Elementos de mecánica celeste

1 s Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
Elementos de Mecánica Celeste Elements of Celestial
Mechanics Alexander Moreno Sánchez Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica Bogotá. D. C,
Colombia. amorenosa@unal.edu.co Recibido 01-03- 2013; Aceptado 30
– 03- 2013; Publicado en línea 10 – 05 – 2013 Resumen
Siendo la mecánica celeste uno de los grandes
capítulos de las ciencias físicas, de gran belleza
y de enorme sentido organizacional, se presenta una corta
introducción de algunos elementos propios de la misma, se
muestran algunas ecuaciones generales que fundamentan las
deducciones analíticas y las predicciones fabulosas que
permite hacer la mecánica celeste. PACS : 45.50.Pk,
95.10.Ce Palabras Claves: Mecánica newtoniana, leyes de
Kepler, ecuaciones orbitales, integrales de movimiento. Abstract
Celestial mechanics being one of the greatest chapters in the
physical sciences, of great beauty and enormous organizational
sense, we present a short introduction to some elements of it,
are some general equations underlying analytical deductions and
predictions fabulous which allows celestial mechanics. PACS :
45.50.Pk, 95.10.Ce Keywords: Newtonian mechanics, Kepler’
laws, orbital equations, integrals of motion. c 2013. Centro
Colombiano de Cosmología y Astrofísica. Todos los
derechos reservados. Introducción En estos días que
se investiga, se pública, se anuncia y se desarrollan
grandes proyectos cienti…cos; a mi parecer, nos olvidamos
de algunos campos de la ciencia que han contribuido de forma sin
igual a la comprensión y al desarrollo de la humanidad,
sabemos de los grandes adelantos en materia espacial, de lo
importante que resultan los satélites arti…ciales
para mejorar y construir nuestra tecnología moderna, y
ahora que nos intimada una posible colisión con un cuerpo
espacial, sí que toma mayor importancia recordar, y para
aquellos estudiosos comprender, como es que se mueven los cuerpos
en el espacio, la causa y efecto de su movimiento, la
descripción física de las órbitas, en
…n, por ello es previsible, que la mecánica celeste
tome mayor importancia, por lo menos en los centros de estudio,
ya que sin éste importante campo de las ciencias
físicas, quizá, no seamos capaces de sobrevivir en
el futuro próximo.

3 2 3 r 1 2 Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL Este corto
y escueto trabajo no pretende sustituir los principios
teóricos completos, ya que existen portentosos tratados
sobre esta ciencia los cuales permiten alcanzar un nivel de
comprensión único en este campo de estudio, solo se
muestran algunos desarrollos importantes, se tocan algunos temas
muy especiales y se intenta dar una visión de las
complejidades propias de los sistemas gravitantes. Ahora
bién, si el lector se interesase de forma especial por
algún tema partícular deberá acudir a la
literatura especializada, ya que aquí simplemente se desea
crear cierta motivación hacia estos temas[1][2][3].
Dinámica Fundamental La mecánica celeste conjuga de
manera única y elegante la teoría mecánica
newtoniana y la teoría matemática clásica
analítica, para describir gracilmente el movimiento
planetario alrededor del sol, los satélites alrededor de
sus planetas, los pares estelares, el movimiento de cometas y
asteroides, entre otros muchos cuerpos que gravitan de manera
elegante en el universo. Desde el punto de vista
histórico, se considera como punto de partida las
conocidas y clásicas leyes de Kepler para el movimiento
planetario 1. La órbita de cada planeta es una elipse con
el sol en uno de sus focos. 2. El radio vector que une el sol con
el planeta barre áreas iguales en intervalos de tiempo
iguales. 3. La razón entre los cuadrados de los periodos
de dos planetas cualesquiera es igual a la razón entre los
cuadrados de su distancia media desde el sol. Además desde
el punto de vista fundamental, la única, elegante y
hermosa ley de la gravitación universal, concebida por
Newton, establece que si dos partículas de masa m1 y de
masa m2 están situadas a una distancia r de
separación mutua, cada partícula atrae a la otra
con una fuerza de…nida por Gm1 m2 =r2 , donde G es una
constante universal y las fuerzas reciprocas actuan sobre la
línea que une las partículas[1]. Movimiento bajo
una fuerza central Cuando la fuerza resultante sobre una
partícula causa un movimiento acelerado alrededor de un
punto …jo, el movimiento se llama de fuerza central, en
donde dicho punto …jo se conoce como centro de fuerzas,
este tipo de movimiento es bastante frecuente en muchos tipos de
sistemas planetarios y estelares, los planetas se mueven en
órbitas tales que la fuerza de atracción debido al
sol siempre pasa a través del mismo punto; por ejemplo, en
un sistema de dos estrellas, una de ellas gira alrededor de la
otra bajo la acción de la fuerza gravitacional. Ahora
bién, se pueden derivar varias propiedades importantes del
movimiento producido por una fuerza central, las cuales son
independientes de la forma análitica precisa de la ley de
fuerzas, en partícular muchas aplicaciones
astronómicas involucran la ley del cuadrado inverso de
Newton. En consecuencia tenemos los siguientes resultados[1][10]
3.1 Ley de las Áreas Entonces, considérese una
partícula de masa m en una posición r, relativo a
un origen …jo o, y si la partícula describe una
curva c; bajo la acción de una fuerza central F , la cual
puede estar dirigida hacía el centro o o hacía
afuera del centro o, por lo tanto para una masa constante la
seguna ley de Newton puede establecerse como[1][7][10] mv = F ur
, considerando, el producto vectorial con el vector de
posición r (1) mv = r F ur = 0 . (2) Ahora, podemos
considerar la velocidad areal (razón de cambio del
área barrida con el tiempo), de…nida como A = 1 2 r
v = 2 r uA , (3) 2

