1.0.La Energía Unidimotriz Es la energía producida
por la fuerza de las olas, y consiste en el aprovechamiento de la
energía cinética y el potencial del oleaje Olas: Se
forman por la fricción del viento y el área
superficial de Agua del mar. Esto da paso a la transferencia de
energía eólica a energía undimotriz
a) b) c) 1.1.Obtención de energía mediante el
principio de Arquimidez Es lo ultimo en tecnología, para
la obtención de energía undimotriz. Consiste en una
Boya cilíndrica que esta sujeto al lecho marino mediante
un pedestal. Algunas características: Se sitúa
entre 40 y 100 (m) bajo el nivel del mar, por lo que no esta
expuesta a condiciones meteorológicas adversas. Su
único elemento móvil es una carcasa superior llena
de aire que actúa como flotador. Puede generar hasta 1,2
(MW), y se dirige a la superficie por un cable submarino.
1.1.2.Funcionamiento Al elevarse la ola en forma de columna de
agua, esta aumenta su Energía Potencial, y por
consiguiente la presión del agua. La otra forma de
obtención de energía es cuando la ola desciende el
efecto es inverso, debido a esta presión el cilindro
flotador desciende, cuando la ola baja el aire comprimido que se
expande y vuelve a empujar el cilindro hacia arriba.
2.0.Modelado de Oleajes 2.1. Ecuación de continuidad Un
fluido es un elemento que se deforma continuamente bajo la
acción de fuerzas que causan deslizamiento relativo de sus
partículas contiguas en una dirección paralela al
plano de contacto. 2.1.1. Aspectos relevantes en la
modelación de la ecuación de continuidad.
Presión: Es la intensidad de la fuerza distribuida en una
sección o superficie, esta se mide en términos de
fuerza por unidad de área. Densidad: Se define como la
cantidad de masa por una unidad de volumen. Velocidad: Se define
como la razón de cambio de una trayectoria recorrida por
una partícula, en una cantidad de tiempo
infinitesimal.
La masa en cualquier región ?? circundad por ??, se define
como: ?? = ?????? ?? Como ?? ???? mide el volumen del flujo que
recorre un elemento de superficie en una unidad de tiempo y
???????? mide su masa. ?? = ???????? ?? La media de la rapidez a
la cual el flujo de masa fluirá de ?? y recorrerá
una sección ??. Por otra parte, el decremento por unidad
de tiempo en la unidad de masa del fluido que esta dentro de la
región se puede expresar ???? ???? =- ?? ???? ??
??????
?? y ??, son respectivamente la densidad y la velocidad del
fluido en movimiento, entonces la ecuación de continuidad
de la dinámica de los fluidos es: ?? ???? + ???? ????
=0
2 ???? 2 ?? ?? 2 2.2. Ecuación de Movimiento La
ecuación de movimiento de un fluido según Euler:
???? 1 1 + ?? ?? – ?? ?? ?? ?? ?? = ?? – ??p Donde ?? es la
fuerza externa por unidad de masa por unidad de masa que
actúa sobre el fluido. La forma general de Bernoulli
expresa que para un líquido incompresible ideal que se
mueve bajo la acción de una fuerza conservativa ?? y cuyo
flujo es uniforme, a lo largo de una línea de flujo. ?? +
?? 1 + ?? 2 = ?? Donde ?? es una constante y ?? = -????
Demostración de la ecuación de movimiento
Segùn la segunda Ley de Newton: ?? = ???? En donde las
fuerzas se componen en, la suma de las fuerzas superficiales y
volumétricas en un elemento de fluido infinitesimal. ?? =
???????? + ???????? (1) Las fuerzas volumétricas, se
definen como una fuerza distribuida en todo el elemento de fluido
infinitesimal. ???????? = ???? = ?? ??
Las fuerzas superficiales, se definen como una fuerza tangencial
que actúa en todo el elemento de fluido infinitesimal.
???????? = ?? ?? = -?? · ?? En donde: ?? = ?? ???? – ? De
esta ecuación se desglosa que la presión es una
magnitud escalar multiplicada por la matriz identidad, menos el
tensor deviatorio. ?? ?? = 0 0 0 ?? 0 0 ????? 0 – ????? ?? ?????
