Lógica proposicional

1 Lógica
proposicional

1.1 El lenguaje de la lógica
proposicional

1.1.1 Proposiciones atómicas
y proposiciones moleculares

La lógica proposicional trata sobre la verdad o
la falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se
transmite de unas proposiciones (premisas) a otras
(conclusión). Una proposición es la unidad
mínima de significado susceptible de ser verdadera o
falsa.

Una palabra aislada, por sí misma, no nos dice
nada. La palabra "perro" tiene una referencia, pero no nos da
ninguna información si no es en el contexto de una
proposición como "El perro está haciendo cosas
raras". Por ello una palabra, a menos que constituya
una proposición, no es verdadera o falsa. Sólo
tienen valor de verdad las proposiciones.

Debemos distinguir dos tipos de proposiciones: las
proposiciones atómicas y las proposiciones moleculares.
Las proposiciones atómicas son aquéllas que no se
componen de otras proposiciones. La proposición

Todos los hombres son
mortales

es una proposición atómica porque ninguno
de sus elementos componentes es una proposición. Como
podemos observar, una proposición atómica es
verdadera o falsa, y su verdad o falsedad no depende de otras
proposiciones, sino de cómo es la realidad. Si hubiera
algún hombre inmortal, la proposición del ejemplo
sería falsa.

Las proposiciones moleculares son aquéllas que
están compuestas por proposiciones atómicas. Un
ejemplo de proposición molecular sería:

Voy a comprar pan y a tomar un
café

La proposición del ejemplo es
molecular porque se compone de dos proposiciones
atómicas:

Voy a comprar pan

Voy a tomar un café

Estas dos proposiciones atómicas
están conectadas mediante la partícula
"y". Una proposición molecular será verdadera
o falsa, pero a diferencia de lo que ocurre con las
proposiciones atómicas, su verdad o falsedad no depende
directamente de la realidad, sino que depende o es
función de la verdad o falsedad de las proposiciones
atómicas que la componen. Esto significa que si quiero
saber si es verdadero o falso que voy a comprar pan y a tomar un
café, es necesario que conozca la verdad o falsedad de
"voy a comprar pan" y de "voy a tomar un café" por
separado.

1.1.2 Conectivas
lógicas

Las proposiciones atómicas pueden combinarse de
diferentes formas para dar lugar a proposiciones moleculares. Los
elementos que sirven para conectar las proposiciones
atómicas entre sí se llaman conectivas
lógicas. Las conectivas lógicas nos dicen
cómo afecta el valor de verdad de las proposiciones
atómicas al valor de verdad de las proposiciones
moleculares. Ya hemos visto que en el lenguaje natural, la
conjunción "y" funciona como una conectiva lógica.
Así, cuando decimos:

Las flores son plantas y los erizos
aves

estamos conectando la proposición atómica
"las flores son plantas" con la proposición atómica
"los erizos son aves" mediante la conectiva lógica "y". La
"y" nos está diciendo que la proposición molecular
"Las flores son plantas y los erizos aves"
sólo es verdadera si las dos proposiciones atómicas
que la componen son ambas verdaderas, y será falsa en caso
de que, al menos una de ellas, sea falsa. Como sabemos que los
erizos no son aves, podemos concluir que la proposición
"Las flores son plantas y los erizos aves" es falsa.

Probemos a cambiar la conectiva lógica del
ejemplo, y conectemos las dos proposiciones atómicas del
siguiente modo:

Las flores son plantas o los erizos son
aves

La disyunción "o" también funciona
aquí como una conectiva lógica y nos está
diciendo que la proposición molecular "las flores son
plantas o los erizos son aves" es verdadera si al menos
una de las proposiciones atómicas que la componen es
verdadera. Sabemos que los erizos no son aves, pero como las
flores sí son plantas, concluimos que la
proposición molecular del ejemplo es verdadera.

