El infinito

En la monografía G077 (Descanso divino),
página 5, párrafo 2 (de la Nota), se decía que es
permisible pensar que la desbordante complejidad y la inasequible
profundidad que para el científico (supuestamente "liberado"
de prejuicios perceptivos) tiene la realidad haga que ésta
aparezca ante sus ojos como caótica y desordenada, pero eso
no quiere decir que así sea efectivamente. Por ejemplo,
tomemos el caso de los números primos; éstos se nos
presentan "indomables" desde el punto de vista matemático,
puesto que hasta el presente todo indica que es imposible
formular una ley que permita obtener un término general
analítico que dé cuenta de todo número primo; por
consiguiente, dada nuestra finitud operativa, podemos decir que
para el ser humano los números primos son "anárquicos o
caóticos" (no admiten una regla formativa, es decir, una
forma algorítmica compuesta por un número finito de
pasos o etapas de cálculo). Ahora bien, cabe preguntarse:
¿Admiten los números primos un algoritmo de infinitos
pasos? O, todavía más general: ¿Pueden ser
concebidos los números primos como un algoritmo resultante
de una relación entre valores numéricos que pertenecen
a un conjunto de infinitos elementos, con un orden de infinitud
para este último de carácter superior al del conjunto
de los números primos? La idea que se pretende transmitir es
la siguiente: La apariencia caótica de la realidad puede no
serlo realmente (de hecho, no puede serlo, si es que en verdad ha
sido diseñada por el Sumo Hacedor); tal vez, como en el caso
de los números primos, nuestra finitud algorítmica
impida la visión no caótica que nos proporcionaría
un algoritmo infinito; pero nuestra mente "finita o limitada" es
incapaz de usar algoritmos infinitos, ya que esta capacidad
intelectual sólo podría pertenecer a una mente
"infinita o ilimitada", a saber, la mente del Todopoderoso (para
una mejor consideración de la infinitud operativa, ver G081:
La omnipresencia).

Eternidad.

En G050 (Trascendencia), página 2, se expuso lo
siguiente: «Al parecer, tanto Adán como Eva tenían
un concepto bastante claro de lo que es la muerte. Es posible que
el hebreo arcaico básico, es decir, el idioma original con
el que fue dotado Adán al tiempo de ser creado, con el
objeto de facilitarle la comunicación con el Creador,
contuviera ya el vocablo "muerte" o similar. No obstante, como
quiera que los animales y las plantas morían o dejaban de
existir, y este hecho era bien evidente para la primera pareja
humana, no sólo de manera teórica sino también de
forma experimental u observable, ellos, pues, quizás
comprendían muy bien el significado de este
concepto».

Del relato sagrado del Génesis se desprende que
Dios tenía previsto para el ser humano una vida sin fin, en
un entorno paradisíaco: «Y Jehová Dios
procedió a tomar al hombre y a establecerlo en el
jardín de Edén para que lo cultivara y lo cuidara. ?Y
también impuso Jehová Dios este mandato al
hombre:

"De todo árbol del jardín puedes
comer hasta quedar satisfecho.

?Pero en cuanto al árbol del
conocimiento de lo bueno y lo malo, no debes comer de
él, porque en el día que comas de él,
positivamente morirás"» (Génesis
2:15-17).

El propio primer hombre debió percatarse
rápidamente de que su existencia se prolongaría
indefinidamente si respetaba la prohibición divina, de
manera que el fantasma de la "muerte" no le afectaría en el
futuro. Por consiguiente, la noción rudimentaria de
eternidad (vida sin fin, infinitud en el tiempo) debió
surcar ya por su mente.

Así, pues, una primera aproximación al
concepto de INFINITUD lo proporciona la noción de ETERNIDAD
(infinitud en el tiempo). La ETERNIDAD es un concepto más
concreto que la INFINITUD, puesto que se refiere a un tipo
particular de INFINITUD, a saber: Infinitud en la corriente del
Tiempo.

NOTA:

La definición breve de "Eternidad es
infinitud en la corriente del Tiempo" introduce un concepto
polémico: Tiempo… ¿Qué es el Tiempo?… Por lo
tanto, esta cuestión será analizada en una próxima
monografía.

Infinitud.

Tal como se expone en G063 (Limitaciones
científicas), página 7, nota, William Thomson
(1824-1907), primer barón Kelvin (Lord Kelvin), fue un
físico y matemático británico que se
destacó por sus importantes trabajos en el campo de la
termodinámica y la electrónica gracias a sus profundos
conocimientos de análisis matemático. Es uno de los
científicos que más hicieron por llevar a la
física a su forma moderna. Es especialmente famoso por haber
desarrollado la "escala Kelvin" de temperatura. Recibió el
título de "barón Kelvin" en honor a los logros
alcanzados a lo largo de su carrera.

En varios libros de texto de Física universitaria,
se atribuye a Lord Kelvin la siguiente declaración: "Suelo
repetir con frecuencia que sólo cuando es posible medir y
expresar en forma numérica aquello de que se habla, se sabe
algo acerca de ello: nuestro saber será deficiente e
insatisfactorio mientras no seamos capaces de traducirlo en
números. En otro caso, y sea cual fuere el tema
de que se trate, quizás nos hallemos en el umbral de su
conocimiento, pero nuestros conceptos apenas
habrán avanzado en el nivel de la ciencia".