????? ????? ????? ????? ????? ????? Entonces de (1): ???? ????
???? = ???????? + ???????? ?? ???? ???? = ???? – ?? ?? ???? – ?
(2)
= ?? ?? Definiendo la razón de velocidad con respecto al
tiempo, multiplicada por la densidad, se define como como
derivada material temporal, esta se expresa como: ?? ???? ????
???? + ?? ???? = ???? ???? + ???? ?? + ???? ?? ?? ???? = ?? ??
???? + ?? · ?? (3) Reemplazando (3) en (2): De esto: ?? ??
???? + ?? · ?? ?? = ???? – ?? ?? ???? – ? ???? ???? ????
???? + ?? ?? · ?? ?? = ???? – ?? ?? ???? – ? + ?? ??
· ?? ?? = ???? – ???? ???? + ??? 4)
Definiendo la Ley de Newton para la viscosidad ???, como: ??? =
???? 2 ?? + 1 3 ?? + ???? ?? ???? Donde: ??:Coefiente de
viscosidad de corte. ???? : Coefiente de viscosidad
volumétrica. Como se describe que es un fluido ideal,
entonces: ?? = ???? = 0 Por lo tanto: ??? = 0 Reescribiendo 4) ??
???? ???? + ?? ?? · ?? ?? = ???? – ???? ???? 4)
?? ?? ???? ???? 1 ?? = ?? ?? Del termino ???? ???? , se asume
que: ???? ???? = ???? (5) Introduciendo (5) en (4): ?? ???? ????
+ ?? ?? · ?? ?? = ???? – ???? Dividiendo por ??: 1 1 + ??
· ?? ?? = ???? – ???? Definiendo que ??, es una fuerza
másica, que se expresa como: ?? ?? Por lo cual: ???? ????
1 + ?? · ?? ?? = ?? – ???? (6) Para desglosar el termino
de la ecuación ?? · ?? ??, se utiliza el doble
producto vectorial
2 2 ???? 2 Este se expresa para vectores ??, ??, ??, el doble
producto vectorial como: ?? ?? ?? ?? ?? = ?? ?? · ?? – ??
?? · ?? Reemplazando ?? y ??: ?? ?? ???? ?? = ?? ??
· ?? – ?? ?? · ?? Desarrollando: 1 ?? ?? ???? ?? =
?? ?? – ?? ?? · ?? ?? ?? · ?? = 1 2 ?? ?? 2 – ?? ??
???? ?? (7) Por lo tanto, reemplazando (7) en (6): ? ???? 1 + ??
?? 2 – ?? ?? ???? ?? = ?? – 1 ?? ????
2.3. Flujo Irrotacional- Potencial de velocidad La vorticidad o
vector vórtice es: O = ?? ?? ?? El flujo irrotacional o
potencial, es aquel para el cual O = 0, en todas las partes. Un
campo vectorial que tenga rotación cero, se puede expresar
como gradiente de alguna función escalar. Si aplicamos el
resultado al vector velocidad ?? en un flujo irrotacional, esta
función se llama potencial de velocidad, y se expresa
como: ?? = ??F
2.4.Condición de frontera Este movimiento tiene como un
potencial de velocidad F ??, ??, ?? para un campo de velocidad ??
?? ??, ?? ??; ?? ??, ?? ?? . Se describe el dominio que ocupa el
fluido en el espacio como la región: -h < ?? < ??
??, ??, ?? En ?? = -h suponemos que se encuentra una superficie
solida (el fondo del océano), y se impone que no hay flujo
de fluido. Esto quiere decir: ???? = F?? = 0 ?? = -h
?? 2 2.5. Ecuación diferencial del oleaje En ?? = ?? ??,
??, ?? imponemos la condición de la ecuación de
movimiento con ???, que es diferencia entre la presión
externa y la hidrostática, dada por ??? = ??0 – ?????? ??,
??, ?? : F?? + 1 2 ???? ?? + ???? ??, ??, ?? + ?? = ??0 ?? ????