Como vemos, las conectivas lógicas funcionan como
operadores matemáticos. En matemáticas hay
símbolos como "+" y "-­-". Decir "1+1" no es lo mismo
que decir "1-­-1". Cada operador asigna un valor distinto a
la misma combinación de símbolos, de modo que a la
primera combinación (1+1) le corresponde el 2 y a la
segunda (1-­-1) le corresponde el 0. Del mismo modo, en
lógica, a la proposición "Las flores son plantas
y los erizos aves" le corresponde el valor de verdad V
(verdadero) y a la proposición "Las flores son plantas
o los erizos son aves" le corresponde el valor de verdad
F (falso).

En el cálculo lógico que nosotros vamos a
estudiar, hay cuatro conectivas lógicas. Ya hemos visto
dos: la conjunción y la disyunción. Una tercera
forma de conectar dos proposiciones atómicas
sería:

Si las flores son plantas
entonces los erizos son aves

Esta forma de conectar dos proposiciones nos indica que
una de ellas es la condición de la otra y por eso la
conectiva correspondiente se llama "condicional" o "implicador".
La primera proposición (Las flores son plantas) es la
condición que se ha de cumplir, y nos referiremos a ella
como antecedente; la segunda proposición (los
erizos son aves) es lo condicionado, y nos referiremos a este
elemento del condicional como consecuente.

En cuarto lugar tenemos la negación que, aplicada
a una proposición atómica, simplemente invierte su
valor de verdad, de modo que si la proposición
atómica

Los erizos son aves

es falsa, entonces la proposición
molecular

Los erizos no son aves

será verdadera. Quizá sorprenda que
consideremos molecular la proposición "los erizos no son
aves", pues que no se compone de dos proposiciones
atómicas, sino de una. La razón de que
dicha proposición sea molecular y no atómica es que
uno de sus elementos componentes (a saber, la
proposición "los erizos son aves") es
una proposición atómica.
Obsérvese que la negación no modifica el
significado de la proposición negada, sino
únicamente su valor de verdad. Esta falta de significado
es un rasgo esencial de las conectivas lógicas.

1.1.3 Símbolos de la lógica
proposicional

Como ocurre en otras ciencias, es necesario en
lógica utilizar un lenguaje simbólico especial que
elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de manifiesto
los que sí nos interesan. En lógica nos interesa
saber cómo están combinadas las
proposiciones , y no nos interesa en absoluto su significado. Por
ello necesitamos unos símbolos que, prescindiendo del
significado de las proposiciones, nos indiquen la forma
en que se combinan. Estos símbolos constituyen un
lenguaje formal.

En primer lugar, las proposiciones atómicas
pueden ser sustituidas por lo que llamaremos variables
proposicionales, que serán las letras

p, q, r, s …

La operación consistente en sustituir las
expresiones del lenguaje natural por símbolos
lógicos se llama formalización. A la
proposición debidamente formalizada la llamaremos
fórmula. Según lo dicho, la
formalización de la proposición
atómica

Los erizos son aves

será, simplemente, la fórmula

p

Por su parte, a cada conectiva lógica le
corresponde un símbolo, como queda resumido en la
siguiente tabla:

1.2 Sintaxis:
Fórmulas bien formadas (fbf)

Todos los lenguajes se componen de unos
símbolos y de unas reglas sintácticas que nos
indican qué combinaciones de símbolos son correctas
y cuáles no lo son. Por ejemplo, en castellano no podemos
decir:

Mis amigos y yo voy al cine

La oración del ejemplo está
mal formada porque no hay la concordancia debida entre el
número del sujeto (plural) y el número del verbo
(singular). También en matemáticas hay unas reglas
que nos indican qué combinaciones de símbolos
podemos hacer, de modo que si nos presentaran lo
siguiente:

%=4+(78-)

no sabríamos qué hacer
simplemente porque la expresión está mal formada,
no respeta las reglas de formación de fórmulas
matemáticas. Del mismo modo, cualquier combinación
de símbolos lógicos no constituye una
fórmula bien formada. Así por ejemplo, no
están bien formadas las fórmulas