Si de alguna manera estas palabras
atribuidas a Lord Kelvin expresan una verdad fundamental,
entonces el concepto de INFINITUD debería ser matematizado
para que pudiéramos obtener un conocimiento profundo del
mismo. De otra manera, habríamos de contentarnos con una
noción superficial y nebulosa.

Pues bien, se estima que uno de los logros
de la matemática moderna ha sido encarar con cierta
medida de éxito el reto de "domesticar racionalmente"
uno de los conceptos más inaccesibles y paradójicos que
haya podido pretender la fragilidad del intelecto humano: el
concepto de Infinito. La matemática es la única
disciplina que actualmente puede proveer el lenguaje que se
necesita para hablar con mayor exactitud o precisión acerca
del infinito, o la ciencia que pretende medir el
infinito.

Vulgarmente se suele utilizar la palabra "infinito" para
denotar algo muy grande, ilimitado, imposible de contar,
indefinido… Por lo tanto, se impone una definición
más rigurosa de este concepto para poder incorporarlo al
ámbito matemático. Y esto se ha hecho introduciendo
previamente la noción de "conjunto", o entidad formada por
"elementos"; es decir, se ha tenido que crear la "Teoría
matemática de conjuntos".

Desde el punto de vista matemático, un "conjunto"
es una entidad formada por elementos, o la reunión de
"elementos" (cualesquiera que sean dichos elementos). Por
ejemplo, un bosque puede ser considerado como un conjunto formado
por muchos árboles, siendo cada árbol de dicho bosque
un elemento del conjunto; por su parte, un árbol puede ser
considerado como un conjunto formado por muchas hojas, siendo
cada hoja un elemento del conjunto; así mismo, una hoja de
árbol puede ser considerada como un conjunto formado por
muchas células vegetales, siendo cada célula un
elemento de dicho conjunto; y así sucesivamente.
Evidentemente, un bosque está formado por árboles,
arbustos, fauna boscosa, etc., pero por necesidades teóricas
de simplificación lo hemos definido matemáticamente
como "conjunto de muchos árboles"; igualmente podríamos
decir de un árbol (integrado por hojas, raíces, ramas,
etc.) o de una hoja (formada por células, elementos
minerales de la savia intercelular, gases circulantes,
etc.).

Definido, pues, el concepto de "conjunto"
matemático", nos encontramos ahora en la posición
ventajosa de poder definir lo que es un "conjunto finito":
conjunto formado por una cantidad limitada de elementos, o por
una cantidad de elementos que se pueden contar. Entonces, un
"conjunto infinito" es todo conjunto "no finito", esto es, un
conjunto formado por una cantidad ilimitada de elementos o por
una cantidad tal de elementos que no se pueden contar.

Así, por tanto, el concepto de
"infinito" matemático está asociado a la idea de
cómputo impracticable o cantidad incontable de elementos. Y
esto vale también para definir el concepto de infinito en la
medida, cuyo símbolo es "8", al ser jalonada la "recta real"
por números naturales o números que sirven para contar:
en este caso "8" (infinito) equivale a una posición
numérica en la recta real que se encuentra más
allá de todo número natural:

Pero el infinito matemático va más allá
de lo "muy grande" y de la posibilidad humana (temporal) de
contar, como muy bien se ha descubierto hace más o menos un
siglo. En realidad, los recientes hallazgos acerca del infinito
matemático hacen compleja la noción de infinito y
establecen una infinita jerarquía de conjuntos infinitos,
cada uno de los cuales es diferente de los demás por ser de
mayor o menor cardinalidad (cantidad de elementos) que el resto
de ellos.

Ahora bien, la noción de "infinito"
como idea de algo ilimitado o inalcanzable ha sido una fuente
de confusión y controversias a través de
la historia de la ciencia. Perturbó a los antiguos griegos,
quienes trataron inútilmente de comprenderlo por vía de
someter el concepto (de "infinitud") a la intuición del
sentido común, la cual, lamentablemente, estaba inspirada en
un mundo percibido como finito y, consecuentemente, los condujo a
conclusiones contradictorias y paradójicas.

Para Platón (427-347 antes de la EC) y
Pitágoras (580-495 antes de la EC) el infinito era "
apeiron" (el caos), pues el infinito carecía de medida
(metron). La voz "apeirón", tal como la empleaba Anaximandro
(610-546 antes de la EC), significaba "sin fin, sin límite",
y suele traducirse como "lo infinito, lo indefinido, lo
ilimitado".

La idea del infinito también fue evitada o
marginada por Aristóteles (384-322 antes de la EC) y por los
escolásticos (siglos XI a XV de la EC), quienes basaban su
aversión hacia el susodicho concepto en las propias
absurdidades o contradicciones que el "infinito" les generaba.
Uno de los típicos argumentos esgrimidos en contra del
"infinito" era el conocido como "la aniquilación de los
números finitos", pues según este argumento los
números finitos son absorbidos por los números
infinitos; es decir, para todo número finito "a", sucede lo
siguiente: "a + 8 = 8", y de esta forma los números
infinitos aniquilan a los números finitos.