3 2 d 2 (6) 3.2 1 2 Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL donde uA es
un vector unitario perpendicular a r y v , es decir perpendicular
al plano instantáneo de…nido por estos vectores,
entonces se concluye que una partícula de masa m que se
mueve bajo una fuerza central describe una órbita la cual
yace en un plano. Si la magnitud de la velocidad areal es 1 h;
entonces el área descrita en un tiempo t está dada
por A = 1 2 ht + c , (4) de lo anterior se concluye, que para
cualquier fuerza central, la segunda ley de Kepler del movimiento
planetario se mantiene, es decir A = cte , (5) la cual es la
segunda ley de Kepler, "en periodos iguales se barren
áreas iguales", el área barrida por el radio vector
es directamente proporcional al tiempo, el inverso de esto
también es cierto, si el área barrida por el radio
vector es directamente proporcional al tiempo, la fuerza es una
fuerza central. Asumiendo A = pt + q; tenemos A = p entonces r2 =
2p , por lo tanto (r ) = 2rr + r2 = 0 , dt es decir 2rr + r2
expresión que corresponde a la aceleración la cual
es cero, quiere decir esto que no hay aceleración, por lo
tanto no hay ninguna fuerza perpendicular a r , en consecuencia
la órbita yace sobre un plano. Velocidades Lineales y
Angulares Otros resultados cinemáticos se siguen del
movimiento bajo una fuerza central. De tal modo que si p denota
la distancia perpendicular del origen o a una tangente T sobre la
trayectoria de la partícula, tenemos[1][7] con la cual se
puede obtener 2A = r v = huA , (7) v = h p , (8) donde p = rsen ,
y v la velocidad lineal de una partácula moviéndose
bajo la acción de una fuerza central, es inversamente
proporcional a la distancia perpendicular desde o a la tangente
instantánea a la órbita, por lo tanto A = 1 2 r v ,
(9) de tal forma que la velocidad angular de la partícula
en p está dada por = h r2 , (10) por lo tanto se puede
establecer que r2 = 2p . (11) De este modo puede decirse que la
velocidad angular de una partícula moviéndose bajo
la acción de una fuerza central varía inversamente
proporcional con el cuadrado de la distancia desde el origen a la
partícula, así que A = 2 r uA . 3 (12)

3 3.3 d 1 d 2 , 1 Z (18) dr , Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA
CENTRAL Integrales de momentum angular y energía De la
segunda ley de Newton deducimos las ecuaciones de movimiento de
una masa m que son[1][7][10] mv = F ur , (13) L = r mv = r F ur =
0 , (14) esto implica que el momentum angular L de una
partícula moviéndose bajo una fuerza central
permanece constante en magnitud y dirección, esto implica
que el momentum angular es perpendicular al plano órbital
L = r mv = mr2 uA . (15) Entonces la integral de la
ecuación de movimiento de la partícula implica que
el momentum angular es constante y vale mh; ahora, mv v = F v ur
; pero v v = dt ( 2 v v) = dt ( 1 v2 ) , asi que ur es
perpendicular a u , en consecuencia por lo tanto tenemos vur =
(rur + r u )ur = r , (16) d 1 ( mv2 ) = F dt 2 dr dt (17) y
suponiendo que F solo depende de la longitud del radio vector r ,
es decir F = F (r); de tal forma que integrando obtenemos mv2 = F
(r)dr + E , 2 esto quiere decir que el trabajo hecho por F en el
cambio de posición es la integral a lo largo de la
órbita. Tenemos que F = F (r)ur es una fuerza
conservativa, por tanto, existe una energía potencial V
(r) tal que F (r) = dV , de tal modo que se puede escribir 1 2
mv2 + V (r) = E , (19) la cual establece que la energía
cinética más la energía potencial de una
partícula moviéndose bajo la acción de una
fuerza central es constante, ley de conservación de la
energía, así que E, constituye una segunda integral
de movimiento, que conduce a la siguiente expresión v = r
2(E V (r)) m (20) y como la raíz solo depende de r, se
observa que la velocidad para todas las órbitas que tienen
la misma enegía total, sin consideración de sus
formas, es la misma a una distancia dada r desde el centro de
fuerzas. 3.4 Ecuación de la órbita Si se denota la
fuerza por F (r);entonces las ecuaciones de movimiento obtenidas
de la segunda ley de Newton, en coordenadas polares son[1][7] 2
m[r r ] = F (r) , (21) mr2 = mh , 4 (22)