Ap

vpvq

p-> ¬

etc…

No es difícil descubrir
intuitivamente, a partir de ejemplos, qué fórmulas
están bien formadas en lógicas y cuáles no,
pero no está de más ofrecer las siguientes
reglas para la formación de fórmulas bien
formadas (fbf):

Regla 1: Toda proposición
atómica es una fbf

Regla 2: Si A es una fbf, entonces ¬A
también es una fbf

Regla 3: Si A y B son fbf, entonces (A?B),
(A?B) y (A?B) también son fbf

1.3
Formalización de proposiciones

A continuación comentaremos algunos ejemplos de
formalización. Comenzaremos por unos ejemplos sencillos,
que agruparemos en cuatro bloques, según la conectiva
lógica usada, y a continuación presentaremos
algunos ejemplos más complejos en los que combinaremos
varias conectivas.

1.3.1 Formalización de la
conjunción

Proposición en lenguaje
natural: Los perros son listos y los gatos egoístas.
p = los perros son listos

q= los gatos son egoístas

Formalización: p A q (se lee "p y
q")

Proposición en lenguaje
natural: Estudiaré, pero también veré
la tele p = estudiaré

q = veré la tele

Formalización: p A q

Comentario: Aunque en la proposición en
lenguaje natural no aparece la partícula "y", si
entendemos el sentido de la misma, veremos que lo que nos
está diciendo es que estudiaré y
veré la tele. El "pero también" es una
conjunción, aunque los matices que tiene en el lenguaje
natural (digamos que tiene un sentido _adversativo) se pierden al
formalizarla.

Proposición en lenguaje
natural: Además de comer tarta, beberé sidra.
p = comeré tarta

q = beberé sidra

Formalización: p A q

Comentario: Vemos que aquí tampoco
aparece la "y", sin embargo la proposición nos está
diciendo simplemente que comeré tarta y que beberé
sidra. El "además" añade un matiz que no nos
interesa desde un punto de vista lógico. A la
lógica sólo le interesa en qué condiciones
es verdadera o falsa la proposición "Además de
comer tarta, beberé sidra", resulta que esa
proposición sólo es verdadera si como tarta
y bebo sidra. Eso es lo único que ha de quedar
reflejado en la formalización.

Proposición en lenguaje natural: Es
completamente cierto que voy a asistir a la reunión y que
luego me iré de fiesta.

p= voy a asistir a la reunión

q= después de la reunión me iré de
fiesta

Formalización: p A q

Comentario: Como vemos, el "es completamente
cierto" que aparece en la proposición en lenguaje natural,
no vuelve a aparecer. La razón de ello es que no
añade nada al significado de las proposiciones
atómicas, sino que simplemente sirve para reforzar la idea
de que es cierto lo que digo. Pero desde el punto de vista de la
lógica de enunciados, la proposición del ejemplo es
equivalente a la proposición "voy a asistir a la
reunión y luego me iré de fiesta".

Proposición en lenguaje
natural: Pedro y María van al cine todos los
sábados. p= Pedro va al cine todos los
sábados

q = María va al cine todos los
sábados

Formalización: p A q

Comentario: Aunque parece que sólo hay
una proposición en el ejemplo, hay que advertir que en
realidad son dos, pues para que sea verdadera tiene que ser
verdad que Pedro va al cine los sábados y que María
va al cine los sábados.

1.3.2 Formalización de la
disyunción

Proposición en lenguaje
natural: Voy al cine o voy al teatro p = voy al
cine

q= voy al teatro

Formalización: p v q (se lee "p o
q")

Proposición en lenguaje
natural: O bien voy al cine, o bien voy al teatro p = voy al
cine

q = voy al teatro

Formalización: p v q

Comentario: A veces, cuando nos
estamos iniciando en la formalización, puede que tengamos
la tentación de formalizar la proposición de este
ejemplo del siguiente modo: (v p v q). Esto es un
error garrafal, pues, como ya hemos dicho, no se
trata de traducir palabra por palabra, sino de expresar la forma
lógica de la proposición. En la proposición
del ejemplo estamos diciendo que se me plantean dos opciones;
una, ir al cine; otra, ir al teatro; y al menos una de ellas debe
cumplirse. Esto es una disyunción de toda la vida, por
más que la reforcemos con el "O bien… o
bien…", por lo tanto se formaliza exactamente igual que la
del ejemplo anterior.