Sin embargo, Aristóteles percibía
que la necesidad de apelar al "infinito" era inexorable, a
pesar de la animadversión teórica que
éste pudiera desencadenarle, por lo que trató de
enfrentar el problema del infinito a través de dos
representaciones, o dos concepciones complementarias, y cuya
interacción dialéctica ha influido en el propio
desarrollo de la matemática. En el tercer libro de su obra
"Física", Aristóteles distingue dos tipos de infinito;
el infinito como un proceso de crecimiento sin final o de
subdivisión sin final y el infinito como una totalidad
completa. El primero es el " infinito potencial" y el segundo es
el "infinito actual".

La noción de "infinito potencial" se centra en la
idea de una operación reiterativa e ilimitada, es decir, en
la "recursividad" (recurrencia, o hacer que vuelva a ocurrir)
interminable. Así, por muy grande que sea un número
natural siempre podemos concebir uno mayor que ése, y otro
mayor que este último y así sucesivamente, donde la
última expresión "y así sucesivamente" encierra la
propia idea de reiteración ilimitada, tendente al infinito.
Este tipo de infinito potencial es el que sirve de base a la
noción de "límite" en el cálculo
infinitesimal.

Por su parte, la noción de "infinito
actual" (o infinito como totalidad) fue ampliamente
desarrollada en geometría, ya en la Grecia
Antigua, al dividir un segmento de recta en un número
infinito de puntos. En efecto, pronto constataron los
matemáticos griegos que un segmento rectilíneo
cualquiera podía ser dividido en dos subsegmentos iguales
mediante un punto medio que sirviera de frontera; a su vez, uno
de los dos subsegmentos admitía la misma operación
(recurrencia), y así sucesivamente, hasta el infinito. Se
podía obtener así una sucesión de infinitos puntos
(1, ½, ¼, …) pertenecientes, todos ellos, a un
mismo segmento rectilíneo; la conclusión
inequívoca era que todo segmento rectilíneo contiene
una infinidad de puntos (infinito actual).

En la Edad Media, la mayor parte de la matemática
relacionada con lo infinitamente grande ( infinito) y lo
infinitamente pequeño (infinitesimal) tomó la forma de
una serie de especulaciones en torno a las ideas de Platón y
Aristóteles sobre la relación entre punto y recta, la
naturaleza de lo inconmensurable, las paradojas de Zenón, la
existencia de lo indivisible y la potencialidad y actualidad de
lo infinito. Pero más que nada, en esta época, el
debate sobre la naturaleza del infinito tuvo connotaciones
teológicas antes que matemáticas, al considerarse el
"infinito" como una propiedad exclusiva de la majestad divina.
Así, Agustín de Hipona creía que sólo Dios y
sus pensamientos eran infinitos; y Tomás de Aquino, por otra
parte, pretendía demostrar en su "Summa Theologiae" que,
aunque Dios era "ilimitado" (ver NOTA, a continuación),
Él no podía crear cosas absolutamente
ilimitadas.

NOTA:

Es una afirmación obscura y vaga decir que "Dios es
ilimitado", lo cual puede llevar a error y, de hecho, así ha
sucedido. Bien es verdad que, de acuerdo con las sagradas
escrituras, Dios es ilimitado en amor, justicia, sabiduría
(omnisciencia) y poder (omnipotencia), entre otras
características. Pero corporalmente reside en los cielos
según las sagradas escrituras, no en todas partes
(omnipresencia); en consecuencia, posee límites
corpóreos, puesto que no se encuentra ubicado en cualquier
lugar o en todo lugar. La aberración de atribuir
omnipresencia al Todopoderoso es un grave error antibíblico
que desacredita la fiabilidad de la "Summa
Theologiae".

Parece que la idea original de la
omnipresencia divina fue desarrollada por la comunidad judía
de "los fariseos" (siglo VI antes de la EC a siglo II de la EC).
La revista LA ATALAYA del 15-3-1995, páginas 25-26, editada
en español y en muchos otros idiomas por la Sociedad
Watchtower Bible And Tract, informa:

«El nombre “Fariseos”, o
“Peruschím” (en hebreo), probablemente significa
“separados”. Los fariseos se consideraban seguidores
de Moisés. Formaron su propia sociedad o fraternidad (en
hebreo: javuráh). Para ser admitido, había que prometer
ante tres miembros que se observaría con rigurosidad la
pureza levítica, se evitaría la relación estrecha
con los “amhaárets” (la multitud ignorante), y
se pagarían meticulosamente los diezmos. [El evangelio de]
Marcos 2:16 menciona a “los escribas de los
fariseos". Algunos fariseos eran escribas y maestros
profesionales, mientras que otros eran laicos.