3 d 2 1 r ) m r , 1 n , d du 2 , d du 2 , d du 2 Z Z du 2 ( r u u
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL este conjunto de ecuaciones
constituye un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo
orden que debe conducir a cuatro constantes de
integración, no obstante ya se han encontrado dos de
ellas, según se mostró en los apartados anteriores,
las cuales son las integrales de momento angular y de
energía, las otras dos integrales se obtienen de la
solución de las ecuaciones de movimiento, pero para ello
se requiere …jar dos condiciones iniciales, las cuales
permitiran …jar la órbita completa. Si
de…nimos u = , con lo cual, = hu2 ; r = 2 h2 u2 ( d u );
en consecuencia obtenemos m[ hu2 ( d2 u d 2 h2 u3 ] = F (r) ,
(23) la cual conduce a d2 r dt2 1 h2 = F (r) + 2 . (24) La
ecuación diferencial obtenida para u como función
de conduce a la ecuación polar de la órbita, cuando
la ley de fuerzas es conocida y si se realiza una expasión
en términos de u d2 u d 2 + u = 1 F ( u ) mh2 u2 (25)
ahora bién, si suponemos que la fuerza varía como F
(r) = rn , entonces F ( u ) = u ; con lo cual d2 u d 2 + u = u n
mh2 2 (26) con algunas manipulaciones algebraicas, obtenemos 2 [(
) + u2 ] = d d ( 2 mh2 )( n 1)u n 2 du d (27) la cual se puede
simpli…car para obtener [( ) + u2 ] = d d u (n+2) du d
(28) donde es una constante, ahora integrando una vez, es decir
obtenemos [( ) + u2 ]d = d d du u (n+2) d , d (29) d ) + u2 = n
+1 u (n+1) + c , (30) donde c es una constante de
integración, por lo tanto se obtiene du d = c u2 + ( n +1
)u (n+1) , (31) y si se integra nuevamente Zu0 du[c u2 + ( n +1
)u (n+1) ] 1=2 = Z 0 d , (32) obtenemos Zu0 q c du u2 + ( n+1 )u
(n+1) = 0 con n 6= 1, (33) 5

3 Z Z R 1 Z , , , , Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica donde u0 y 0 son puntos iniciales sobre la
órbita. MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL Cuando se
conoce n; la ecuación anterior de…ne u como una
función de , ésta se conoce con el nombre de
ecuación polar de la órbita. La integral anterior
es de la forma (a + bu2 + cu n 1 ) 1=2 du , (34) cuando n es un
entero, resultaran funciones trigonométricas si n es menor
de 2, de tal modo que n está restringido a n = 1; n = 2 ,
n = 3, sin embargo, n = 1 ya fue excluido, entonces solo queda n
= 2 y n = 3. Si consideramos n = 1; la integral se convierte en
(a + bu2 + cu 2 ) 1=2 du , (35) la cual se puede expresar como
(au2 + bu4 + c) 1=2 udu; que con la sustitución v = u2 se
obtiene (bv2 + av + c) 1=2 dv , (36) 2 al realizar la integral
conduce a funciones trigonométricas. De este modo se puede
concluir que cuando una fuerza central varía como rn ,
cuando n = +1; 2; 3 , la ecuación polar de la
órbita puede ser expandida en términos de funciones
trigonométricas. En el caso de potencias superiores de r
esto conduce a soluciones en términos de funciones
circulares. Puede mostrarse en general que cuando n = +5; +3; 0;
4; 5; 7 , la ecuación polar de la órbita se expresa
en términos de funciones elípticas[1]. 3.5 Fuerza
cuadrática Inversa En muchas aplicaciones
astronómicas se considerá la fuerza central como
una fuerza inversa cuadrática, que como se conoce fue
propuesta por Newton, la cual tiene la siguiente forma[1][7] F
(r) = GM m r2 (37) donde G es la constante gravitacional de
Newton, que junto con M constituyen la "potencia" o "intensidad"
de la fuerza central, y m es la masa del cuerpo que está
siendo acelarada, que en términos del cambio de variable
propuesto anteriormente, se puede expresar como 1 F ( ) = u GM m
1=u2 (38) en consecuencia, esta forma de la ley de fuerzas
conduce a la siguiente ecuación de movimiento d2 u GM d 2
+ u = h2 , que sí se integra, permite obtener la siguiente
solución (39) u = A cos( 0 ) + GM h2 , (40) de tal modo
que en términos de r tenemos r = 1+ h2 =GM Ah2 ( GM ) cos(
0 ) (41) ésta es conocida como ecuación polar de la
órbita. Ahora bién, la ecuación
estándar de una sección cónica, en
coordenadas polares es r = p 1 + e cos( 0 ) (42) 6

3 p e , du 2 ( d u2 d 1 du = du 2 r h2 d h d ; 1 du GM r mh2 : 2E
d h r r h h Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL donde e es
la excéntricidad, manera es la distancia del foco a la
direcctriz, entonces podemos relacionar de la siguiente p = h2 GM
, e = Ah2 GM (43) de la geometría análitica se sabe
que los paramétros p; e determinan la forma de la
sección cónica, y entre otras cosas se sabe que si
e < 1 , la cónica es una elipse e = 1 , la
cónica es una parábola e > 1 , la cónica
es una hipérbola Estos parámetros
geométricos dependen de las constantes de
integración A y de las constantes físicas del
sistema h , G , M: Por lo tanto, podemos considerar la siguiente
ecuación de movimiento d ) + u2 = 2GM u h2 + c , (44) el
vector velocidad en la órbita se puede expresar como v
=rur + r u , así que podemos obtener las siguientes
expresiones r = siguiente (45) h du , r = hu , con esto obtenemos
lo v = [(h d ) + h2 u2 ]1=2 (46) además tenemos que 2
tanto ( du )2 = = = GM u la cual corresponde a la energía
potencial por unidad de masa, por lo con estas expresiones
llegamos a v2 = 2GM u + ch2 , y bajo algunos procedimientos
algebraicos adicionales conduce a (47) 1 2 1 mv2 GM mu = mch2 , 2
(48) expresión que corresponde a la energía total
de la partícula bajo una fuerza central de tipo inverso
cudrado, que se puede expresar como E = 1 2 mv2 GM mu , (49)
así que podemos obtener el valor de la constante de
integración c = Para el eje transversal de la
cónica r = h du = 0; implica que u2 2GM u h2 2E mh2 =0 ,
(50) esto es una cuadrática en u cuya solución se
puede expresar como GM u = 2 [1 1+ 2Eh2 mG2 M 2 ] , (51) esta
expresión permite determinar los valores máximos y
mínimos sobre el eje transversal de la cónica, de
tal modo que estos valores son GM GM umax = 2 + A = 2 [1 + 1 +
2Eh2 mG2 M 2 ] , (52) 7