1.3.3 Formalización del
condicional

Proposición en lenguaje
natural: Si Misha es un gato, entonces escupirá bolas
de pelo.

p= Misha es un gato

q= Misha escupirá bolas de pelo

Formalización: p -> q (se lee "si p
entonces q" ó "p implica q")

Proposición en lenguaje
natural: Si vas a la playa, te broncearás. p = vas a
la playa

q = te broncearás

Formalización: p -> q

Comentario: Aunque no aparezca literalmente el
"entonces", como lo que estamos traduciendo no son las palabras,
una por una, sino la forma lógica, es evidente que basta
el "si" inicial para indicarnos el condicional.

Proposición en lenguaje
natural: Sólo si Misha es un gato, escupirá
bolas de pelo p= Misha es un gato

q = Misha escupirá bolas de pelo

Formalización: q -> p

Comentario: Obsérvese que este
condicional se formaliza al revés que el del ejemplo
anterior. En la proposición "Si Misha es un gato, entonces
escupirá bolas de pelo" no excluimos la posibilidad de que
otros animales, a parte del gato, escupan bolas de pelo. Misha
podría ser un tigre y escupir bolas de pelo. La
proposición únicamente afirma que,
independientemente de que haya otros animales que escupan bolas
de pelo, si Misha es un gato, también lo hará.
Ahora bien, si lo que digo es que Solo si Misha es un
gato, escupirá bolas de pelo, estoy excluyendo la
posibilidad de que otros animales, a parte del gato, escupan
bolas de pelo. Para expresar esto formalmente, tengo que
invertir el condicional, pues ahora, a diferencia del ejemplo
anterior, estoy diciendo que si Misha escupe bolas de pelo
entonces es que es un gato. Nótese que esta
última proposición no implica que haya gatos
que no escupan bolas de pelo.

Proposición en lenguaje
natural: Pégame y tendrás tu merecido p =
pégame

q = tendrás tu merecido

Formalización: p -> q

Comentario: A veces el lenguaje natural puede
confundirnos. En este caso la partícula "y" no funciona
como un condicional, pues la proposición no está
afirmando que me hayas pegado y que además te haya dando
tu merecido. La proposición del ejemplo puede ser
verdadera sin que nadie sufra ningún daño, pues
tiene un sentido condicional. En realidad está afirmando
que si me pegas, entonces tendrás tu
merecido.

Proposición en lenguaje
natural: Asistir a clase es condición
necesaria para aprobar.

p = se asiste a clase q= se aprueba
Formalización: q -> p

Comentario: Probablemente la
formalización está al revés de lo que
esperábamos, pero es correcta. Si digo que algo es una
condición necesaria para aprobar, estoy diciendo
que es un requisito imprescindible –necesario-­-, pero
que no es suficiente para aprobar, es posible que además
de asistir a clase haya que hacer algún trabajo, por
ejemplo, o aprobar un examen… Esto significa que aunque se
cumpla una condición necesaria, no por ello se
aprobará, pues puede que no se cumplan otras
condiciones necesarias. Lo que está claro es que si
no se cumple, aunque se cumplan todas las demás, se
suspenderá. En el ejemplo decimos que asistir a clase es
condición necesaria para aprobar. Esto no
significa

que si asisto a clase entonces apruebo (p -> q), pues
es posible que asista a clase

y no apruebe. Lo que significa la proposición es
que si he aprobado, entonces

tiene que ser verdad que he asistido a clase.