Los fariseos creían que Dios es
"omnipresente". Razonaban que, puesto que "Dios
estaba en todas partes, podía adorársele dentro y fuera
del Templo, y que no se le invocaba sólo mediante
sacrificios. Así que promovieron la sinagoga como lugar de
culto, estudio y oración, y la convirtieron en un lugar
central e importante en la vida de la gente, hasta el punto de
rivalizar con el Templo" (Encyclopaedia Judaica)…

Los fariseos también creían en
una mezcla de predestinación y libre
albedrío. En otras palabras, "todo está predestinado,
pero se da libre albedrío". En cualquier caso, ellos
creían que Adán y Eva estaban predestinados a
pecar y que hasta un leve corte en el dedo estaba
predeterminado.

Puede que Jesús tuviera presente estas ideas falsas
cuando habló del derrumbamiento de una torre que
provocó la muerte de dieciocho personas. Preguntó:
"¿Os imagináis vosotros que con eso se probó que
[las víctimas] fueran mayores deudores que todos los
demás hombres que habitaban en Jerusalén?" (Lucas
13:4). Este accidente, como casi todos, fue consecuencia del
"tiempo y el suceso imprevisto", no del destino, como creían
los fariseos (Eclesiastés 9:11)…».

La doctrina de la "omnipresencia divina"
(capacidad de estar presente en todas partes
simultáneamente) se infiltró en el
cristianismo primitivo progresivamente, entre otras cosas porque
parece que algunos fariseos se hicieron cristianos y
posteriormente trataron de conjugar sus viejas creencias con las
enseñanzas de Jesucristo. Entonces, tras la muerte del
último apóstol, Juan, hacia finales del primer siglo de
la EC, al no existir ya ninguna "restricción" que frenase
las tendencias apóstatas anticristianas que estaban
floreciendo en el seno mismo del cristianismo (tal como
había sido profetizado previamente por Jesús, Pablo,
Pedro y otros), la doctrina de la omnipresencia cobró
auge.

La inclusión de esta cualidad (la omnipresencia)
entre las capacidades de la divinidad, sumada al atributo de
omnipotencia, ha dado lugar a un conflicto teológico
denominado "Paradoja de Epicuro" o "Problema del mal", según
el cual no debería ser posible el mal en un mundo donde Dios
está en todas partes y es todopoderoso. Éste es uno de
los principales argumentos que esgrimen las llamadas "religiones
deístas" (que consideran que la divinidad es únicamente
creadora del mundo y nada más, sin posterior
interacción con lo creado), contra las denominadas
"religiones teístas" (que atribuyen a la divinidad no
sólo un papel creador, sino también un papel activo o
interactivo con lo creado).

La escolástica medieval cree haber
refutado esta cuestión (el problema del mal) afirmando que
la existencia de todas las cosas deriva de Dios,
pero no son Dios; considerando que Dios es el Ser puro, que
reúne en sí todas las perfecciones, y los demás
entes del universo, al ser creados, recibieron el acto de ser por
participación divina, reuniendo en sí ciertos actos y
teniendo otros en potencia. El mal, entonces, no es considerado
como una creación de Dios, sino como una imperfección
por ausencia de bien, de forma análoga a como se puede
interpretar la oscuridad, no como un ente en sí mismo, sino
como ausencia de luz.

Sin embargo, en buena medida, los
argumentos escolásticos a este respecto han resultado ser
como el humo de un incendio, el cual, si deviene
suficientemente denso, impide ver el fuego que lo produce.
Así, el oportuno uso de una terminología teológica
excesivamente abstracta, ambigua, irreal y rebuscada, capaz de
aburrir y ahuyentar a las mentes científicas más
inquietas, ha sido la estrategia más eficaz empleada por los
astutos escolásticos. Pero, de todas formas, al afirmar que
la omnipresencia es una de las perfecciones de la divinidad, el
olor de la polémica no se pudo desprender de ellos. Por
ejemplo, al asumir la doctrina antibíblica del "infierno de
fuego" no pudieron evitar que algunos de sus propios
correligionarios sinceros se preguntaran de qué manera un
Dios omnipresente y santo pudiera estar (o no estar) fuera de ese
lugar de tormento eterno.

Galileo y el
infinito.

Galileo Galilei nació en Pisa el 15-2-1564, cuando
esta ciudad pertenecía al Gran Ducado de Toscana, y fue el
mayor de sus siete hermanos e hijo de un músico y
matemático florentino llamado Vincenzo Galilei, quien
quería que éste, su hijo mayor, estudiase medicina.
Pero los Galilei eran una familia de la baja nobleza y se ganaban
la vida gracias al comercio, por lo que se encargaron de la
educación de Galileo hasta los 10 años,
edad en la que el niño pasó a cargo de un vecino
religioso llamado Jacobo Borhini cuando sus padres se trasladaron
a Florencia. Por mediación de éste, el pequeño
Galileo accedió al convento de Santa María de
Vallombrosa (Florencia) y recibió una formación
más religiosa que científica y le llevó a
plantearse unirse a la vida religiosa, algo que a su padre le
disgustó. Por eso, Vincenzo Galileo —un señor
bastante escéptico— aprovechó una infección
en el ojo que venía padeciendo su hijo Galileo para sacarle
del convento alegando "falta de cuidados". Entonces, 2 años
más tarde, Galileo fue inscrito por su padre en la
Universidad de Pisa, donde estudió medicina, filosofía
y matemáticas.