?? = ??(??, ??, ??) Donde ??, es la curvatura media de la
superficie y ??es un parámetro físico denominado
coeficiente de tensión superficial. La condición
cinemática se puede expresar como: ???? + ???? , ???? , -1
???? = 0
El potencial de la velocidad en la superficie sigue la forma que
toma la ola sobre las coordenadas en que se desplazan. En el caso
del eje ?? toma una forma hiperbólica. La cual hace
constante su valor y representa el cambio del nivel del agua con
respecto al tiempo. ?? ??, ??, ?? = 1 ???? ?? ???? ???? ?? = 0
Otra suposición importante es considerar que el movimiento
ondulatorio puede idealizarse. Si un punto de la superficie libre
va subiendo y bajando con una aceleración local igual.
Esta aceleración constante ?? está dada por la
fuerza del campo gravitatorio, la cual es constante si las
demás no cambian. Esto se expresan. ???? ???? = ?? =
-????
?? ?? ???? ???? Analizando el parámetro ?? (Curvatura
media). Se define como curvatura media: = -???? +
?????????????????? ?? = 1 2 ?? ??=1 ?? 1+ ???? ???? ????
Según la ecuación de Laplace y Young: ??? = ?? ??
??=1 ?? 1+ ???? ???? ???? Donde ??? = ??0 – ??h es la diferencia
de presión entre las superficies, ?? es la tensión
superficial.
2 ?? 2.6.Solución de la ecuación diferencial de
oleaje. La ecuación que rige el movimiento de las olas,
viene dada por la ecuación diferencial del oleaje. 1 ??
F?? + ???? 2 + ???? ??, ??, ?? + ?? = ??0 ?? La onda viajera con
velocidad de propagación ?? = ???? , ???? será una
solución de ??, ?? tal que: ?? ?? + ???? ??, ?? + ???? ??,
?? = ?? ??, ??, 0 ?? ?? ?? + ???? ??, ?? + ???? ??, ?? = ?? ??,
??, ??, 0 En el caso bidimensional (sin dependencia en
coordenadas ?? y ?? con ???? = 0) y en ausencia de tensión
superficial (con ?? = 0 ) la demostración de existencia de
este tipo de onda fue abordada por Stokes.
1 3 2 4 + ?? 2?? – 1 ??-1 ?? 2?? En 1847 Stokes demostró
que si es la elevación de un tren de olas que se propaga
horizontalmente en aguas de gran profundidad puede desarrollarse
en potencias de la amplitud a en la forma: ?? = ?? cos ???? –
???? + ????2 cos 2 ???? – ???? + ?? 2 ??3 cos 3 ???? – ???? + ?
?? ?????? ?? ???? – ???? ??2 = ???? 1 + ?? 2 ??2 + ?? 3 ??3 + ? +
?? ?? ???? La ecuación en derivadas parciales se trata de
un problema de frontera libre. Es decir, donde la
condición de contorno es una incógnita del
problema, la función en nuestro caso. En efecto, dado que
el fluido es el agua supondremos por simplicidad que es
incomprensible y sin viscosidad, y además imponemos que la
vorticidad es cero, las ecuaciones en el interior se reducen a la
ecuación de Laplace sobre el potencial cuyo gradiente
determina la velocidad del fluido. El fenómeno ondulatorio
se encuentra precisamente en las condiciones de contorno, que en
la frontera libre están determinadas por las ecuaciones de
Euler y por tanto no son lineales. Al linearizar estas
últimas dos ecuaciones, se obtiene:
Donde ??: es la frecuencia angular, ??: es el número de
onda, h : Es la profundidad, ??: La constante de
gravitación universal. ?? = ???? tanh ??h
3.0. Algunas consideraciones sobre la teoría lineal de
ondas de gravedad Al primer orden de aproximación, la
solución al problema de contorno que supone una onda de
gravedad desplazándose con forma constante sobre un fondo
de profundidad h, en un fluido sin viscosidad y con flujo
irrotacional, viene determinado por el siguiente potencial de
velocidades ??: ?? ??, ??, ??, ?? = ???? cosh ?? ?? + h 2?? cosh
??h sin ???? cos ?? + ???? sin ?? – ????
Siendo: ?? = ?? + h Además: ?? = ?? ?????? ?? + ????
?????? ?? – ???? Por lo tanto: ?? ??, ??, ??, ?? = ???? cosh ????
2?? cos ??h sin ??