Proposición en lenguaje natural: Asistir
a clase es condición suficiente para
aprobar.

p = se asiste a clase q = se
aprueba

Formalización: p -> q

Comentario: A diferencia de una
condición necesaria, una condición
suficiente se basta por sí misma para que el
consecuente del condicional sea verdadero. Si digo que estudiar
es condición suficiente para aprobar estoy diciendo que
basta estudiar para aprobar el curso, o lo que es lo mismo, que
si estudio entonces aprobaré el
curso. Por lo tanto la formalización correcta es
(p?q). Nótese que una condición
suficiente no tiene por qué ser también necesaria,
pues podría haber otra condición
suficiente para aprobar. Podría ser que el profesor
dijera que para aprobar basta venir a clase o hacer un trabajo.
En ese caso tanto venir a clase como hacer un trabajo
serían condiciones suficientes para aprobar, pero no
necesarias, pues cualquiera de ellas podría no cumplirse y
aprobar, siempre que se cumpla la otra. Por su parte, las
condiciones necesarias no tienen tampoco por qué ser
suficientes.

Proposición en lenguaje natural: Asistir
a clase es condición necesaria y suficiente para
aprobar.

p = se asiste a clase q = se
aprueba

Formalización: p <–> q (se lee "p
coimplica q")

Comentario: Decir que asistir a clase es
condición necesaria y suficiente para aprobar significa
que basta asistir a clase para aprobar, y que no hay otro modo de
aprobar a parte de asistir a clase. En realidad la
proposición es equivalente a

afirmar (p->q) y (q->p) simultáneamente.
Esto significa que

[(p->q) ? (q->p)] =
(p<–>q)

El símbolo "?" sirve para indicar esta doble
dirección del condicional y se llama
bicondicional. También podría formalizarse
con ayuda del bicondicional la proposición

Si estudias y sólo si estudias,
aprobarás.

Proposición en lenguaje
natural: Te besaré si me prometes amor eterno. p= te
besaré

q= me prometes amor eterno

Formalización: q -> p

Comentario: La única dificultad de esta
proposición es que para darle más efecto al
consecuente, se sitúa en primer lugar, pero es
perfectamente equivalente a la proposición "si me prometes
amor eterno, entonces te besaré"

1.3.4 Formalización de la
negación

Proposición en lenguaje
natural: No voy a solucionarte el problema p= voy a
solucionarte el problema

Formalización: ¬p

Proposición en lenguaje
natural: No es cierto que haya estado en ese cine. p= he
estado en ese cine

Formalización: ¬p

Comentario: el "no es cierto que"
del ejemplo no es sino una forma reforzada de negar, por lo tanto
se formaliza como una simple negación, que es lo que
es.

Proposición en lenguaje
natural: Ningún hombre puede volar p= algún
hombre puede volar

Formalización: ¬p

Comentario: En el ejemplo no aparece
expresamente la partícula "no", pero el

"ningún" expresa negación, de
modo que la proposición del ejemplo no es sino la
negación de la proposición atómica
"algún hombre puede volar".

Proposición en lenguaje
natural: No hay nada en el cajón p= hay algo en el
cajón

Formalización: ¬p

Comentario: No hay que entender el
"no hay nada" como una doble negación, que sería
equivalente a afirmar, sino como una negación reforzada,
por eso la

proposición atómica es "hay algo en el
cajón" y la proposición del ejemplo ha de
interpretarse como la negación de esa proposición
atómica.

1.3.5 Formalizaciones combinando todas las
anteriores

Proposición en lenguaje
natural: Si estudias y vienes a clase, entonces
aprobarás. p= estudias

q= vienes a clase r=
aprobarás

Formalización: (p A q) ->
r

Comentario: La proposición del ejemplo
dice que para aprobar hay que cumplir dos condiciones: asistir a
clase y estudiar. Esto significa que tiene que ser verdad que
estudias y que vas a clase para que sea verdad que apruebas. Esto
se formaliza con ayuda del condicional.
Nótese que no es lo mismo "(p A q)-> r" que
"p A (q -> r)". El significado de una proposición
puede cambiar enormemente según cómo
usemos los paréntesis. Aunque existen algunas reglas para
simplificar el uso de los paréntesis, de momento es mejor
usarlos siempre para evitar ambigüedades.