3 h h r h r , 2 r , 3.6 , , , , Centro Colombiano de
Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA
CENTRAL umin GM = 2 GM A = 2 [1 1+ 2Eh2 mG2 M 2 ] , (53) de este
modo tenemos GM A = 2 1+ 2Eh2 mG2 M 2 (54) Ah pero como e = GM ,
por lo tanto se llega a una relación fundamental entre la
excentricidad y la energía total de la partícula,
de tal forma se pude escribir como e = 1+ 2Eh2 mG2 M 2 (55) y
así se tiene que si 1. E = 0; e = 1 , la órbita es
una parábola 2. E < 0; e < 1 , la órbita es
una elipse 3. E > 0; e > 1 , la órbita es una
hipérbola Ecuación polar de la órbita Si
consideramos un punto …jo o y una línea …ja
AB a una distancia D de o y si suponemos que un punto P en el
plano de o y AB se mueve de manera que la relación entre
su distancia al punto o a su distancia a la recta AB es siempre
igual a una constante positiva e. Por lo tanto, la curva que
describe P expresada en cooordenadas polares (r; ) está
dada por[1][10] r = p 1 + e cos (56) donde el punto o se llama
foco, la línea AB directriz, y el radio e es la
excentricidad. La curva frecuentemente se llama sección
cónica debido a que puede obtenerse por la
intersección de un plano y un cono a diferentes
ángulos, y como se anotó anteriormente existen tres
cónicas según el valor de la excentricidad. 1.
Parábola : E = 0; e = 1: La ecuación de la
parábola se puede expresar como r = p 1 + cos (57) ahora
si q denota la distancia del foco al vértice, tenemos p =
h2 GM = 2q , (58) así que obtenemos la ecuación de
la órbita r = 2q 1 + cos( 0 ) (59) y la velocidad en la
órbita a una distancia r desde el centro de fuerzas es vp
= r 2GM r (60) se conoce como velocidad de escape del centro de
fuerzas. 2. Elipse: E < 0; e < 1 Si C es el centro de la
elipse y CV = CU = a es la longitud del semieje mayor, entonces
la ecuación de la elipse puede escribirse como 8

3 , p , , GM h2 p (66) , 1 p (69) p 1 p (70) . Centro Colombiano
de Cosmología y Astrofísica MOVIMIENTO BAJO UNA
FUERZA CENTRAL r = a(1 e2 ) 1 + e cos (61) Nótese que el
eje mayor es la recta que une los vértices V y U de la
elipse con una longitud 2a, si b es la longitud del semieje menor
y si c es la distancia CO desde el centro al foco, entonces
tenemos el siguiente resultado c = a2 b2 = ea , (62) y como en el
caso anterior si q denota el radio vector del vértice de
la elipse cerca del origen, y si q0 denota el radio vector a la
distancia máxima desde el origen, de hecho el origen es el
foco, pero como el semieje mayor es 2a , entonces q = p 1+ e , q
= p 1 e (63) de este modo q + q = 2a , (64) por lo tanto para la
elipse se encuentra que p = a(1 e2 ); así que la
ecuación de la elipse puede escribirse como r = a(1 e2 ) 1
+ e cos( 0 ) (65) de otra parte como p = , la velocidad areal que
es constante está dada por h = GM a(1 e2 ) , de esta forma
se puede encontrar una expresión para la energía,
la cual es E = GM m 2a (67) también se puede encontrar la
velocidad a una distancia r desde el centro de fuerzas, dada por
v2 = GM [ 2 1 r a ] , (68) Según los resultados anteriores
se puede deducir una expresión para el período en
una órbita eliptica. Si A denota el área barrida
por el radio-vector en un tiempo t , entonces tenemos A = GM a(1
e2 )t + c , 2 donde c es una constante de integración.
Así que, en un período el radio vector barre una
área donde el semieje menor es b = ap1 ab = a2 1 e2 = GM
a(1 e2 ) , 2 e2 , entonces el período está dado por
2 a3=2 = pGM (71) Lo anterior corresponde a la tercera ley de
Kepler. Aquí M es cercanamente la misma para cada planeta
y es aproximadamente la masa del Sol. 3. Hipérbola E >
0; e > 1 La hipérbola consta de dos ramas, que son
asintóticas a dos rectas llamadas asíntotas que se
cortan en un punto llamado centro denotado por C, la distancia CV
= a del centro al vértice V se llama semieje mayor, y el
9