En 1583 Galileo se inició en la matemática por
medio de Ostilio Ricci, un amigo de la familia y alumno del
famoso Tartaglia. Ricci tenía la costumbre, rara en aquella
época, de unir la teoría a la
práctica experimental. Atraído por la obra de Euclides,
sin ningún interés por la medicina y todavía menos
por las disputas escolásticas y la filosofía
aristotélica, Galileo reorienta sus estudios hacia las
matemáticas. Todavía estudiante, descubre la ley de la
"isocronía" de los péndulos, primera etapa de lo que
será el descubrimiento de una nueva ciencia: la
mecánica. Murió en Florencia, el 8-1-1642, casi
con 88 años de edad.

Hoy día, en retrospección, Galileo Galilei es
considerado un astrónomo, filósofo, matemático y
físico italiano de altísimo nivel para su época,
relacionado estrechamente con la "revolución científica
occidental", la cual, según se dice, hizo que la ciencia se
librara del estado infructífero en el que estaba empantanada
a causa del dogmatismo religioso que tenía impuesto y que la
encorsetaba. Además de esto, Galileo fue un eminente hombre
del Renacimiento que mostró interés por casi todas las
ciencias y artes conocidas en sus días (música,
literatura, pintura). Sus logros incluyen la mejora del
telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la
primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el
copernicanismo. Ha sido considerado como el "padre de la
astronomía moderna, padre de la física moderna y padre
de la ciencia moderna".

Su trabajo experimental es visto como
complementario a los escritos de Francis Bacon en el
establecimiento del moderno método científico y su
carrera científica es complementaria a la de Johannes
Kepler. Su trabajo se considera una ruptura de las teorías
de la física aristotélica y su enfrentamiento con la
Inquisición católica romana suele presentarse como el
mejor ejemplo de conflicto irresoluble entre religión y
ciencia en la sociedad occidental.

NOTA:

Bien es verdad que Galileo Galilei fue un
científico digno de admiración, pero, como en el caso
de toda otra persona humana imperfecta, tuvo sus defecciones y
algunas de éstas le causaron graves problemas a la hora de
enfrentarse con la Iglesia Católica en Roma, donde fue
citado obligatoriamente y recriminado por ésta mediante el
Tribunal de la Inquisición debido a que las declaraciones
públicas de sus convicciones apolillaban la integridad de la
doctrina católica y, consecuentemente, ponían en
aprietos la autoridad papal y eclesiástica de la época.
Por ejemplo, la revista DESPERTAD del 22-5-1984, página 9,
editada en español y en muchos otros idiomas por la Sociedad
Watchtower Bible And Tract, en un contexto en el que se
señalan delitos fraudulentos cometidos por la casi totalidad
de los más famosos hombres de ciencia de la historia,
declara, en parte:

« Científicos famosos del pasado
no fueron todos tan puros y dedicados como se nos hace creer.
Además de sir Isaac Newton (1642-1727), he
aquí una lista de otros cuyos delitos también han
salido a luz: Claudio Ptolomeo, Galileo Galilei, Gregorio Mendel,
etc., … [En cuanto a Galileo Galilei,] matemático y
astrónomo italiano, conocido por las pruebas que hizo
lanzando pesas desde la torre inclinada de Pisa, fue considerado
el fundador de la ciencia experimental moderna debido a que para
sus respuestas dependía de hechos observables más bien
que de los escritos de Aristóteles. Pero a sus
contemporáneos se les hizo difícil reproducir los
resultados que él obtuvo, y llegó a ser conocido por
sus " experimentos pensados ", lo cual daba a
entender que él se imaginaba los resultados en vez de
observarlos ».

Según Bertrand Russell ("El panorama
de la ciencia", 1951), el conflicto entre Galileo y la Iglesia
Católica fue un conflicto entre el razonamiento inductivo y
el razonamiento deductivo. La "inducción" basada en la
observación de la realidad, propia del método
científico que Galileo usó por primera vez,
ofrecía pruebas experimentales de sus afirmaciones y
publicaba los resultados para que pudiesen ser repetidas, frente
a la "deducción", a partir en última instancia de
argumentos basados en las declaraciones formales de alguna
autoridad considerada incuestionable, ya sea de filósofos
como Aristóteles o de las sagradas escrituras.

El 8 de febrero de 1616, Galileo envía
su "teoría de las mareas" (Discorso del flusso e reflusso)
al cardenal Orsini en un intento de refutar el geocentrismo
(defendido por la Iglesia Católica) y afianzar el
heliocentrismo copernicano (repudiado por la Iglesia). Esta
teoría (a la cual se le ha reprochado durante mucho tiempo
de estar en contradicción con el principio de la inercia
enunciado por el mismo Galileo, y que sólo puede explicar
pequeños componentes del fenómeno) pretendía
demostrar que el movimiento de la Tierra (alrededor del sol)
producía las mareas, mientras que los astrónomos
jesuitas ya postulaban con acierto que las mareas eran producidas
por la atracción de la Luna.