Proposición en lenguaje natural: No es
cierto que vaya a ir a Polonia y que esté
engordando.

p = voy a ir a Polonia q = estoy
engordando

Formalización: ¬(p A q)

Comentario: Es importante darse cuenta de que
en el ejemplo comentado no estoy diciendo que no voy a ir a
Polonia y que no estoy engordando. Lo que estoy diciendo es que
no es cierto que las dos proposiciones sean verdaderas, pero eso
no significa que las dos sean falsas; puede que sea una verdadera
y otra falsa. Lo que estoy negando no es cada una de las
proposiciones atómicas, sino la conjunción de las
dos.

Proposición en lenguaje
natural: Ni yo bordo pañuelos ni tú rompes
contratos p = yo bordo pañuelos

q = tú rompes contratos

Formalización: ¬p A
¬q

Comentario: A diferencia del
ejemplo anterior, en este caso sí estamos negando cada una
de las proposiciones atómicas de la conjunción, lo
que en lenguaje natural se expresa con el
"ni… ni…". Hay que observar que "¬(p ? q)" no
significa lo mismo que "¬p A ¬q", como
tendremos ocasión de demostrar más
tarde.

Proposición en lenguaje
natural: Si copias en el examen, no aprobarás y, o
bien serás expedientado o bien te quedarás
castigado todos los días por la tarde.

p= copias en el examen q =
aprobarás

r = serás expedientado

s = te quedarás castigado todos los días
por la tarde

Formalización: p -> [¬q A (r v
s)]

Comentario: Antes de analizar la estructura de
la proposición, conviene advertir que el uso de corchetes
([,]) o de paréntesis ((,)) obedece a razones de claridad
expositiva. Simplemente la fórmula se lee más
fácilmente si distinguimos los paréntesis
más externos de los más internos mediante los
corchetes. Quede dicho, no obstante, que pueden usarse
sólo paréntesis, si se desea.
Ciñéndonos a la proposición del ejemplo,
observaremos que nos está advirtiendo de las consecuencias
de copiar en el examen, por ello tiene una forma condicional. En
efecto, la proposición nos dice que si copias en el
examen, entonces te ocurrirá algo.
Concretamente te ocurrirán al menos dos cosas, una de
ellas la sabemos segura: no aprobarás (¬q). La otra
consecuencia, depende, pues hay dos opciones, pues puedes ser
expedientado (r) o ser castigado (s) (o las dos cosas) la
cuestión es que esa segunda consecuencia todavía no
se ha concretado, por eso se expresa como una disyunción.
Según lo dicho, si se cumple la condición de copiar
en el examen, entonces no aprobarás y
ocurrirá alguna de las dos opciones expuestas
(serás expedientado o serás
castigado).

Proposición en lenguaje
natural: No voy a ir a París, pero si voy, me
acordaré de ti y de tu madre.

p = voy a París

q = me acordaré de ti

r= me acordaré de tu madre

Formalización: ¬p -> [p A (q
-> r)]

Proposición en lenguaje
natural: Si vas al cine, entonces, o compras palominas o me
envidiarás si tienes hambre.

p = vas al cine

q = compras palomitas r = me
envidias

s = tienes hambre

Formalización: p -> [q v
(s->r)]

Comentario: La complejidad de esta
proposición radica en el hecho de que el consecuente del
condicional es una disyunción y uno de los términos
de esa disyunción es un condicional, de modo que tenemos
un condicional dentro de otro condicional.

Proposición en lenguaje
natural: Me quieras o no, tendrás que soportarme p =
me quieres

q = tienes que soportarme

Formalización: (p v ¬p) A
q

1.4 Tablas de
verdad

1.4.1 Tablas de verdad de las
conectivas lógicas

Formalizar una proposición es sólo el
primer paso. Ahora tenemos que analizar las fórmulas
obtenidas en relación con su verdad o la falsedad. El
valor de verdad de las proposiciones moleculares depende del
valor de verdad de las proposiciones atómicas que la
componen y de las conectivas lógicas. Una
proposición atómica puede ser verdadera o falsa.
Nosotros adoptaremos la convención de referirnos al valor
de verdad "Verdadero" con el símbolo "1" y al valor de
verdad "Falso" con el símbolo "0". Podemos expresar los
posibles valores de verdad de una proposición
atómica mediante la siguiente tabla:

p

Esta tabla significa que la proposición
atómica "p" (que puede ser cualquier
proposición atómica) puede ser verdadera (1) o
falsa (2). En realidad no sabemos si es verdadera o falsa, porque
eso depende de su significado, que desconocemos. Pero lo que
sabemos con toda seguridad es que debe tener uno de esos valores
de verdad.