4 , , p (74) , 4 4.1 Centro Colombiano de Cosmología y
Astrofísica EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS eje mayor es la
distancia entre los vértices V y U . De tal modo que la
ecuación de la hipérbola puede escribirse como r =
a(e2 1) 1 + e cos (72) también, puede decirse que una
elipse puede de…nirse como el lugar o trayectoria de todos
los puntos cuya suma de las distancias, desde dos puntos
…jos es una constante. En términos de lo anotado
anteriormente, tenemos que 2a denota el eje transverso de la
cónica, en consecuen- cia la geometría de la
órbita indica que p = a(e2 1) , de tal modo que r = a(e2
1) 1 + cos( 0 ) (73) y como en los casos anteriores la velocidad
areal es constante, dada por y la energía total dada por h
= GM a(e2 1) , E = GM m 2a (75) de igual forma podemos determinar
la velocidad a una distancia r desde el centro de fuerzas, dada
por 2 1 v2 = GM [ + ] , r a (76) Como se había mencionado
anteriormente, en lo deducido anteriormente, está
implicita la primera ley de Kepler[1]. El Problema de los dos
Cuerpos En física este es una de los problemas
paradigmáticos, se tienen resultados clásicos y
cuánticos, pero aquí, se considerará la
solución clásica apropiada para consideraciones de
mecánica celeste, de tal forma que se asumirá que
las masas involucradas son esfericamente simétricas y
homógeneas en capas concéntricas, en consecuencia
se atraen las masas una a otra como si la masa de cada una
estuviese concentrada en el centro de la esfera, de forma
más simple es como si se tuviesen dos partículas
con masa a una distancia igual a la distancia entre los centro,
igualmente se resalta que las dos masa están
su…cientemente aisladas de otras masas, en consecuencia
unicamente tenemos una fuerza cuadrática inversa de
atracción mutua a lo largo de la línea que une los
centros. Por lo tanto, la dinámica del movimiento
resultante permite evidenciar dos problemas relevantes para la
mecánica celeste 1. Dada la posición y velocidad en
el espacio de una masa puntual como función del tiempo,
encontrar los elementos geométricos de la órbita 2.
Dados los elementos orbitales, o parámetros, de…nir
la forma y orientación del camino dinámico, para
encontrar la posición de las masas en un instante
dado[3][4][5] Movimiento del centro de masa Si imaginamos un
sistema de referencia inercial con o como origen del sistema y
dos masas localizadas por los vectores de posición r1 , r2
, ahora, si consideramos que R es el vector de posición
del centro de masa, y r; de…ne el vector de
posición de m2 relativo a m1 . Por lo tanto según
la ley de gravitación universal, la fuerza sobre m1 debida
a m2 está dada por F12 = k2 m1 m2 r2 ur , (77) 10

4 Z Z 0 0 0 0 0 r1 y 0 0 0 0 0 m1 m2 0 0 r3 m2 m1 0 0 r2 0 2 M 2
(r1 ) Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS de igual forma se puede considerar
la fuerza sobre m2 debida a m1 dada por F12 = k2 m2 m1 r2 ur ,
(78) en estas expresiones se considerá k2 como constante
gravitacional universal, diferente a G, debido a considera-
ciones de tipo algebraico, ahora bien, podemos considerar las
ecuaciones de movimiento para las masas, dadas por m1 r1 = k2 m1
m2 r2 r ; (79) m2 r2 = k2 m2 m1 r2 r ; (80) en consecuencia si
reliazamos la respectiva integración del sistema se
obtiene ((m1 r1 + m2 r2 )dt)dt = m1 r1 + m2 r2 + c1 t + c2 t ,
(81) está integral debe ser nula, ya que la suma de las
fuerzas gravitacionales es cero y además ninguna fuerza
externa actua sobre el sistema, por lo tanto, tenemos m1 r1 + m2
r2 = c1 t + c2 t , entonces, si el lado izquierdo es M R por la
de…nición de centro de masa, se puede obtener m1 r1
+ m2 r2 = M R , así que, (82) (83) R = c1 M t + c2 M ,
(84) lo cual índica que el centro de masa se mueve sobre
una línea recta en el espacio, donde M es la masa total
del sistema[1][5][6] 4.2 Movimiento relativo El movimiento de m1
y de m2 relativo al centro de masa se puede considerar de la
siguiente manera r1 = R + r1 , r2 = R + r2 , donde r1 ; r2
denotan el vector de posición de m1 y de m2 respecto al
centro de masas, entonces r = r2 como R = 0 , tenemos que m1 r1 =
m1 r1 ; m2 r2 = m2 r2 ; por lo tanto (85) (86) (87) m1 r1 + m2 r2
= k2 (r2 r1 ) k2 (r2 r1 ) , (88) así que después de
algunas manipulaciones algebraicas podemos obtener lo siguiente
r1 = m3 r k ( 2 ) 01 3 , 11 (89)