??2 ?? Donde: ??: Aceleración de la gravedad equivale a
9,81 ??: Altura de ola (distancia vertical desde la cresta al
seno de la onda) ??: Frecuencia angular de la onda, ?? = ??:
Periodo de la onda ?? 2?? ?????? ?? ??2 ??: Número de
onda, ?? = 2?? ?????? ?? ?? ??: Longitud de onda ?? ??:
Coordenada vertical. Origen en la superficie, positiva hacia
arriba h: Profundidad del agua (distancia positiva desde la
superficie al fondo) ??: Coordenada horizontal ?? ??: Coordenada
horizontal ?? ??: Coordenada de tiempo ?? ??: Ángulo entre
la dirección de propagación de la onda y el eje ??
?????? ??: Fase de la onda
2 2 A partir del potencial de velocidades ?? se pueden obtener
todas las variables cinemáticas de la onda, en particular,
el desplazamiento vertical de la superficie libre. Esta se modela
como: ?? ?? ??, ??, ?? = cos ?? ?? ?? ??, ??, ?? = cos ?? ??????
?? + ???? ?????? ?? – ???? Componentes vectoriales de la
velocidad de las partículas bajo la onda, se modelan como:
???? = ?? = ?????? cosh ???? 2?? cosh ??h cos ?? cos ??
8 ???? = ?? = ?????? cosh ???? 2?? cosh ??h sin ?? cos ?? ???? =
?? = ?????? cosh ???? 2?? cosh ??h sin ?? La expresión de
la Energía cinética, energía potencial y
energía total media temporal, por unidad de área
horizontal, se formula como: ???? = ???? = 1 16 ??????2 La
Energía total es: 1 ?? = ???? + ???? = ??????2
?? 2 Donde: ??: Densidad del agua ???? ??3 ??: Altura de ola
(distancia vertical desde la cresta al seno de la onda) ?? La
celeridad de la onda, o velocidad de propagación de la
forma, viene dada por la expresión: ?? = ?? ?? = ?? ?? ??
= tanh ??h La celeridad de grupo o velocidad de
propagación de la energía, viene dada por: ?? ????
= 1 + 2??h sinh 2??h
El flujo de energía medio (temporal en el tiempo) por
unidad de anchura, viene dado por: ?? = ?????? El desplazamiento
vertical de la superficie del mar generado por el viento en el
océano cambia aleatoriamente con el tiempo. Por ello, las
olas generadas por el viento (llamadas SEA) en un punto presentan
características (altura, período) variables
aleatoriamente de una ola a otra. Con frecuencia se observa que
las olas rompen cuando su peralte supera un determinado
límite. Cuando las olas se propagan fuera del área
de generación (fuera de la zona donde sopla el viento),
los procesos de dispersión y disipación regularizan
la superficie del mar (mar tendida, de fondo o SWELL).Otro cambio
importante de la superficie del mar se observa cuando la
profundidad disminuye y la cinemática del oleaje alcanza
el fondo.
Figura 5: registro temporal indefinidos seguido por un registro
del mismo oleaje en otro punto
??2 ?? 3.1. Análisis del oleaje a corto plazo:
descripción espectral del estado de mar Supóngase
que se considera una onda progresiva en profundidades indefinidas
con el sistema de coordenadas ??, ??, ?? fijo en el espacio, con
?? = 0 en el nivel medio y positivo hacia arriba y sea ?? el
ángulo que forma la dirección de propagación
con el eje ??, con sentido positivo contrario a las agujas del
reloj. Con estos ejes, la superficie libre, h(??, ??, ??) de una
onda propagándose en profundidades indefinidas puede ser
descrita, en primera aproximación, por una sinusoide
definida por: ?? ??, ??, ?? = ?? cos ?? cos ?? + ?? sin ?? – ????
+ ??
Asúmase ahora que la superficie libre puede ser
interpretada como la suma de un número infinito de
componentes sinusoidales de amplitudes, frecuencias y
ángulos ???? , ???? ???? y aleatorios, cubriendo el rango
0 <
???? < 8, 0 < ???? < 8, -?? < ???? < ??,
respectivamente. La fase ?? es también aleatoria, con
distribución uniforme en el rango -?? < ???? < ??
y su magnitud depende de la frecuencia y del ángulo. De
esta manera, se puede describir el desplazamiento vertical de la
superficie libre del mar debido a un oleaje irregular mediante la
sumatoria: ?? ??, ??, ?? = 8 ??=1 ???? ?????? ???? 2 ?? ?? ??????