Aunque oficialmente, desde la Iglesia, no
se le instó personalmente, no obstante se le rogó a
Galileo exponer su tesis presentándola como una
hipótesis y no como un hecho comprobado, cosa que el sabio
no hizo a pesar de que no le fue posible demostrar dicha tesis.
Esta intransigencia de Galileo, que rechazó la equivalencia
veritativa de las hipótesis copernicana (heliocentrismo) y
ptolemaica (geocentrismo), pudo haber precipitado los eventos que
le llevaron a un desenlace desfavorable. Un estudio del proceso
por Paul Feyerabend (aparentemente no comprometido con ninguna
ideología religiosa) muestra que la actitud del inquisidor
católico Roberto Belarmino contra Galileo fue al menos tan
científica como la de Galileo, siguiendo los criterios
modernos de la metodología de la ciencia.

En el proceso inquisitorial, que hizo caer
en desgracia a Galileo, se presentaron argumentos que refutaban
el método supuestamente experimental que el sabio decía
utilizar para probar el heliocentrismo como un hecho
consumado, en lugar de una hipótesis. Y lo cierto es que,
frente a las poderosas mentes inquisitoriales y con
el menoscabo añadido de haber cometido fraude en la
declaración de los resultados de determinados experimentos
(tal como expone la revista Despertad citada anteriormente), la
argumentación galileana no pudo menos que perder mucha
fuerza.

Ahora bien, la Iglesia Católica, como
institución, a pesar de haber sido asistida por mentes tan
brillantes como las de Agustín de Hipona, Tomás de
Aquino, Roberto Belarmino y otros, ha fracasado rotundamente en
cuanto a aferrarse a la verdad bíblica y difundirla. Al
haber hecho un sincretismo entre el cristianismo primitivo y las
doctrinas filosóficas de Platón (inmortalidad del alma
humana), Aristóteles y el fariseísmo (omnipresencia
divina), entre otros, ha adulterado la sagrada escritura para que
su mensaje case con creencias de filósofos clásicos
prominentes y determinadas otras enseñanzas
antibíblicas (como las doctrinas del tormento eterno en un
infierno de fuego y una santísima trinidad). Ha tricotado
teóricamente a partir de falsas premisas, usando el
método deductivo, hasta componer una teología que no es
más que un engendro religioso abominable que ofende al Dios
de las sagradas escrituras.

En 1600, Galileo, con cierta ambigüedad,
rechazó la idea del infinito matemático como
paradójica, ya que, según él, atentaba contra la
razón. Galileo llegó a esta conclusión
después de observar que los puntos de dos segmentos de recta
de diferentes longitudes podían hacerse corresponder
biunívocamente, es decir, punto a punto. O sea, el infinito
permitía que la parte fuera del mismo tamaño que el
todo. Otro ejemplo muy utilizado por Galileo, y popular en su
época, fue el del conjunto de los "números cuadrados
perfectos" (un número se dice "cuadrado perfecto" cuando
es un número natural elevado al cuadrado): el
conjunto de los números cuadrados perfectos es apenas una
parte del conjunto de los números naturales, sin embargo
cada número natural es la raíz cuadrada de un
único número cuadrado perfecto (n ® n2); o sea,
ambos conjuntos poseen la misma cantidad infinita de elementos
(el todo, o conjunto de números naturales, tiene el mismo
tamaño o cantidad de elementos que una de sus partes: el
conjunto de los números cuadrados perfectos).

Galileo no escribió ningún libro
sobre los aspectos matemáticos de su trabajo, pero, a pesar
de rechazar por sin sentido el infinito actual, frecuentemente
consideró un segmento de recta formado por un número
infinito de puntos y aceptó el continuo de la recta como un
infinito actual. Esto significa que el sabio italiano necesitaba
aceptar el infinito de la recta para poder desarrollar su trabajo
científico, pero, a su vez, el análisis de la idea le
generaba paradojas insoportables desde el punto de vista de la
razón. ¿Cómo conciliar lo uno con lo otro, si es
que en verdad es posible ello?

Todo indica que ni Galileo ni muchas otras
mentes privilegiadas que vinieron después de él
consideraron reconciliables ambos aspectos, y algunos trataron
incluso de evadir el infinito actual introduciendo artificios
matemáticos que aparentemente eludían la necesidad de
recurrir a dicho concepto.

El indigesto infinito
actual.

Immanuel Kant (1724-1804) coincidía con
Aristóteles al señalar que el límite absoluto es
imposible en la experiencia, es decir, nunca podemos llegar al
infinito (actual). Afirmaba que las cosas existen en el espacio
cuando son percibidas por la mente; en consecuencia, los espacios
infinitos no existirían, ya que no pueden ser percibidos por
la mente tras reflexionar un período de tiempo finito (Kant,
1781).

El gran matemático Karl Friedrich Gauss
(1777-1855), en 1831, enfatizaba su protesta contra el uso del
infinito como algo consumado (infinito actual): "Protesto contra
el uso de una cantidad infinita como una entidad actual;
ésta nunca se puede permitir en matemática. El infinito
es sólo una forma de hablar, cuando en realidad
deberíamos hablar de límites a los cuales ciertas
razones pueden aproximarse tanto como se desee,
mientras otras son permitidas crecer ilimitadamente". Pero Gauss
no fue el único matemático de su época en rechazar
el infinito actual.

