Un conjunto de números que muestra los valores relativos de una variable
durante los períodos de tiempo se llama un índice estacional para la variable. El índice estacional
medio del año ha de ser 100%; esto es, la suma de los números índice de los 12 meses suman 1200%, o
de los cuatro trimestres suman el 400%, en caso contrario ha se corregirse multiplicado por el factor de
ajuste, el mismo que es:
120
???????????? ???? ???????????? ?????????????? =
???????? ???? ???????????? ??????????????????
400
???????????? ???? ???????????? ???????????????????? =
???????? ???? ???????????? ????????????????????????
1) CÁLCULO DEL ÍNDICE ESTACIONAL POR EL MÉTODO DEL PORCENTAJE MEDIO
Este método consiste en calcular los índices estacionales como porcentajes de los períodos de tiempo
(mensual o trimestral). Para lo cual se calcula de cada año la media mensual o trimestral, según sea el
caso, luego se divide el dato de cada mes o trimestre por la media mensual o trimestral del
correspondiente año y se multiplica por 100, y luego se calcular la media de cada mes o trimestre,
obteniéndose el índice estacional.
2) DESESTACIONALIZACIÓN DE LOS DATOS O AJUSTE DE LOS DATOS A LA
VARIACIÓN ESTACIONAL
Una vez obtenidos los índices estacionales es posible eliminar el movimiento estacional de los datos,
para lo cual se divide todos los datos originales por el índice estacional del período de tiempo (mes o
trimestre) correspondiente. Los valores desestacionalizados reflejan cómo sería la variable si se
corrigiera la influencia estacional.
Ejemplo ilustrativo: Con los datos de la siguiente tabla que muestra las exportaciones en millones de
dólares de la Empresa D & M.
Trimestre I
Año
II III IV
2008
2009
2010
20 32 22 40
25 35 30 45
28 38 36 44
Calcular el índice estacional y Desestacionalizar los datos
Solución:Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
e) ANÁLISIS DE MOVIMIENTOS CÍCLICOS E IRREGULARES
Los movimientos cíclicos son de tipo periódico y presentan más de un año de duración. Comúnmente,
tales movimientos o variaciones no se pueden apartar de la naturaleza irregular, por lo que se analizarán
juntas. Recordemos que Y = T·C·E·I de donde C·I = Y/T·E. Por lo que los movimientos cíclicos e
irregulares se obtienen dividiendo los datos originales entre el valor de tendencia estimado, y este
cociente multiplicando por 100% de la siguiente manera:
???? =
??
????????.
· 100%
Donde:
Y = Variable Y; ????????. = Valor de tendencia estimado; CI = Movimientos cíclicos e irregulares
El cociente se multiplica por 100 a fin de que la media cíclica sea 100. Un valor cíclico relativo de 100
indicará la ausencia de toda influencia cíclica en el valor de la serie de tiempo anual. Para facilitar la
interpretación de relativos ciclos suele elaborarse una gráfica de ciclos, en el que se describen los ciclos
relativos según el año correspondiente. Las cumbres y valles asociados con el componente cíclico de
las series de tiempo pueden resultar más evidentes por medio de la elaboración de una gráfica de este
tipo.
Ejemplo ilustrativo
Determinar el componente cíclico de cada uno de los valores de la serie cronológica usando la ecuación
de tendencia con los siguientes datos acerca de las ventas en millones de dólares de la Empresa M &
M:
Año (X)
Venta(Y)
1995
3,4
1996
3,1
1997
3,9
1998
3,3
1999
3,2
2000
4,3
2001
3,9
2002
3,5
2003
3,6
2004
3,7
2005
4
2006
3,6
2007
4,1
2008
4,7
2009
4,2
2010
4,5
Solución:
1) La ecuación de tendencia lineal obtenida empleando el método de los mínimos cuadrados es:
Y = 3,22 + 0,07X
Con esta ecuación se calcula los valores estimados de Y reemplazando los valores de X en la recta de
tendencia. Luego se divide los datos originales Y entre el valor de tendencia estimado, y este cociente
se multiplica por 100%. Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Fuente:
Suárez, Mario. & Tapia, Fausto. (2014). Interaprendizaje de Estadística Básica. Ibarra, Ecuador:
Universidad Técnica de Norte
Suárez, Mario. (2014). Probabilidades y Estadística empleando las TIC. Ibarra, Ecuador: Imprenta
GRAFICOLOR
Libros y artículos del Mgs. Mario Suárez sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría, Lógica Matemática,
Probabilidades, Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, y Planificaciones
Didácticas se encuentran publicados en:
http://es.scribd.com/mariosuarezibujes
http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/760
http://www.docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591