???? + ?? ?????? ???? – ???? ?? + ??
Figura 6: modelación de un oleaje de generación por
viento(SEA) Figura 7: Modelación del espectro de un oleaje
en el que se combinan mar de viento mar de fondo.(SWELL)
?? Como las olas en el océano no se mueven necesariamente
en la misma dirección que el viento, la energía del
oleaje representada en el espectro es la suma de las
energías propagándose en muchas direcciones. Por lo
tanto se hace necesario considerar una función de densidad
espectral direccional ??(??, ??), que representa la
energía total por unidad de área horizontal,
promediada en el tiempo, existente en cada intervalo de
frecuencia ??? y en cada intervalo de dirección ???. Si la
energía por unidad de área total del oleaje, 1
promediada en el tiempo, en el recinto (???, ???) se representa
por 2 ???????? 2 , donde ???? es una variable aleatoria positiva,
entonces se puede escribir, ignorando el factor????: ?? ??, ??
??? ??? = 1 2 2 ??
lim El promediado temporal de la energía total de las olas
de todas las frecuencias y direcciones de un oleaje viene dado
por: 1 ???8 2 8 2???? i=?? ??=??? ???? 2 = ?? 8 -?? 0 ?? ??, ??
???????? Esta última ecuación, es la base de la
descripción estocástica del oleaje. Figura 8:
Ejemplo de espectro direccional
3.2. Parámetros espectrales El espectro del oleaje
contiene gran cantidad de información que puede ser
representada mediante la introducción de una serie de
parámetros que sirven para conocer las
características principales de dicho espectro. Algunos de
estos parámetros espectrales aparecen frecuentemente en
las funciones de distribución estadísticas
asociadas al oleaje. Se define el momento de orden ?? de la
función de densidad espectral como: ???? = 8 ???? ?? ??
???? 0 ?? = 0,1,2,3,4, … .
El momento de orden cero ??0 , coincide con la varianza total de
proceso ?? 2 . Si el proceso que se representa es la
variación vertical de la superficie libre, la varianza
coincide con el cuadrado del desplazamiento cuadrático
medio, ???????? magnitud proporcional a la energía por
unidad de área del estado de mar. El momento de orden cero
??0 , está relacionado con una altura de ola
representativa del estado de mar ????0 , o altura de ola del
momento de orden cero mediante la expresión: ????0 = 4,004
??0 Si el proceso es de banda estrecha y la distribución
de altura de ola de Rayleigh, se puede demostrar que: ????0 =
4,004???????? = ????
0 0 El flujo medio de energía, en lo sucesivo potencia del
oleaje, es la magnitud que se emplea en el cálculo de la
potencia disponible en un estado de mar. La Ecuación que
describe el flujo de energía representa la potencia media
en un periodo, por unidad de anchura, que atraviesa un plano
perpendicular a la dirección de propagación que se
extendiera desde la superficie hasta el fondo. Si dicho estado de
mar está representado por su espectro direccional ??(??,
??) (que recordemos representa la energía por unidad de
área asignada a cada componente de frecuencia ?? y
dirección ??) el flujo de energía medio temporal
que atraviesa un cilindro vertical de diámetro unidad,
extendido desde la superficie hasta el fondo, viene dado, por el
producto de la suma de todos los elemento de celeridad de
gravedad y los flujo de energía asignados a cada
componente: ???? = ???? 2?? 8 ???? ??, h ?? ??, ?? ????????
La dirección media de la potencia del oleaje viene
definida como: ???? = arctan 2?? 8 0 0 2?? 8 0 0 ???? ??, h ????
??, h ?? ??, ?? sin ?? ???????? ?? ??, ?? cos ?? ????????
6.0. Bibliografía 1. Evaluación del potencial de la
Energía de las olas. IDEA Instituto para la
diversificación y ahorro de la Energía 2. Memoria
de Titulo para la obtención del grado de Ingeniero Civil
Eléctrico, Sobre la Energía Undimotriz.
Nicolás Alberto Bravo Moya, Universidad de Chile 2008