4 0 ) 0 . 1 0 M 2 (r1 )3 2 0 2 M 2 (r2 ) ^ ^ (94) { | { | p 1 3
Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica EL
PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS r2 = k2 ( m3 r2 M 2 (r2 )3 (90) Esto
corresponde a las aceleraciones de las masas m1 ; m2 relativas al
centro de masa, por ende podemos conocer las respectivas
posiciones en cualquier instante resolviendo las ecuaciones
anteriores, pero nos encon- tramos con dos constantes de
integración, las cuales no son conocidas, además no
existe forma de determinarlas absolutamente, ya que ellas estan
de…nidas respecto a un origen …jo en el espacio,
por ello, debemos restringirnos a una solución para el
movimiento relativo de una masa respecto de la otra. Entonces, no
podemos encontrar una solución absoluta, es decir conocer
la posición de cada masa en todo tiempo, debido al
desconocimiento de c1 ; c2 surgidas de la integración de
las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto, si nos restringimos a
considerar m1 en el origen del sistema de referencia, se obtiene
r1 = k2 ( m3 r1 ) 0 = 0; (91) r = m3 r k ( 1 ) 02 3 , (92) la
cual bajo algunas operaciones algebraicas obtenemos r = k2 M r3 r
, (93) en consecuencia, el problema de dos cuerpos se redujo al
problema de un cuerpo, ya que m2 es la masa que se mueve
alrededor de m1 , esta expresión es la que nos
permitirá determinar órbitas y paramétros.
Bueno, solo que para algunos …nes es conveniente expresar
esta expresión en términos de coordenadas
cartesianas, la cual es (x^ + y^ + zk) = kM (x2 + y2 + z2 )1=2
(x^ + y^ + zk) . La solución de la ecuación
anterior introduce doce constantes de integración, las
cuales necesariamante se deben de …jar mediante las
condiciones iniciales, pero ignorando el movimiento del centro de
gravedad, se reduce el número a seis constantes de
integración. Ahora bien, si conocemos la posición,
es decir tres componentes de posición, y la velocidad,
también tres componentes, se pueden encontrar las seis
constantes de integración. Sin embargo, estas cantidades
no están disponibles en aplicaciones astronómicas,
para subsanar esto, se debe considerar las coordenadas
geométricas de la masa durante al menos tres instantes
diferentes y de allí deducirse las componentes de
velocidad, esto quizá sea uno de los problemas de la
teoría orbital[1][10]. 4.3 Integral de las áreas El
movimiento relativo de m2 al rededor de m1 de forma estricta se
considera como un movimiento bajo una fuerza central, por lo
tanto la velocidad areal es constante, que según el
tratamiento hecho anterior y siguiendo los desarrollos
algebraicos convencionales, se puede expresar como 1 2 1 2 (yz
(xz yz) = xz) = 1 2 1 2 c1 , c2 , (95) (96) 1 1 (xy xy) = c2 ,
(97) 2 2 donde h = c2 + c2 + c2 y si son dadas las cooordenadas
iniciales y las componentes de velocidad, se pueden determinar
las constantes. En lo mostrado anteriormente, se han ilustrado
algunos elementos para la determinación matemática
de las órbitas planetarias, la determinación de las
constantes de movimiento, y los parámetros físicos
relevantes, este 12

5 5 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
SERIE DE MOVIMIENTOS DE LA TIERRA esquema teórico, de
forma sistemática se programa en un entorno computacional
el cual permite determinar, de forma precisa las órbitas,
y condiciones necesarias en el movimiento de los cuerpos
celestes, hoy día procedimento rutinario en algunos
centros, otrora trabajos de muchisimas horas. En lo que sigue se
reportaran algunos fenoménos …sicos importantes,
originados en el movimiento planetario, y cuyo fondo de estudio
es la mecánica celeste[1][10]. Serie de movimientos de la
Tierra Se conoce de investigaciones seguidas durante mucho
tiempo, que la Tierra posee alrededor de catorce movimi- entos, a
saber[7][8][9]: 1. Rotación Oeste-Este, la cual toma 23
horas, 56 minutos, su efecto es la sucesión de los
días y las noches, para ser precisos, se de…ne el
día solar medio como el promedio del día solar
verdadero, que corresponde con el tiempo civil y que equivale a
86.400 segundos, unidad que actualmente se de…ne a partir
de propiedades atómicas muy precisas, lo cual permite
medir las diferencias con el día solar verdadero. Es
así como se denomina día al lapso que tarda la
Tierra desde que el Sol está en el punto más alto
sobre el horizonte hasta que nuevamente vuelva a estar en la
misma localización, esto no es más que una forma de
medir el tiempo, además se sabe de la observación
astronómica que dependiendo de la referencia que se use
para medir la rotación terrestre, se puede hablar de
tiempo solar o de tiempo sidéreo, el primero toma como
referencia al Sol y el segundo toma como referencia a las
estrellas. Es convencional considerar el "día" como
día solar medio, base del tiempo civil, que se divide en
24 horas, de 60 minutos, de 60 segundos, y dura, por tanto,
86.400 segundos. El día sidéreo o día
sideral es el lapso transcurrido entre dos culminaciones, o
tránsitos, sucesivos del primer punto de Aries, o
equinoccio Vernal. Se podría de…nir igualmente
respecto al primer punto de Libra. El día sidéreo
es 4 minutos más corto que el día solar medio. 2.
Revolución Anual, la cual se da alrededor del Sol en
366.24 días siderales, como consecuencia tenemos la
aberración de la luz, y el día solar se hace
más largo que el sideral. El periodo de rotación de
la Tierra es aproximadamente 24 horas ( exactamente 23.9344 h =
86.164 s = 1 día sidéreo) 3. Precesión de
los Equinoccios, la cual toma 25.765 años aproximadamente,
que corresponde a 50" de arco por año, esto trae como
consecuencia que, el año trópico dure 20 minutos de
arco menos que el año sideral, que los signos del
zodíaco no tengan una posición …ja en las
constelaciones y que los polos celestes cambien paulatinamente de
posición. Se denomina año trópico o
año tropical al tiempo preciso requerido para aumentar la
longitud media del Sol en 360 grados sobre la eclíptica;
es decir, en completar una vuelta completa. Su duración es
de 365,242198 días de tiempo solar medio (365 días
5 h 48 m 45,9 s). Debido a la precesión de los equinoccios
y a la nutación, este tiempo es distinto al que media
entre dos pasos sucesivos del Sol por el equinoccio de primavera;
es decir, entre dos pasos sucesivos por el llamado primer punto
de Aries. Para comprender la diferencia con el año
sidéreo se debe tener en cuenta la precesión de los
equinoccios. Cuando se hace referencia a un equinoccio o a un
solsticio, se habla del punto de la órbita terrestre en
que el eje de rotación de la Tierra se alinea (solsticio)
o se sitúa perpendicular (equinoccio) a la línea
imaginaria Sol-Tierra. Resulta que ese eje, debido a la citada
precesión de los equinoccios, da una vuelta sobre la
perpendicular a la eclíptica en unos 26.000
años[11]. 4. Nutación, causada por atracción
de la Luna, que toma 18 años, 8 meses, ocasionando que el
valor de la precesión de los equinoccios sufra ciertas
oscilaciones, al igual que la diferencia entre el año
trópico y el sideral, como también el cambio en la
oblícuidad de la eclíptica. 5. Rotación de
la línea de los ápsides, o sea, de la línea
perigeo-apogeo, en una cantidad de 11"5 por año, de tal
forma que en 55.000 años se invierte esta línea, y
que en 110.000 años vuelva a estar en su primitiva
posición. Para este movimiento cada ápside se
mani…esta describinedo una circunferencia en el espacio,
cuyo diámetro es aproximadamente de 300 millones de
kilómetros. 6. Disminución de la Oblicuidad de la
Eclíptica, que toma 0.48" de arco cada año, este
movimento hace como si la órbita terrestre girase
alrededor de la línea de los equinoccios,
acercándose al ecuador, pero sin confundirse con
él, ya que cuando llega a la inclinación de 1.21
minutos de arco la inclinación nuevamente vuelve a crecer.
7. Perturbaciones Planetarias, estas son debido al cambio de
posición de los planetas, produciendo variaciones en la
fuerza de atracción que éstos ejercen sobre la
Tierra. 13