También Cauchy (1789-1857) rechazó la idea de
una colección infinita, por razones parecidas a las de
Galileo; es decir, la existencia de una "biyección" (o
estricta correspondencia uno a uno) entre la totalidad infinita y
una de sus partes, lo cual echaba por tierra el axioma euclidiano
de que el todo es mayor que la parte (es decir, que una parte
más pequeña de ese "todo"). Sin embargo, para esa
época la geometría euclidiana comenzaba a ser
cuestionada y poco después fue considerada como un caso
particular de un tipo de geometría no euclidiana. A pesar de
todo, el citado axioma euclidiano permaneció incuestionable
en aquel tiempo.

NOTA:

Euclides (325-265 antes de la EC) fue un matemático
y geómetra griego, al que se conoce como "Padre de la
geometría". Vivió en Alejandría (Egipto) durante
el reinado del faraón helenista Tolomeo I Soter (323-285
antes de la EC) quien, deseando modernizar los tratados de
geometría existentes, encomendó a Euclides escribir una
compilación o refundición completa. El resultado fue
los "Elementos", en 13 volúmenes, a los que posteriormente
se añadieron 2 volúmenes más, atribuidos a
Hipsicles de Alejandría.

Se cuenta que el faraón Tolomeo
preguntó a Euclides si no habría alguna manera más
simple de aprender Geometría, en lugar de tener que estudiar
los "Elementos"; a lo que el autor respondió: "No existe un
camino real hacia la geometría". Los "Elementos" de Euclides
sistematizan todos los conocimientos de su época, estando
ordenadas las enseñanzas a la manera del autor y estando
demostrados los teoremas siguiendo el método
axiomático; es decir, todo se deduce a partir de cinco
axiomas y cinco postulados, cuyas verdades se consideran
evidentes o cuasi evidentes. Los axiomas son:

1.Dos cosas iguales a una tercera son
iguales entre sí.

2.Si cantidades iguales se suman a
cantidades iguales, las sumas son iguales.

3.Si cantidades iguales se restan de
cantidades iguales, las diferencias son iguales.

4.Dos figuras que coinciden son iguales
entre sí.

5.El todo es mayor que cualquiera de sus
partes. Los postulados son:

1.Es posible trazar una línea recta
entre dos puntos cualquiera.

2.Todo segmento puede extenderse
indefinidamente en línea recta.

3.Un círculo puede tener cualquier
centro y cualquier radio.

4.Todos los ángulos rectos son
iguales.

5.Por un punto exterior a una recta no
puede trazarse más que una paralela a ella.

Como quiera que el 5º postulado nunca ha resultado
demasiado evidente, durante mucho tiempo los geómetras
lucharon por demostrarlo a partir de los otros cuatro postulados
y de los cinco axiomas precedentes, sin conseguirlo. A partir del
siglo XIX de la EC surgieron nuevas geometrías llamadas "no
euclidianas", que niegan este postulado o que lo sustituyen por
otros diferentes.

Por ejemplo, una forma equivalente del
5º postulado es "Dos rectas paralelas nunca se cortan", el
cual se sustituye por otro que dice: "Dos rectas
paralelas pueden cortarse en el infinito". De esta manera se
introduce una geometría no euclidiana que alberga a la
euclidiana como caso particular: la geometría euclidiana
vendría a ser una geometría que no se extiende hasta el
infinito, por eso, en su dominio, el 5º postulado puede
afirmar que dos rectas paralelas nunca se tocarán. En
cambio, si extendemos dicha geometría hasta el infinito, el
5º postulado permitiría que ambas paralelas se
interceptaran.

Los "Elementos" de Euclides tuvieron una
influencia enorme sobre los matemáticos árabes y
occidentales, y se han mantenido en vigor como el
exponente máximo de la geometría durante más de
2000 años. Ello se ha debido a la exquisitez teórica
con la que fueron elaborados. Sin embargo, a principios del siglo
XX de la EC, el 5º axioma de Euclides ("El todo
es mayor que cualquiera de sus partes") también fue
cuestionado. ¿De qué manera?

Fue cuestionado de forma similar a como lo fue el
5º postulado, a saber, por medio de introducir la
noción del infinito en el asunto. Al introducirse la idea de
conjunto formado por infinitos elementos, fue fácil probar
que una parte propia de un conjunto infinito puede ponerse en
correspondencia biyectiva con el conjunto completo, dando como
resultado que "el todo es igual a una de sus partes" (ver
página 8, números cuadrados perfectos y conjunto de los
números naturales). Los matemáticos contemporáneos
Bolzano, Cantor y Dedekind contribuyeron decisivamente al
derrocamiento del 5º axioma euclidiano, al aceptar y hacer
aceptar el infinito actual en las matemáticas.