La cosa se complica cuando pretendemos averiguar los
posibles valores de verdad de una proposición molecular.
En efecto, la proposición molecular

p A q

puede ser verdadera o falsa, pero su verdad o falsedad
depende de la verdad o falsedad de p y de q. Así pues, si
p es verdadera pero q es falsa, (p A q) será falsa,
por ejemplo. A cada combinación de valores de verdad
de p y de q, le corresponde un valor de verdad a la
proposición compleja. Podemos expresar esto con la
siguiente tabla de verdad de la
conjunción:

Como vemos en la tabla, la fórmula
(p A q) sólo es verdadera cuando p es
verdadera y q es verdadera, siendo falsa en todos los
demás casos. Podemos confeccionar una tabla semejante para
todas las conectivas lógicas:

Tabla de verdad de la
disyunción

Como vemos, la disyunción
sólo es falsa en caso de que sus dos términos lo
sean, y es verdadera en todos los demás
supuestos.

Tabla de verdad del
condicional

La tabla de verdad del condicional siempre causa cierta
inquietud y, de hecho, ha sido objeto de crítica por parte
de muchos lógicos. Nosotros no entraremos en tales
disquisiciones y nos conformaremos con comprenderla, lo que ya es
bastante. Lo primero que observamos en la tabla del condicional
es que sólo es falso en un caso: cuando el antecedente es
verdadero y el consecuencia falso. En efecto, supongamos que a
principio de curso un profesor dice a sus alumnos:

Si venís a clase entonces
aprobaréis

Ahora supongamos que, al final de curso, un determinado
alumno, tras asistir religiosamente a todas las clases, suspende.
Diremos, en ese caso, que el profesor mintió al principio
de curso pues la proposición "si venís a clase
entonces aprobaréis" es manifiestamente falsa, pues un
alumno ha ido a clase y no ha aprobado.

Lo que sorprende de la tabla de verdad del condicional
no es esto, sino los casos que lo hacen verdadero. En el primer
caso no parece haber problema, pues si el antecedente es
verdadero y también lo es el consecuente, no hay
razón para negar el condicional: se ha cumplido la
condición y también se ha cumplido lo
condicionado.

El segundo caso merece algo más de
atención. En efecto, como vemos en la tabla, si el
antecedente es falso pero el consecuente es verdadero, el
condicional es verdadero. La razón de esto es que el
consecuente de un condicional puede ser verdadero
independientemente del antecedente. Si es verdad que si Pepito
estudia entonces aprueba, eso no excluye que apruebe sin
estudiar, pues aun en ese caso seguiría siendo verdad que
si hubiera estudiado, aprobaría.

El tercer caso en el que el condicional es verdadero no
carece tampoco de interés. Si tanto el antecedente como el
consecuente son falsos, el condicional es verdadero. Hay que
recordar que un condicional no está describiendo un hecho
actualmente existente del mundo, sino que establece una
condición y dice que, en el caso de que se cumpliera,
ocurriría tal o cual cosa. Que el antecedente y el
consecuente sean falsos no excluye que si el antecedente
hubiera sido verdadero también lo hubiera sido el
consecuente. Si yo no estudio y no apruebo, no por eso es falso
que si estudio, entonces apruebo.

Tabla de verdad de la
negación

Como hemos visto en apartados anteriores, la
negación invierte el valor de verdad de la
proposición negada, tal y como se establece en la
siguiente tabla:

Es decir, que cuando p es
verdadera, ¬p es falsa, y cuando p es
falsa, ¬p es verdadera.

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