6 6 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
VARIACIONES ORBITALES 8. Variación de la excentricidad de
la órbita terrestre, dicha variación se
veri…caen un periodo de 80.000 años, durante el
cual la excentricidad pasa por un máximo de 0.02 y por un
mínimo de 0.0003, actualmente el valor es de 0.01675 en
descenso, calculándose que dentro de 24.000 años
alcanzará el mínimo citado, y entonces la
órbita de Tierra será casi circular, y a partir de
esa época, se iniciará el proceso ascendente. 9.
Desplazamiento del centro de gravedad del sistema solar,
corresponde al centro determinado por el Sol y por las posiciones
variables de los planetas, en torno del cual gira anualmente los
planetas. 10. Movimiento mensual de la Tierra, se veri…ca
el movimiento de la Tierra en torno del centro de gravedad del
par Tierra-Luna, se sabe que el centro de gravedad está
ochenta veces más cercano a la Tierra, que a la Luna. 11.
Corrimiento de los polos terrestres, se da en forma espiral, y
cuya amplitud no sobrepasa los 15 metros, el cual tiene su origen
en la plasticidad del planeta, que tiene como consecuencia las
ligeras variaciones en la latitud de todos los lugares del
planeta. 12. Mareas de la corteza terrestre, consisten en el
levantamiento del suelo dos veces por día en 30 cm a la
latitud de 45 grados y en 50 cm en el ecuador. 13. Movimiento
general de traslación del Sistema Solar, es decir del
centro de gravedad del sistema, el cual se traslada hacia la
estrella Vega de la Lira, a razón de 20 Km por segundo.
14. Movimiento general de traslación galáctico, el
centro de gravedad del sistema galáctico también se
traslada, el cual se desplaza hacia un punto de la
constelación de Capricornio, a razón de 600 Km por
segundo. Como podrá observarse, el movimiento real y
completo de nuestro planeta, es bastante más complejo de
lo que usualmente pensamos, pero como siempre sucede en muchas
campos de la ciencia, sólo se consideran aprox- imaciones
o simpli…caciones de un fenómeno o conjunto de
fenómenos, para obtener resultados, o explicaciones
coherentes como también predicciones que nos permitan
profundizar en la comprensión de nuestro mundo
físico, por ello no es muy frecuente encontrar
teorías o desarrollos tecnológicos basados en esto
que combinen todos los elementos anteriores en un único
marco explicativo, es así como dependiendo del aspecto o
interés partícular se tomará uno o
más elementos de los considerados anteriormente. Por ello
me parece de gran alcance, cómo pueblos primitivos
podían determinar ciclos y fenómenos que con gran
di…cultad hoy podemos determinar, por ejemplo la
civilización maya, y posiblemente los olmecas, usaban
tablas complejas para predecir acontecimientos celestes como por
ejemplo los eclipses, las alineaciones planetarias, los
equinoccios, etc, por ejemplo es notable, su capacidad para
predecir alineaciones planetarias, lo cual requeria conocimientos
de un orden diferente, se necesitaría haber conocido todo
lo relacionado con la precesión de los equinoccios, cuyo
problema principal es que es sumamente lenta, ya que tarda, como
se mencionó, algo así como 25.765 años en
completar un ciclo, el cual se puede determinar observando la
posición del Sol en el equinoccio de primavera respecto a
las estrellas del zodíaco, haciendo esto se descubre que
la posición del Sol en el primer día de la
primavera retrocede a través del zodíaco a un ritmo
aproximado de un grado cada sesenta y dos años, entonces
se debía contar con registros históricos para poder
inferir este conocimiento, problema que los estudiosos han
considerado y al que no le han dado una debida
explicación. Variaciones Orbitales En esta sección
y en las siguientes me referire, sin entrar en los detalles o la
descripción completa, a algunos aspectos de interés
partícular, como es la explicación de las eras
glaciales, y de consideraciones climáticas, no obstante
considerando que el sustento teórico de los mismos
está basado en la descripción analítica
rigurosa esquematizada anteriormente y en los estudios detallados
que se han adelantado durante muchos años[1][6][7][8]. El
Sistema Solar presenta perturbaciones mutuas entre los diferentes
cuerpos que lo constituyen, en partícular la órbita
terrestre se encuentra perturbada, es decir que los otros cuerpos
afectan la estabilidad de la órbita, sus elementos y la
foma de la misma, dichas modi…caciones tienen por su
puesto sus consecuencias, conduciendo a lo que se conoce como
variaciones o perturbaciones orbitales; entre los efectos
producidos por ellas están, la aparición y
desaparición de los períodos glaciales e
interglaciales holocénicos (El Holoceno, del griego holos,
todo, y kainos, reciente: la era totalmente reciente, una
división de la escala temporal geológica, es la
última y actual época geológica del
período Cuaternario. Comprende los últimos 11.784
años, desde el …n de la última
glaciación. Es un período interglaciar en el que la
temperatura se hizo más suave y la capa de hielo se
derritió, lo que provocó un ascenso en el nivel del
mar. Esto hizo que Indonesia, Japón y Taiwán se
separaran de Asia; Gran 14

6 6.1 Centro Colombiano de Cosmología y Astrofísica
VARIACIONES ORBITALES Bretaña, de la Europa continental y
Nueva Guinea y Tasmania, de Australia. Además, produjo la
formación del estrecho de Bering)[11]. Si bien la
luminosidad solar se mantiene prácticamente constante a lo
largo de millones de años, no ocurre lo mismo con la
órbita terrestre. Ésta oscila
periódicamente, haciendo que la cantidad media de
radiación que recibe cada hemisferio ‡uctúe
a lo largo del tiempo. Son éstas variaciones las que
provocan las pulsaciones o cambios glaciares llevando a veranos e
inviernos de largo período. Son los llamados
períodos glaciales e interglaciales. Hay que tener en
cuenta varios factores que contribuyen a modi…car las
características órbitales haciendo que la
insolación media en uno y otro hemisferio varíe
aunque no lo haga el ‡ujo de radiación global. La
excentricidad, la inclinación axial, y la precesión
de la órbita de la Tierra varía en el transcurso
del tiempo produciendo las glaciaciones del Cuaternario cada
100.000 años. El eje de la Tierra completa su ciclo de
precesión cada 25.765 años. Al mismo tiempo el eje
mayor de la órbita de la Tierra gira, en unos 22.000
años. Además, la inclinación del eje de la
Tierra cambia entre 22,1 grados a 24,5 grados en un ciclo de
41.000 años. El eje de la Tierra tiene ahora una
inclinación de 23,5o respecto a la normal del plano de la
eclíptica. Precesión de los equinoccios La
precesión de los equinoccios es el cambio en la
dirección del eje de giro terrestre, más o menos
dura 25.765 años alrededor del eje de la eclíptica.
En 1842 el matemático francés Joseph Adémar
postuló que la precesión del eje terrestre
llevaría a una precesión de los equinoccios y
solsticios que los harían desplazarse a lo largo de la
órbita coincidiendo unas veces cerca del afelio y otras
del perihelio. Esto es debido a que el cambio en la
dirección del eje de rotación causa una
variación del punto Aries o corte del ecuador y la
eclíptica y por tanto cambia el inicio de la primavera y
en consecuencia el ángulo que forma con la línea de
los ápsides, lo cual tiene incidencia en el momento en que
la Tierra en su traslación alrededor del Sol alcanza el
perihelio y el afelio. Adémar pensó que esto
explicaría la última glaciación que
terminó hace 10.000 años. Cuando el punto Aries se
alinea con la dirección de la línea de los
ápsides de la órbita de la Tierra (perihelio), un
hemisferio tendrá una diferencia mayor entre las
estaciones mientras el otro hemisferio tendrá las
estaciones más benignas. El hemisferio que está en
verano en el perihelio recibirá un aumento en la
radiación solar, pero ese mismo hemisferio estará
en invierno en el afelio y tendrá un invierno más
frío. El otro hemisferio tendrá un invierno
relativamente más caluroso y el verano más fresco.
Cuando el punto Aries es perpendicular a la línea de los
ápsides los hemisferios norte y sur tendrán los
contrastes similares en las estaciones. En la actualidad el
verano del hemisferio sur ocurre durante el perihelio y su
invierno durante el afelio. Así las estaciones del
hemisferio sur deben tender a ser algo más extremas que
las estaciones del hemisferio norte. Este efecto queda en parte
compensado por el hecho de que el norte tiene más Tierra y
el sur mucho más océano y es conocido que el efecto
del mar es suavizar las máximas y elevar las
mínimas[7][8][9][11]. 6.2 Excentricidad órbital Un
factor importante