El teólogo y matemático checo Bernhard Bolzano
(1781-1848) fue el primero en tratar de fundamentar la
noción de infinito actual. En su obra póstuma
"Paradojas del infinito" (1851), defendió la existencia de
un infinito actual y enfatizó que el concepto de
equivalencia entre dos conjuntos (nota: dos conjuntos son
equivalentes cuando admiten la biyección) era aplicable
tanto a conjuntos finitos como infinitos. Bolzano, pues,
aceptó como algo normal el que los conjuntos infinitos
fueran equivalentes a una parte propia de ellos mismos. Esta
definición del infinito (a saber: un conjunto es infinito si
y sólo si es equivalente a una parte propia de sí
mismo) fue utilizada posteriormente por Cantor y
Dedekind.

A pesar de que la obra de Bolzano,
"Paradojas del infinito", era más bien de corte
filosófico que matemático, ya que carecía de
conceptos cruciales tales como "conjunto" y "número
cardinal" (potencia), podríamos decir que Bolzano fue el
primer matemático en sentar las bases para la
construcción de una teoría de conjuntos.

Los
transfinitos.

A finales del siglo XIX, Cantor (1845-1918)
desarrolló una teoría formal sobre el infinito actual.
Todos los argumentos dados, señaló Cantor, en contra
del infinito han sido insensatos, ya que han tratado la
aritmética de los números infinitos como una
extensión de la aritmética de los números finitos.
Uno de los objetivos de su obra "Grundlagen" era demostrar que no
había ninguna razón para aceptar las viejas ideas en
contra del infinito actual. Si los conjuntos infinitos se
comportan de manera diferente a los conjuntos finitos no quiere
decir que éstos sean inconsistentes, sino que obedecen a una
aritmética diferente.

Cantor demostró, contra la famosa
paradoja de "la aniquilación de lo finito por lo infinito"
("a + 8 = 8", página 3), que los números
infinitos eran susceptibles de ser modificados por los
números finitos. Esto lo hizo por medio de introducir en
1897 la noción de " números ordinales transfinitos". En
la "teoría de números ordinales infinitos o
transfinitos" (se llama "número cardinal transfinito" al que
expresa la cantidad de elementos que tiene un conjunto infinito,
y se llama "número ordinal transfinito" al que expresa el
orden más allá de lo finito que ocupa un elemento
alejado infinitamente de otro elemento que lo antecede en un
conjunto infinito que está "bien ordenado") se hace
distinción entre "w" ( primer ordinal transfinito) y "w +1",
demostrándose, dentro de la teoría de los números
transfinitos, que los números finitos podían ser
sumados a los números infinitos sin ser
aniquilados.

Así, pues, en el caso infinito, los ordinales
ofrecen una distinción mas fina que los cardinales, que
sólo representan la cantidad de elementos. Por tanto,
mientras sólo existe un cardinal infinito numerable, qu es
À0 (alef-sub-cero), existen infinitos ordinales infinitos y
numerables, a saber: w, w+1, w+2, w+3, … , w·2,
w·2+1, w·2+2, …, w·n, w·n+1, … ,
w2, …, wn, … , ww, … , los cuales se
corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto
infinito de los números naturales.

Por otra parte, Cantor también
rechazó la distinción aristotélica entre infinito
actual e infinito potencial, ya que, según
Cantor, en matemáticas todo infinito potencial presupone la
existencia de un infinito actual. En efecto, al ser atemporales
(esto es, la noción de tiempo no está definida), las
matemáticas no pueden albergar la noción
de cambio, movimiento o progreso en el tiempo, sino que cualquier
cambio u operación matemática se considera actual o
atemporal. De hecho, si en una teoría matemática se
tuviera en cuenta la dimensión del tiempo, entonces,
automáticamente, dicha teoría pasaría al campo de
la Física.

Georg Cantor fue el creador de la
teoría de conjuntos transfinitos y, siguiendo los pasos de
Bolzano, consideró que la idea de una biyección
sería el principio básico para comparar conjuntos
infinitos. Si existe al menos una biyección entre dos
conjuntos, podemos decir que dichos conjuntos son equipolentes,
equipotentes o que tienen la misma potencia. El término de
potencia de un conjunto dio paso al término de número
cardinal o cardinal de un conjunto (cantidad de elementos de ese
conjunto).

Infinita cantidad de
infinitos.

El conjunto de los números naturales
se denota por N y está formado por toda la infinidad de
números que sirven para contar, hecho que se representa
así:

La representación de N en la recta
numérica es así:

N = {1, 2, 3, 4, … }

Como N carece de último elemento (es decir, se
prolonga hasta el infinito), debe tener una cantidad infinita de
elementos y a dicha cantidad se la llama CARDINAL o POTENCIA de
N, y se la denota por "card(N)". Dicho cardinal se conoce
también como POTENCIA DEL NUMERABLE y es el infinito
más pequeño que existe, esto es, no hay un infinito
matemático menor que "card(N)". George Cantor designó a
dicho cardinal como "??"(alef-sub-cero).

El conjunto de los números enteros se forma a
partir de los números naturales, dando signos negativo y
positivo a éstos y añadiendo el cero. Se denota por Z y
está formado por toda la infinidad de los números
positivos y negativos, hecho que se representa
así:

Z = { … -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,
… }

También, los números positivos pueden
escribirse sin el signo + delante, con lo que entonces Z se
podría expresar así:

Z = { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
… } La representación de Z en la recta numérica
sería: